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7. 如图，$AE\bot AB$，且$AE=AB$，$BC\bot CD$，且$BC=CD$，按照图中所标注的数据计算，可知实线所围成的图形的面积是 （
A.30
B.50
C.60
D.80
B
）A.30
B.50
C.60
D.80
答案
7.B
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：存在垂直关系和相等线段，优先考虑用AAS证明三角形全等，得到对应边的长度；再用割补法计算不规则图形面积，先求出整体梯形EFHD的面积，再减去空白部分三个三角形的面积即可得到实线围成图形的面积。
【解析】
解：
∵$AE\bot AB$，$EF\bot FH$，$BG\bot FH$，
∴$∠ EFA=∠ AGB=∠ EAB=90°$，
∴$∠ AEF+∠ EAF=90°$，$∠ EAF+∠ BAG=90°$，
∴$∠ AEF=∠ BAG$。
在$△ EFA$和$△ AGB$中：
$\begin{cases}∠ EFA=∠ AGB \\∠ AEF=∠ BAG \\AE=AB\end{cases}$
∴$△ EFA≌△ AGB$（AAS），
∴$AF=BG=3$，$AG=EF=6$。
同理可证$△ BGC≌△ CHD$（AAS），
∴$GC=DH=4$，$CH=BG=3$，
∴$FH=AF+AG+GC+CH=3+6+4+3=16$。
梯形$EFHD$的面积：$S_{梯形}=\frac{1}{2}×(EF+DH)× FH=\frac{1}{2}×(6+4)×16=80$，
空白部分总面积：
$S_{空白}=S_{△ EAF}+S_{△ ABC}+S_{△ CDH}$
$=\frac{1}{2}×3×6+\frac{1}{2}×(6+4)×3+\frac{1}{2}×3×4$
$=9+15+6=30$，
∴实线围成的图形面积$S=80-30=50$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，割补法求面积，梯形面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过垂直关系推导等角，证明三角形全等得到线段长度，再用整体减空白的割补法计算不规则图形面积，是全等三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：存在垂直关系和相等线段，优先考虑用AAS证明三角形全等，得到对应边的长度；再用割补法计算不规则图形面积，先求出整体梯形EFHD的面积，再减去空白部分三个三角形的面积即可得到实线围成图形的面积。
【解析】
解：
∵$AE\bot AB$，$EF\bot FH$，$BG\bot FH$，
∴$∠ EFA=∠ AGB=∠ EAB=90°$，
∴$∠ AEF+∠ EAF=90°$，$∠ EAF+∠ BAG=90°$，
∴$∠ AEF=∠ BAG$。
在$△ EFA$和$△ AGB$中：
$\begin{cases}∠ EFA=∠ AGB \\∠ AEF=∠ BAG \\AE=AB\end{cases}$
∴$△ EFA≌△ AGB$（AAS），
∴$AF=BG=3$，$AG=EF=6$。
同理可证$△ BGC≌△ CHD$（AAS），
∴$GC=DH=4$，$CH=BG=3$，
∴$FH=AF+AG+GC+CH=3+6+4+3=16$。
梯形$EFHD$的面积：$S_{梯形}=\frac{1}{2}×(EF+DH)× FH=\frac{1}{2}×(6+4)×16=80$，
空白部分总面积：
$S_{空白}=S_{△ EAF}+S_{△ ABC}+S_{△ CDH}$
$=\frac{1}{2}×3×6+\frac{1}{2}×(6+4)×3+\frac{1}{2}×3×4$
$=9+15+6=30$，
∴实线围成的图形面积$S=80-30=50$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，割补法求面积，梯形面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过垂直关系推导等角，证明三角形全等得到线段长度，再用整体减空白的割补法计算不规则图形面积，是全等三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
