1. 如图，OD平分$∠ AOB$，$DE⊥ AO$于点E，$DE=4.2$，F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是 （）

A.4.2
B.5.15
C.3.69
D.8

1.C

【分析】
解题时首先从已知条件出发：已知OD是∠AOB的角平分线，DE垂直AO且长度为4.2，结合角平分线的性质，可先得出点D到OB边的距离等于DE的长度；再根据垂线段最短的性质，可知点D到OB上任意一点F的线段长度DF，最小等于点D到OB的垂线段长度，即DF的取值范围是≥4.2，最后对比选项找出小于4.2的数值，就是不可能的DF长度。
【解析】
解：
∵OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=4.2，
∴根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点D到射线OB的距离等于DE=4.2。
又
∵F是射线OB上的任意一点，根据垂线段最短的性质，直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段长度最短，因此DF的长度≥4.2。
对比各选项：A选项4.2等于最小值，符合要求；B选项5.15、D选项8均大于4.2，符合要求；只有C选项3.69＜4.2，不符合DF的取值范围，故DF不可能是3.69。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题属于基础题，重点考查角平分线性质和垂线段最短的综合应用，解题的关键是准确利用角平分线的性质求出点D到OB的最短距离，再由此确定DF的取值范围即可快速判断结果。
【难度系数】
0.8

2.如图是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在
()

A.$△ ABC$ 三条中线的交点处
B.$△ ABC$ 三边的垂直平分线的交点处
C.$△ ABC$ 三条角平分线的交点处
D.$△ ABC$ 三条高所在直线的交点处

2.C

【分析】
解题时首先明确题干核心要求：凉亭的位置到三角形草坪三条边的距离相等。我们需要回忆学过的不同线段交点的性质逐一对应判断：首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，若要同时到三条边距离相等，该点需同时在三个内角的角平分线上，也就是三条角平分线的交点，再逐一排查其他选项对应的交点性质，排除不符合要求的选项即可得到答案。
【解析】
我们先明确各选项对应的交点性质：
1. 选项A：三角形三条中线的交点是重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不满足到三边距离相等的要求，排除；
2. 选项B：三角形三边垂直平分线的交点是外心，外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，不是到三边距离相等，排除；
3. 选项C：根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离都相等，符合题干要求；
4. 选项D：三角形三条高所在直线的交点是垂心，没有到三边距离相等的性质，排除。
综上，答案选C。
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；三角形特殊点的性质
【点评】本题属于基础概念题，重点考察对三角形不同特殊线段交点性质的区分记忆，只要准确掌握各交点的特征，就能快速准确作答，注意不要混淆不同交点的对应性质。
【难度系数】0.8

3.(2025·姑苏区二模)如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,$DE⊥ AB$.若$AC=2$,$DE=1$,则$S_{△ ACD}=$.

3.1

【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知AD平分∠BAC，DE⊥AB，要求△ACD的面积，已知底AC=2，只需要求出AC边上的高即可，因此过D作AC的垂线，利用角平分线性质可得这条高的长度等于DE=1，再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：过点D作DF⊥AC，垂足为F。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴根据角平分线的性质可得DF=DE=1，
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DF = \frac{1}{2} × 2 × 1 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题关键是利用角平分线的性质求出△ACD中AC边上的高，再结合三角形面积公式计算即可，掌握角平分线的性质是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.8

4.如图，O是$△ ABC$内一点，且点O到三边AB，BC，CA的距离$OF=OD=OE$，若$∠ BAC=80°$，则$∠ BOC$的度数为________.

4.130°

【分析】
首先观察已知条件：点O到△ABC三边的距离相等，结合角平分线的判定定理，可判断出OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线。要求∠BOC的度数，需先求出△OBC中另外两个内角的和：先利用三角形内角和定理，结合已知∠BAC=80°，算出∠ABC与∠ACB的度数和，再根据角平分线的性质得到∠OBC与∠OCB的和，最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点O到三边AB、BC、CA的距离$OF=OD=OE$
∴OB平分$∠ABC$，OC平分$∠ACB$（角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）
在$△ ABC$中，$∠BAC=80°$
∴$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ BAC = 180° - 80° = 100°$
∵OB平分$∠ABC$，OC平分$∠ACB$
∴$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×100° = 50°$
在$△ BOC$中，由三角形内角和定理得：
$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - 50° = 130°$
【答案】
$130°$
【知识点】
角平分线的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角平分线相关性质与三角形内角和的综合基础题，解题的关键是由点到三边距离相等推出点O是三角形内角平分线的交点，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7

5. 利用网格线画图:如图,点A,B,C都在正方形网格的格点上.
(1)在BC上找一点P,使点P到AB和AC的距离相等;
(2)在射线AP上找一点Q,使$QB=QC$.

5.解:(1)如答图,点 P 即为所求.
(2)如答图,点 Q 即为所求.

【分析】
(1) 要找BC上到AB和AC距离相等的点P，根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此点P在∠BAC的角平分线上，只需作出∠BAC的角平分线，它与BC的交点就是所求的P点。
(2) 要找射线AP上满足QB=QC的点Q，根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，因此点Q在BC的垂直平分线上，只需作出BC的垂直平分线，它与射线AP的交点就是所求的Q点。
【解析】
(1) 观察网格可知∠BAC为直角，画出∠BAC的角平分线，该射线与BC边的交点即为所求点P；
(2) 先找到线段BC的中点，结合网格画出过BC中点且垂直于BC的直线（即BC的垂直平分线），该直线与射线AP的交点即为所求点Q。
作图结果参照答图。
【答案】
(1)如答图，点P即为所求。
(2)如答图，点Q即为所求。

【知识点】
角平分线的判定，线段垂直平分线的判定，网格作图
【点评】
本题是基础几何作图题，重点考查角平分线、线段垂直平分线判定的应用，只要熟练掌握两个判定定理，结合网格特征就能快速定位所求点。
【难度系数】
0.8

6.如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,F是OC上的另一点,连接DF,EF.求证:DF=EF.

6. 证明:
∵OP是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE.
在Rt△OPD和Rt△OPE中,$\begin{cases} OP=OP, \\ PD=PE, \end{cases}$
∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL),
∴OD=OE.
∵OC是∠AOB的平分线,
∴∠DOF=∠EOF.
在△ODF和△OEF中,$\begin{cases} OD=OE, \\ ∠DOF=∠EOF, \\ OF=OF, \end{cases}$
∴△ODF≌△OEF(SAS),
∴DF=EF.

【分析】
要证明线段DF=EF，可通过证明DF、EF所在的△ODF与△OEF全等实现。首先根据角平分线的性质，可得PD=PE，先利用HL判定Rt△OPD≌Rt△OPE，得到对应边OD=OE；再结合角平分线的性质可得∠DOF=∠EOF，加上公共边OF，即可用SAS判定△ODF≌△OEF，从而得到DF=EF。
【解析】
证明:
∵OP是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE.
在Rt△OPD和Rt△OPE中,$\begin{cases} OP=OP, \\ PD=PE, \end{cases}$
∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL),
∴OD=OE.
∵OC是∠AOB的平分线,
∴∠DOF=∠EOF.
在△ODF和△OEF中,$\begin{cases} OD=OE, \\ ∠DOF=∠EOF, \\ OF=OF, \end{cases}$
∴△ODF≌△OEF(SAS),
∴DF=EF.
【答案】
DF=EF
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于角平分线与全等三角形的综合基础题，解题的核心思路是通过证明三角形全等来得到对应线段相等，解题时需根据待证结论倒推所需的全等条件，逐步补全证明依据。
【难度系数】
0.7