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1. 填空。
(1)“莫比乌斯带”是德国数学家(
(2)把长方形的长纸条先捏着一端,将另一端扭转180°,再粘贴起来,形成一个环,这个纸环叫(
(3)右面的两个纸环,图(
(1)“莫比乌斯带”是德国数学家(
莫比乌斯
)在1858年发现的。它只有(1
)个曲面,有(1
)条边。(2)把长方形的长纸条先捏着一端,将另一端扭转180°,再粘贴起来,形成一个环,这个纸环叫(
莫比乌斯带
)。(3)右面的两个纸环,图(
2
)是莫比乌斯带。图1中的蚂蚁如果不爬过纸带的边缘,那么就(不能
)(填“能”或“不能”)吃到纸带内的面包屑。答案
1. (1)莫比乌斯 1 1 (2)莫比乌斯带
(3)2 不能
(3)2 不能
解析
【分析】
这道题考查莫比乌斯带的相关概念与特征，可按以下思路思考：
1. 第(1)题：需回忆莫比乌斯带的发现者和几何特征，莫比乌斯带由德国数学家莫比乌斯发现，它是特殊的单侧曲面，只有1个曲面和1条边。
2. 第(2)题：根据莫比乌斯带的制作定义，将长方形纸条一端扭转180°再粘贴形成的环就是莫比乌斯带。
3. 第(3)题：通过图形特征判断，莫比乌斯带是扭转后形成的单侧曲面，图2符合该特征；图1是普通环形纸带，有内外两个独立曲面，蚂蚁在外侧，不爬过边缘无法到达内侧，所以不能吃到面包屑。
【解析】
(1) 莫比乌斯带是德国数学家莫比乌斯在1858年发现的，其特殊的结构使得它仅有1个曲面，1条边。
(2) 按照莫比乌斯带的制作方法，把长方形长纸条捏着一端，将另一端扭转180°后粘贴起来形成的环，就是莫比乌斯带。
(3) 观察两个纸环，图2是经过扭转180°粘贴形成的，属于莫比乌斯带；图1是普通环形纸带，存在内外两个独立曲面，蚂蚁在外侧，不爬过边缘无法进入内侧，因此不能吃到纸带内的面包屑。
【答案】
1. (1)莫比乌斯 1 1 (2)莫比乌斯带 (3)2 不能
【知识点】
莫比乌斯带的认识
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查莫比乌斯带的发现者、制作方法和核心特征，需要学生牢记相关知识，明确它与普通环形纸带的区别。
【难度系数】
0.6
这道题考查莫比乌斯带的相关概念与特征，可按以下思路思考：
1. 第(1)题：需回忆莫比乌斯带的发现者和几何特征，莫比乌斯带由德国数学家莫比乌斯发现，它是特殊的单侧曲面，只有1个曲面和1条边。
2. 第(2)题：根据莫比乌斯带的制作定义，将长方形纸条一端扭转180°再粘贴形成的环就是莫比乌斯带。
3. 第(3)题：通过图形特征判断，莫比乌斯带是扭转后形成的单侧曲面，图2符合该特征；图1是普通环形纸带，有内外两个独立曲面，蚂蚁在外侧，不爬过边缘无法到达内侧，所以不能吃到面包屑。
【解析】
(1) 莫比乌斯带是德国数学家莫比乌斯在1858年发现的，其特殊的结构使得它仅有1个曲面，1条边。
(2) 按照莫比乌斯带的制作方法，把长方形长纸条捏着一端，将另一端扭转180°后粘贴起来形成的环，就是莫比乌斯带。
(3) 观察两个纸环，图2是经过扭转180°粘贴形成的，属于莫比乌斯带；图1是普通环形纸带，存在内外两个独立曲面，蚂蚁在外侧，不爬过边缘无法进入内侧，因此不能吃到纸带内的面包屑。
【答案】
1. (1)莫比乌斯 1 1 (2)莫比乌斯带 (3)2 不能
【知识点】
莫比乌斯带的认识
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查莫比乌斯带的发现者、制作方法和核心特征，需要学生牢记相关知识，明确它与普通环形纸带的区别。
【难度系数】
0.6
2. 选择。
(1)关于莫比乌斯带,以下叙述错误的是(
A. 普通纸能做成莫比乌斯带
B. 莫比乌斯带在生活中有很多应用
C. 莫比乌斯带只有一个面
D. 莫比乌斯带是用物理学家的姓命名的
(2)如右图,将莫比乌斯带沿虚线剪开,结果是(
A. 一条长纸条