8. 如图，点A在DE上，AC=EC，AB=14，BC=15，∠1=∠2=∠3，则DE=
14
.答案
8.14
解析
【分析】
要求DE的长度，观察已知AB=14，可尝试证明DE和AB所在的三角形全等，利用全等三角形对应边相等求解。首先利用∠2=∠3推导两组三角形的一组对应角∠ACB=∠ECD相等；再结合点A在DE上得到平角，结合三角形内角和与∠1=∠3的条件，推导另一组对应角∠BAC=∠E相等；最后结合已知AC=EC，用ASA判定三角形全等即可得到DE=AB。
【解析】
1. 推导∠ACB=∠ECD：
∵∠2=∠3
∴∠2+∠ACD=∠3+∠ACD，即$\boldsymbol{∠ACB=∠ECD}$
2. 推导∠BAC=∠E：
∵点A在DE上，∠DAE为平角
∴∠1+∠BAC+∠CAE=180°
在△ACE中，根据三角形内角和定理：
∠E+∠3+∠CAE=180°
又
∵∠1=∠3
∴$\boldsymbol{∠BAC=∠E}$
3. 证明三角形全等：
在△ABC和△EDC中：
$\{\begin{array}{l}∠BAC=∠E \\AC=EC \quad (\mathrm{已知}) \\∠ACB=∠ECD\end{array} $
∴△ABC≌△EDC（ASA）
4. 求DE长度：
根据全等三角形对应边相等，得$DE=AB$
∵AB=14
∴DE=14
【答案】
14
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角的和差计算
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形应用的常规题型，解题核心是通过角的等量代换得到全等判定所需的角相等条件，再结合已知边相等判定全等，进而得到所求线段长度，对逻辑推导能力有一定的基础要求。
【难度系数】
0.7
要求DE的长度，观察已知AB=14，可尝试证明DE和AB所在的三角形全等，利用全等三角形对应边相等求解。首先利用∠2=∠3推导两组三角形的一组对应角∠ACB=∠ECD相等；再结合点A在DE上得到平角，结合三角形内角和与∠1=∠3的条件，推导另一组对应角∠BAC=∠E相等；最后结合已知AC=EC，用ASA判定三角形全等即可得到DE=AB。
【解析】
1. 推导∠ACB=∠ECD：
∵∠2=∠3
∴∠2+∠ACD=∠3+∠ACD，即$\boldsymbol{∠ACB=∠ECD}$
2. 推导∠BAC=∠E：
∵点A在DE上，∠DAE为平角
∴∠1+∠BAC+∠CAE=180°
在△ACE中，根据三角形内角和定理：
∠E+∠3+∠CAE=180°
又
∵∠1=∠3
∴$\boldsymbol{∠BAC=∠E}$
3. 证明三角形全等：
在△ABC和△EDC中：
$\{\begin{array}{l}∠BAC=∠E \\AC=EC \quad (\mathrm{已知}) \\∠ACB=∠ECD\end{array} $
∴△ABC≌△EDC（ASA）
4. 求DE长度：
根据全等三角形对应边相等，得$DE=AB$
∵AB=14
∴DE=14
【答案】
14
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角的和差计算
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形应用的常规题型，解题核心是通过角的等量代换得到全等判定所需的角相等条件，再结合已知边相等判定全等，进而得到所求线段长度，对逻辑推导能力有一定的基础要求。
【难度系数】
0.7
9.(2025·盐城开学)如图，$∠ B=∠ ADE$，$AE=AC$，点$D$在$BC$边上，$∠ 1=∠ 2$，$AC$，$DE$相交于点$O$.
(1)求证:$∠ C=∠ E$；
(2)若$∠ 1=20°$，求$∠ 3$的度数.
(1)求证:$∠ C=∠ E$；
(2)若$∠ 1=20°$，求$∠ 3$的度数.
