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13.国庆节期间,某市组织超大规模的无人机灯光秀点亮城市上空,为广大游客带来一场视觉盛宴.其中,甲无人机从地面起飞,乙无人机从距离地面10米的高台起飞,两架无人机同时匀速上升.到第4秒时,乙无人机到达距离地面34米的位置,停止上升,开始进行表演;甲无人机则持续匀速上升.到第20秒时,甲无人机到达距离地面100米的位置,停止上升,开始进行表演.在甲无人机上升的过程中,两架无人机距离地面的高度$y$(米)和上升的时间$x$(秒)之间的函数关系如图7所示,请你结合图象解答下列问题:
(1)求线段$AB$所在直线的解析式;(不要求写出$x$的取值范围)
(2)在甲无人机上升的过程中,它飞行到多少秒时,两架无人机之间的垂直高度相差12米?
(1)求线段$AB$所在直线的解析式;(不要求写出$x$的取值范围)
(2)在甲无人机上升的过程中,它飞行到多少秒时,两架无人机之间的垂直高度相差12米?
答案
解:(1)由图象可得,$A(0,10)$,$B(4,34)$,
设线段$AB$所在直线的解析式为$y_乙=kx+b(k≠0)$,
把$A(0,10)$,$B(4,34)$代入得,$\begin{cases}10=b,\\34=4k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=6,\\b=10,\end{cases}$
$\therefore$线段$AB$所在直线的解析式为$y_乙=6x+10$.
(2)由图象可得,$D(20,100)$.
设线段$OD$所在直线的解析式为$y_甲=mx(m≠0)$,
把$D(20,100)$代入,得$100=20m$,解得$m=5$,
即$y_甲=5x$.
把$x=4$代入$y_甲=5x$,解得$y_甲=20$.
即当乙无人机停止上升时,两架无人机之间的垂直高度差为$34-20=14$(米).
$\because14＞12$,$\therefore$需要分三种情况:
①$y_乙-y_甲=12$,即$6x+10-5x=12$,解得$x=2$;
②$34-y_甲=12$,即$34-5x=12$,解得$x=4.4$;
③$y_甲-34=12$,即$5x-34=12$,解得$x=9.2$.
综上所述,在甲无人机上升过程中,它飞行到第2秒、第4.4秒和第9.2秒时,两架无人机之间的垂直高度相差12米.
设线段$AB$所在直线的解析式为$y_乙=kx+b(k≠0)$,
把$A(0,10)$,$B(4,34)$代入得,$\begin{cases}10=b,\\34=4k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=6,\\b=10,\end{cases}$
$\therefore$线段$AB$所在直线的解析式为$y_乙=6x+10$.
(2)由图象可得,$D(20,100)$.
设线段$OD$所在直线的解析式为$y_甲=mx(m≠0)$,
把$D(20,100)$代入,得$100=20m$,解得$m=5$,
即$y_甲=5x$.
把$x=4$代入$y_甲=5x$,解得$y_甲=20$.
即当乙无人机停止上升时,两架无人机之间的垂直高度差为$34-20=14$(米).
$\because14＞12$,$\therefore$需要分三种情况:
①$y_乙-y_甲=12$,即$6x+10-5x=12$,解得$x=2$;
②$34-y_甲=12$,即$34-5x=12$,解得$x=4.4$;
③$y_甲-34=12$,即$5x-34=12$,解得$x=9.2$.
综上所述,在甲无人机上升过程中,它飞行到第2秒、第4.4秒和第9.2秒时,两架无人机之间的垂直高度相差12米.
14. 如图8①,已知四边形ABCD为正方形,
E为对角线AC上一点,连接DE,BE.
(1)求证:BE=DE;
(2)如图8②,过点E作EF⊥DE,交边
BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形
DEFG,连接CG.
①求证:矩形DEFG是正方形;
②若正方形ABCD的边长为9,CG=
$3\sqrt{2}$,求正方形DEFG的边长.
E为对角线AC上一点,连接DE,BE.
(1)求证:BE=DE;
(2)如图8②,过点E作EF⊥DE,交边
BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形
DEFG,连接CG.
①求证:矩形DEFG是正方形;
②若正方形ABCD的边长为9,CG=
$3\sqrt{2}$,求正方形DEFG的边长.
答案
(1)证明:$\because$四边形$ABCD$为正方形,
$\therefore∠ BAE=∠ DAE=45°$,$AB=AD$.
在$△ ABE$和$△ ADE$中,$\begin{cases}AB=AD,\\∠ BAE=∠ DAE,\\AE=AE,\end{cases}$
$\therefore△ ABE≌△ ADE(\mathrm{SAS})$,$\therefore BE=DE$.