B. 两个独立的纸环
C. 两个套在一起的纸环
D. 一个大的纸环
(1)关于莫比乌斯带,以下叙述错误的是(
D
)。A. 普通纸能做成莫比乌斯带
B. 莫比乌斯带在生活中有很多应用
C. 莫比乌斯带只有一个面
D. 莫比乌斯带是用物理学家的姓命名的
(2)如右图,将莫比乌斯带沿虚线剪开,结果是(
D
)。A. 一条长纸条
B. 两个独立的纸环
C. 两个套在一起的纸环
D. 一个大的纸环
答案
2. (1)D (2)D
解析
【分析】
第(1)题：需逐一分析每个选项，结合莫比乌斯带的定义、制作方法及相关常识判断对错。先明确莫比乌斯带的命名来源，再验证其他选项：普通纸可通过扭转粘贴制作莫比乌斯带，它在生活中有实际应用，且只有一个面，这些表述均正确，进而找出错误选项。
第(2)题：要回忆莫比乌斯带沿中线剪开的实验结果，根据莫比乌斯带“单侧曲面”的特性，判断剪开后的形态，排除不符合特性的选项。
【解析】
(1) 对各选项逐一判断：
A选项：取普通纸条，将其扭转180°后首尾粘接，即可制作出莫比乌斯带，该叙述正确；
B选项：莫比乌斯带在生活中应用广泛，比如传送带、打印机色带等，利用它只有一个面的特性可延长使用寿命，该叙述正确；
C选项：莫比乌斯带是单侧曲面，仅有一个面，这是它的核心特征，该叙述正确；
D选项：莫比乌斯带是由德国数学家莫比乌斯发现的，是以数学家的姓氏命名，并非物理学家，该叙述错误。
因此第(1)题选D。
(2) 莫比乌斯带具有“只有一个面和一条边界”的特性，将其沿虚线剪开后，不会得到两个独立或套在一起的纸环，会形成一个比原莫比乌斯带更长、更大的纸环，因此第(2)题选D。
【答案】
(1) D；(2) D
【知识点】
莫比乌斯带的特性；莫比乌斯带的常识
【点评】
本题考查莫比乌斯带的基础知识点，涵盖命名、制作、特性及实验结果，需要学生掌握相关常识并理解其特性，题目侧重对基础知识点的记忆与应用，体现了数学知识与生活的联系。
【难度系数】
0.6
第(1)题：需逐一分析每个选项，结合莫比乌斯带的定义、制作方法及相关常识判断对错。先明确莫比乌斯带的命名来源，再验证其他选项：普通纸可通过扭转粘贴制作莫比乌斯带，它在生活中有实际应用，且只有一个面，这些表述均正确，进而找出错误选项。
第(2)题：要回忆莫比乌斯带沿中线剪开的实验结果，根据莫比乌斯带“单侧曲面”的特性，判断剪开后的形态，排除不符合特性的选项。
【解析】
(1) 对各选项逐一判断：
A选项：取普通纸条，将其扭转180°后首尾粘接，即可制作出莫比乌斯带，该叙述正确；
B选项：莫比乌斯带在生活中应用广泛，比如传送带、打印机色带等，利用它只有一个面的特性可延长使用寿命，该叙述正确；
C选项：莫比乌斯带是单侧曲面，仅有一个面，这是它的核心特征，该叙述正确；
D选项：莫比乌斯带是由德国数学家莫比乌斯发现的，是以数学家的姓氏命名，并非物理学家，该叙述错误。
因此第(1)题选D。
(2) 莫比乌斯带具有“只有一个面和一条边界”的特性，将其沿虚线剪开后，不会得到两个独立或套在一起的纸环，会形成一个比原莫比乌斯带更长、更大的纸环，因此第(2)题选D。
【答案】
(1) D；(2) D
【知识点】
莫比乌斯带的特性；莫比乌斯带的常识
【点评】
本题考查莫比乌斯带的基础知识点，涵盖命名、制作、特性及实验结果，需要学生掌握相关常识并理解其特性，题目侧重对基础知识点的记忆与应用，体现了数学知识与生活的联系。
【难度系数】
0.6
3. 做一做,剪一剪。
(1)用剪刀沿着“莫比乌斯带”的中线剪开,你有什么发现?
(2)沿着“莫比乌斯带”边缘的$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$宽度的地方一直剪下去,你有什么发现?
(1)用剪刀沿着“莫比乌斯带”的中线剪开,你有什么发现?
(2)沿着“莫比乌斯带”边缘的$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$宽度的地方一直剪下去,你有什么发现?