答案
9.(1)证明:$\because ∠1=∠2,\therefore ∠1+∠CAD=∠2+∠CAD,$
$\therefore ∠BAC=∠DAE.$
在$△ ABC$ 和$△ ADE$ 中,$\begin{cases} ∠BAC=∠DAE, \\ ∠B=∠ADE, \\ AC=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADE(\mathrm{AAS}),\therefore ∠C=∠E.$
(2)解:$\because ∠COE=∠3+∠C=∠2+∠E,$且$∠C=∠E,$
$\therefore ∠3=∠2.$
$\because ∠1=∠2=20°,\therefore ∠3=20°.$
$\therefore ∠BAC=∠DAE.$
在$△ ABC$ 和$△ ADE$ 中,$\begin{cases} ∠BAC=∠DAE, \\ ∠B=∠ADE, \\ AC=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADE(\mathrm{AAS}),\therefore ∠C=∠E.$
(2)解:$\because ∠COE=∠3+∠C=∠2+∠E,$且$∠C=∠E,$
$\therefore ∠3=∠2.$
$\because ∠1=∠2=20°,\therefore ∠3=20°.$
解析
【分析】
（1）要证明∠C=∠E，可通过证明两角所在的三角形全等推导。已知∠1=∠2，给两个角同时加上公共角∠CAD，可得∠BAC=∠DAE，结合已知的∠B=∠ADE、AC=AE，可通过AAS判定△ABC≌△ADE，再根据全等三角形对应角相等即可得到结论。
（2）求∠3的度数，观察图形可知∠COE是△COD和△AOE的公共外角，根据三角形外角的性质，可建立∠3、∠C、∠2、∠E的等量关系，结合第一问已证的∠C=∠E，可推出∠3=∠2，再结合已知∠1=∠2，即可求出∠3的度数。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠1=∠2$，
$\therefore ∠1+∠CAD=∠2+∠CAD$，即$∠BAC=∠DAE$。
在$△ ABC$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}∠BAC=∠DAE, \\∠B=∠ADE, \\AC=AE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore ∠C=∠E$。
(2) 解：
根据三角形外角的性质，$∠COE=∠3+∠C$，$∠COE=∠2+∠E$，
$\therefore ∠3+∠C=∠2+∠E$，
又$\because$ 由(1)已证$∠C=∠E$，
$\therefore ∠3=∠2$，
$\because ∠1=∠2$，$∠1=20°$，
$\therefore ∠3=∠1=20°$。
【答案】
(1) 已证$∠C=∠E$；
(2) $∠3=\boldsymbol{20°}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定（AAS）
2. 全等三角形的性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础典型题，解题核心是通过角的和差关系推导全等所需的等角条件，第二问利用三角形外角的性质建立角的等量关系，侧重考查学生对全等判定、性质的掌握程度和基础几何推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明∠C=∠E，可通过证明两角所在的三角形全等推导。已知∠1=∠2，给两个角同时加上公共角∠CAD，可得∠BAC=∠DAE，结合已知的∠B=∠ADE、AC=AE，可通过AAS判定△ABC≌△ADE，再根据全等三角形对应角相等即可得到结论。
（2）求∠3的度数，观察图形可知∠COE是△COD和△AOE的公共外角，根据三角形外角的性质，可建立∠3、∠C、∠2、∠E的等量关系，结合第一问已证的∠C=∠E，可推出∠3=∠2，再结合已知∠1=∠2，即可求出∠3的度数。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠1=∠2$，
$\therefore ∠1+∠CAD=∠2+∠CAD$，即$∠BAC=∠DAE$。
在$△ ABC$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}∠BAC=∠DAE, \\∠B=∠ADE, \\AC=AE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore ∠C=∠E$。
(2) 解：
根据三角形外角的性质，$∠COE=∠3+∠C$，$∠COE=∠2+∠E$，
$\therefore ∠3+∠C=∠2+∠E$，
又$\because$ 由(1)已证$∠C=∠E$，
$\therefore ∠3=∠2$，
$\because ∠1=∠2$，$∠1=20°$，
$\therefore ∠3=∠1=20°$。
【答案】
(1) 已证$∠C=∠E$；
(2) $∠3=\boldsymbol{20°}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定（AAS）
2. 全等三角形的性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础典型题，解题核心是通过角的和差关系推导全等所需的等角条件，第二问利用三角形外角的性质建立角的等量关系，侧重考查学生对全等判定、性质的掌握程度和基础几何推理能力。
【难度系数】
0.7
10.如图，AD，BF相交于点O，AB//DF，AC//DE，点E与点C在BF上，且BE=CF.
求证:(1)$△ ABC≌△ DFE$；
(2)O为BF的中点.
求证:(1)$△ ABC≌△ DFE$；
(2)O为BF的中点.
答案
10.证明:(1)$\because AB// DF,\therefore ∠B=∠F.$
$\because AC// DE,\therefore ∠ACB=∠DEF.$
$\because BE=CF,\therefore BC=EF.$
在$△ ABC$ 和$△ DFE$ 中,$\begin{cases} ∠ACB=∠DEF, \\ BC=FE, \\ ∠B=∠F, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DFE(\mathrm{ASA}).$
(2)$\because △ ABC≌△ DFE,\therefore AC=DE.$
在$△ ACO$ 和$△ DEO$ 中,$\begin{cases} ∠AOC=∠DOE, \\ ∠ACO=∠DEO, \\ AC=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ACO≌△ DEO(\mathrm{AAS}),$
$\therefore EO=CO.$
$\because BE=CF,\therefore BO=FO,$
$\therefore O$ 为$BF$ 的中点.