(2)①证明:如图,作$EM⊥ BC$于点$M$,$EN⊥ CD$于点$N$,得矩形$EMCN$,
$\therefore∠ MEN=90°$.
$\because E$是正方形$ABCD$对角线上的点,$\therefore EM=EN$.
$\because∠ DEF=90°$,$\therefore∠ DEN=∠ MEF=90°-∠ FEN$.
在$△ DEN$和$△ FEM$中,
$\begin{cases}∠ DNE=∠ FME,\\EN=EM,\\∠ DEN=∠ FEM,\end{cases}$
$\therefore△ DEN≌△ FEM(\mathrm{ASA})$,
$\therefore EF=DE$.
$\because$四边形$DEFG$是矩形,
$\therefore$矩形$DEFG$是正方形.
②解:在正方形$ABCD$中,$\because AB=BC=9$,
$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=9\sqrt{2}$.
已知正方形$DEFG$和正方形$ABCD$,
$\therefore DE=DG$,$AD=DC$.
$\because∠ CDG+∠ CDE=∠ ADE+∠ CDE=90°$,
$\therefore∠ CDG=∠ ADE$.
在$△ ADE$和$△ CDG$中,
$\begin{cases}AD=CD,\\∠ ADE=∠ CDG,\\DE=DG,\end{cases}$$\therefore△ ADE≌△ CDG(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AE=CG$,$∠ DAE=∠ DCG=45°$,
$\therefore CE+CG=CE+AE=AC=9\sqrt{2}$.
$\because CG=3\sqrt{2}$,$\therefore CE=6\sqrt{2}$.
$\because∠ ACD=45°$,
$\therefore∠ ACG=∠ ACD+∠ DCG=90°$,$\therefore CE⊥ CG$.
连接$EG$,$\therefore EG=\sqrt{CE^2+CG^2}=\sqrt{72+18}=3\sqrt{10}$.
在正方形$DEFG$中,$2DE^2=EG^2$,
$\therefore DE=\dfrac{\sqrt{2}}{2}EG=3\sqrt{5}$,
$\therefore$正方形$DEFG$的边长为$3\sqrt{5}$.
$\therefore∠ BAE=∠ DAE=45°$,$AB=AD$.
在$△ ABE$和$△ ADE$中,$\begin{cases}AB=AD,\\∠ BAE=∠ DAE,\\AE=AE,\end{cases}$
$\therefore△ ABE≌△ ADE(\mathrm{SAS})$,$\therefore BE=DE$.
(2)①证明:如图,作$EM⊥ BC$于点$M$,$EN⊥ CD$于点$N$,得矩形$EMCN$,
$\therefore∠ MEN=90°$.
$\because E$是正方形$ABCD$对角线上的点,$\therefore EM=EN$.
$\because∠ DEF=90°$,$\therefore∠ DEN=∠ MEF=90°-∠ FEN$.
在$△ DEN$和$△ FEM$中,
$\begin{cases}∠ DNE=∠ FME,\\EN=EM,\\∠ DEN=∠ FEM,\end{cases}$
$\therefore△ DEN≌△ FEM(\mathrm{ASA})$,
$\therefore EF=DE$.
$\because$四边形$DEFG$是矩形,
$\therefore$矩形$DEFG$是正方形.
②解:在正方形$ABCD$中,$\because AB=BC=9$,
$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=9\sqrt{2}$.
已知正方形$DEFG$和正方形$ABCD$,
$\therefore DE=DG$,$AD=DC$.
$\because∠ CDG+∠ CDE=∠ ADE+∠ CDE=90°$,
$\therefore∠ CDG=∠ ADE$.
在$△ ADE$和$△ CDG$中,
$\begin{cases}AD=CD,\\∠ ADE=∠ CDG,\\DE=DG,\end{cases}$$\therefore△ ADE≌△ CDG(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AE=CG$,$∠ DAE=∠ DCG=45°$,
$\therefore CE+CG=CE+AE=AC=9\sqrt{2}$.
$\because CG=3\sqrt{2}$,$\therefore CE=6\sqrt{2}$.
$\because∠ ACD=45°$,
$\therefore∠ ACG=∠ ACD+∠ DCG=90°$,$\therefore CE⊥ CG$.
连接$EG$,$\therefore EG=\sqrt{CE^2+CG^2}=\sqrt{72+18}=3\sqrt{10}$.
在正方形$DEFG$中,$2DE^2=EG^2$,
$\therefore DE=\dfrac{\sqrt{2}}{2}EG=3\sqrt{5}$,
$\therefore$正方形$DEFG$的边长为$3\sqrt{5}$.