$\because AC// DE,\therefore ∠ACB=∠DEF.$
$\because BE=CF,\therefore BC=EF.$
在$△ ABC$ 和$△ DFE$ 中,$\begin{cases} ∠ACB=∠DEF, \\ BC=FE, \\ ∠B=∠F, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DFE(\mathrm{ASA}).$
(2)$\because △ ABC≌△ DFE,\therefore AC=DE.$
在$△ ACO$ 和$△ DEO$ 中,$\begin{cases} ∠AOC=∠DOE, \\ ∠ACO=∠DEO, \\ AC=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ACO≌△ DEO(\mathrm{AAS}),$
$\therefore EO=CO.$
$\because BE=CF,\therefore BO=FO,$
$\therefore O$ 为$BF$ 的中点.
解析
【分析】
（1）要证明$△ ABC≌△ DFE$，先结合已知条件找全等所需的对应量：由$AB// DF$、$AC// DE$可分别得到两组对应角相等；再由$BE=CF$，两边同时加公共线段$EC$即可得到$BC=EF$，满足ASA全等判定条件，即可完成证明。
（2）要证明$O$为$BF$的中点，即证$BO=FO$。先由（1）的全等结论得到$AC=DE$，再结合$AC// DE$得到的角相等、对顶角相等，可证$△ ACO≌△ DEO$，得到$EO=CO$，最后结合已知$BE=CF$，通过线段和差关系即可推出$BO=FO$。
【解析】
(1)$\because AB// DF,\therefore ∠ B=∠ F.$
$\because AC// DE,\therefore ∠ ACB=∠ DEF.$
$\because BE=CF,\therefore BE+EC=CF+EC$，即$BC=EF.$
在$△ ABC$ 和$△ DFE$ 中,$\begin{cases} ∠ACB=∠DEF, \\ BC=FE, \\ ∠B=∠F, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DFE(\mathrm{ASA}).$
(2)$\because △ ABC≌△ DFE,\therefore AC=DE.$
在$△ ACO$ 和$△ DEO$ 中,$\begin{cases} ∠AOC=∠DOE, \\ ∠ACO=∠DEO, \\ AC=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ACO≌△ DEO(\mathrm{AAS}),$
$\therefore EO=CO.$
$\because BE=CF,\therefore BE+EO=CF+CO$，即$BO=FO,$
$\therefore O$ 为$BF$ 的中点.
【答案】
证明过程见上述解析。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础综合题，解题关键是灵活运用平行线性质得到相等的角，结合线段和差得到相等的对应边，逐步推导全等后，利用全等的性质得到对应线段相等即可完成求证。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$△ ABC≌△ DFE$，先结合已知条件找全等所需的对应量：由$AB// DF$、$AC// DE$可分别得到两组对应角相等；再由$BE=CF$，两边同时加公共线段$EC$即可得到$BC=EF$，满足ASA全等判定条件，即可完成证明。
（2）要证明$O$为$BF$的中点，即证$BO=FO$。先由（1）的全等结论得到$AC=DE$，再结合$AC// DE$得到的角相等、对顶角相等，可证$△ ACO≌△ DEO$，得到$EO=CO$，最后结合已知$BE=CF$，通过线段和差关系即可推出$BO=FO$。
【解析】
(1)$\because AB// DF,\therefore ∠ B=∠ F.$
$\because AC// DE,\therefore ∠ ACB=∠ DEF.$
$\because BE=CF,\therefore BE+EC=CF+EC$，即$BC=EF.$
在$△ ABC$ 和$△ DFE$ 中,$\begin{cases} ∠ACB=∠DEF, \\ BC=FE, \\ ∠B=∠F, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DFE(\mathrm{ASA}).$
(2)$\because △ ABC≌△ DFE,\therefore AC=DE.$
在$△ ACO$ 和$△ DEO$ 中,$\begin{cases} ∠AOC=∠DOE, \\ ∠ACO=∠DEO, \\ AC=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ACO≌△ DEO(\mathrm{AAS}),$
$\therefore EO=CO.$
$\because BE=CF,\therefore BE+EO=CF+CO$，即$BO=FO,$
$\therefore O$ 为$BF$ 的中点.
【答案】
证明过程见上述解析。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础综合题，解题关键是灵活运用平行线性质得到相等的角，结合线段和差得到相等的对应边，逐步推导全等后，利用全等的性质得到对应线段相等即可完成求证。
【难度系数】
0.7
11. 已知$∠ ACB=90°,AC=BC,AD⊥ CM,BE⊥ CM$，垂足分别为$D,E$.
(1)如图①.
①请写出线段$CD$和$BE$的数量关系，并说明理由；
②请写出线段$AD,BE,DE$之间的数量关系，并说明理由.
(2)如图②，上面②中结论还成立吗？如果不成立，请写出线段$AD,BE,DE$之间的数量关系，并说明理由.
(1)如图①.
①请写出线段$CD$和$BE$的数量关系，并说明理由；
②请写出线段$AD,BE,DE$之间的数量关系，并说明理由.
(2)如图②，上面②中结论还成立吗？如果不成立，请写出线段$AD,BE,DE$之间的数量关系，并说明理由.
答案
11.解:(1)①$CD=BE.$
理由:$\because AD⊥ CM,BE⊥ CM,$
$\therefore ∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°,$
$\therefore ∠ACD+∠BCE=90°,∠BCE+∠B=90°,$
$\therefore ∠ACD=∠B.$
在$△ ACD$ 和$△ CBE$ 中,$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB, \\ ∠ACD=∠B, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ CBE(\mathrm{AAS}),\therefore CD=BE.$
②$AD=BE+DE.$
理由:$\because △ ACD≌△ CBE,\therefore AD=CE,CD=BE.$
$\because CE=CD+DE=BE+DE,$
$\therefore AD=BE+DE.$
(2)②中的结论不成立.$DE=AD+BE.$
理由:$\because AD⊥ CM,BE⊥ CM,$
$\therefore ∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°,$
$\therefore ∠ACD+∠BCE=90°,∠BCE+∠B=90°,$
$\therefore ∠ACD=∠B.$
在$△ ACD$ 和$△ CBE$ 中,$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB, \\ ∠ACD=∠B, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ CBE(\mathrm{AAS}),\therefore AD=CE,CD=BE,$
$\therefore DE=CD+CE=BE+AD,$
$\therefore DE=AD+BE.$
理由:$\because AD⊥ CM,BE⊥ CM,$
$\therefore ∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°,$
$\therefore ∠ACD+∠BCE=90°,∠BCE+∠B=90°,$
$\therefore ∠ACD=∠B.$
在$△ ACD$ 和$△ CBE$ 中,$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB, \\ ∠ACD=∠B, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ CBE(\mathrm{AAS}),\therefore CD=BE.$
②$AD=BE+DE.$
理由:$\because △ ACD≌△ CBE,\therefore AD=CE,CD=BE.$
$\because CE=CD+DE=BE+DE,$
$\therefore AD=BE+DE.$
(2)②中的结论不成立.$DE=AD+BE.$
理由:$\because AD⊥ CM,BE⊥ CM,$
$\therefore ∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°,$
$\therefore ∠ACD+∠BCE=90°,∠BCE+∠B=90°,$
$\therefore ∠ACD=∠B.$
在$△ ACD$ 和$△ CBE$ 中,$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB, \\ ∠ACD=∠B, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ CBE(\mathrm{AAS}),\therefore AD=CE,CD=BE,$
$\therefore DE=CD+CE=BE+AD,$
$\therefore DE=AD+BE.$
解析
【分析】
(1)①要判断CD和BE的数量关系，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导：已知AD⊥CM、BE⊥CM可得两个直角相等，结合∠ACB=90°，利用同角的余角相等可推出∠ACD=∠B，再结合已知AC=BC，即可用AAS证明△ACD≌△CBE，根据全等性质得到CD与BE的关系。
②要推导AD、BE、DE的数量关系，结合①的全等结论可得AD=CE、CD=BE，观察线段CE由CD和DE组成，将CD替换为BE即可得到三者的数量关系。
(2)观察图②，仍可先按照上述思路证明△ACD≌△CBE，得到对应边相等后，结合图形中DE的组成是CD+CE，替换对应边即可得到新的数量关系，判断原结论是否成立。
【解析】
(1)①$CD=BE$，理由如下：
$\because AD⊥ CM,BE⊥ CM,$
$\therefore ∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°,$
$\therefore ∠ACD+∠BCE=90°,∠BCE+∠B=90°,$
$\therefore ∠ACD=∠B.$
在$△ ACD$ 和$△ CBE$ 中,$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB, \\ ∠ACD=∠B, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ CBE(\mathrm{AAS}),\therefore CD=BE.$
②$AD=BE+DE$，理由如下：
$\because △ ACD≌△ CBE,\therefore AD=CE,CD=BE.$
$\because CE=CD+DE=BE+DE,$
$\therefore AD=BE+DE.$
(2)②中的结论不成立，$DE=AD+BE$，理由如下：
$\because AD⊥ CM,BE⊥ CM,$
$\therefore ∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°,$
$\therefore ∠ACD+∠BCE=90°,∠BCE+∠B=90°,$
$\therefore ∠ACD=∠B.$
在$△ ACD$ 和$△ CBE$ 中,$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB, \\ ∠ACD=∠B, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ CBE(\mathrm{AAS}),\therefore AD=CE,CD=BE,$
$\therefore DE=CD+CE=BE+AD,$
$\therefore DE=AD+BE.$
【答案】
(1)①$\boldsymbol{CD=BE}$；②$\boldsymbol{AD=BE+DE}$
(2)原结论不成立，$\boldsymbol{DE=AD+BE}$
【知识点】
全等三角形AAS判定，全等三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题是“一线三等角”全等模型的典型习题，解题核心是通过直角的互余关系推导等角，进而证明三角形全等，再结合图形分析线段的和差关系得到结论，解题时需注意图形变化后线段组成的差异，避免机械套用原有结论。
【难度系数】
0.7
(1)①要判断CD和BE的数量关系，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导：已知AD⊥CM、BE⊥CM可得两个直角相等，结合∠ACB=90°，利用同角的余角相等可推出∠ACD=∠B，再结合已知AC=BC，即可用AAS证明△ACD≌△CBE，根据全等性质得到CD与BE的关系。
②要推导AD、BE、DE的数量关系，结合①的全等结论可得AD=CE、CD=BE，观察线段CE由CD和DE组成，将CD替换为BE即可得到三者的数量关系。
(2)观察图②，仍可先按照上述思路证明△ACD≌△CBE，得到对应边相等后，结合图形中DE的组成是CD+CE，替换对应边即可得到新的数量关系，判断原结论是否成立。
【解析】
(1)①$CD=BE$，理由如下：
$\because AD⊥ CM,BE⊥ CM,$
$\therefore ∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°,$
$\therefore ∠ACD+∠BCE=90°,∠BCE+∠B=90°,$
$\therefore ∠ACD=∠B.$
在$△ ACD$ 和$△ CBE$ 中,$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB, \\ ∠ACD=∠B, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ CBE(\mathrm{AAS}),\therefore CD=BE.$
②$AD=BE+DE$，理由如下：
$\because △ ACD≌△ CBE,\therefore AD=CE,CD=BE.$
$\because CE=CD+DE=BE+DE,$
$\therefore AD=BE+DE.$
(2)②中的结论不成立，$DE=AD+BE$，理由如下：
$\because AD⊥ CM,BE⊥ CM,$
$\therefore ∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°,$
$\therefore ∠ACD+∠BCE=90°,∠BCE+∠B=90°,$
$\therefore ∠ACD=∠B.$
在$△ ACD$ 和$△ CBE$ 中,$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB, \\ ∠ACD=∠B, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ CBE(\mathrm{AAS}),\therefore AD=CE,CD=BE,$
$\therefore DE=CD+CE=BE+AD,$
$\therefore DE=AD+BE.$
【答案】
(1)①$\boldsymbol{CD=BE}$；②$\boldsymbol{AD=BE+DE}$
(2)原结论不成立，$\boldsymbol{DE=AD+BE}$
【知识点】
全等三角形AAS判定，全等三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题是“一线三等角”全等模型的典型习题，解题核心是通过直角的互余关系推导等角，进而证明三角形全等，再结合图形分析线段的和差关系得到结论，解题时需注意图形变化后线段组成的差异，避免机械套用原有结论。
【难度系数】
0.7