答案
3. (1)莫比乌斯带会变成一个更大的细纸环。 (2)一个小环套着一个大环。
解析
【分析】
首先回忆莫比乌斯带的核心特性：它是一种单侧曲面，只有一个面和一条边界。
对于问题(1)，可对比普通纸带沿中线剪开的结果（分成两个独立纸环），由于莫比乌斯带的单侧性，裁剪时路径会沿唯一的面持续延伸，最终不会分割成两个环，而是连成一个更大的细纸环。
对于问题(2)，沿着边缘1/3宽度裁剪时，结合莫比乌斯带的单侧结构，裁剪轨迹会绕纸带循环，最终因宽度比例与单侧特性的共同作用，形成相互嵌套的环结构。
【解析】
(1) 莫比乌斯带属于单侧曲面，沿其中线剪开时，裁剪路径会沿着唯一的面连续延伸，最终不会分割成两个独立的纸环，而是形成一个更大的细纸环。
(2) 沿着莫比乌斯带边缘1/3宽度的位置裁剪，受其单侧结构影响，裁剪轨迹会绕纸带循环，最终会得到一个小环套着一个大环的相互嵌套结构。
【答案】
(1) 莫比乌斯带会变成一个更大的细纸环。 (2) 一个小环套着一个大环。
【知识点】
莫比乌斯带的特性、单侧曲面裁剪规律
【点评】
本题通过动手裁剪实验，帮助理解莫比乌斯带的单侧曲面特性，既培养动手操作能力，也能提升空间想象能力，引导学生通过实践探索有趣的数学现象。
【难度系数】
0.6
首先回忆莫比乌斯带的核心特性：它是一种单侧曲面，只有一个面和一条边界。
对于问题(1)，可对比普通纸带沿中线剪开的结果（分成两个独立纸环），由于莫比乌斯带的单侧性，裁剪时路径会沿唯一的面持续延伸，最终不会分割成两个环，而是连成一个更大的细纸环。
对于问题(2)，沿着边缘1/3宽度裁剪时，结合莫比乌斯带的单侧结构，裁剪轨迹会绕纸带循环，最终因宽度比例与单侧特性的共同作用，形成相互嵌套的环结构。
【解析】
(1) 莫比乌斯带属于单侧曲面，沿其中线剪开时，裁剪路径会沿着唯一的面连续延伸，最终不会分割成两个独立的纸环，而是形成一个更大的细纸环。
(2) 沿着莫比乌斯带边缘1/3宽度的位置裁剪，受其单侧结构影响，裁剪轨迹会绕纸带循环，最终会得到一个小环套着一个大环的相互嵌套结构。
【答案】
(1) 莫比乌斯带会变成一个更大的细纸环。 (2) 一个小环套着一个大环。
【知识点】
莫比乌斯带的特性、单侧曲面裁剪规律
【点评】
本题通过动手裁剪实验，帮助理解莫比乌斯带的单侧曲面特性，既培养动手操作能力，也能提升空间想象能力，引导学生通过实践探索有趣的数学现象。
【难度系数】
0.6
4. 【提优挑战】用一张长36 cm、宽5 cm的长方形纸条,做一个莫比乌斯带,从连接处开始,沿着一个方向涂色,直到再次回到连接处。(接口处忽略不计)
(1)涂色部分有多长?
(2)涂色部分的面积有多大?
(1)涂色部分有多长?
(2)涂色部分的面积有多大?
答案
4. (1)$36 + 36 = 72$($\mathrm{cm}$) 答:涂色部分长
$72\ \mathrm{cm}$。 (2)$72×5 = 360$($\mathrm{cm}^2$) 答:涂色部分
的面积是$360\ \mathrm{cm}^2$。
$72\ \mathrm{cm}$。 (2)$72×5 = 360$($\mathrm{cm}^2$) 答:涂色部分
的面积是$360\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
首先要理解莫比乌斯带的核心特性：将长方形纸条扭转180°粘接成的莫比乌斯带只有一个连续的面。所以从连接处开始沿一个方向涂色，会覆盖原来纸条的正反两个面。
对于第(1)问，原纸条长36cm，涂色时会走完正反两面的长度，因此涂色部分长度是原纸条长度的2倍，即两个36cm相加。
对于第(2)问，涂色部分可看作长为涂色长度、宽为原纸条宽度的长方形，利用长方形面积公式“面积=长×宽”就能计算出面积。
【解析】
(1) 由于莫比乌斯带只有一个面，涂色会覆盖纸条正反两面，因此涂色部分长度为原纸条长度的2倍：
$36 + 36 = 72$（$\mathrm{cm}$）
答：涂色部分长$72\ \mathrm{cm}$。
(2) 已知涂色部分长72cm，原纸条宽5cm，根据长方形面积公式计算面积：
$72×5 = 360$（$\mathrm{cm}^2$）
答：涂色部分的面积是$360\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 涂色部分长$72\ \mathrm{cm}$；(2) 涂色部分的面积是$360\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
莫比乌斯带特性、长方形面积计算
【点评】
本题结合莫比乌斯带的特殊性质考查几何计算，需要学生突破对普通双面纸条的认知，理解莫比乌斯带“单面”的空间特点，同时熟练运用长方形面积公式，锻炼空间想象能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.3
首先要理解莫比乌斯带的核心特性：将长方形纸条扭转180°粘接成的莫比乌斯带只有一个连续的面。所以从连接处开始沿一个方向涂色，会覆盖原来纸条的正反两个面。
对于第(1)问，原纸条长36cm，涂色时会走完正反两面的长度，因此涂色部分长度是原纸条长度的2倍，即两个36cm相加。
对于第(2)问，涂色部分可看作长为涂色长度、宽为原纸条宽度的长方形，利用长方形面积公式“面积=长×宽”就能计算出面积。
【解析】
(1) 由于莫比乌斯带只有一个面，涂色会覆盖纸条正反两面，因此涂色部分长度为原纸条长度的2倍：
$36 + 36 = 72$（$\mathrm{cm}$）
答：涂色部分长$72\ \mathrm{cm}$。
(2) 已知涂色部分长72cm，原纸条宽5cm，根据长方形面积公式计算面积：
$72×5 = 360$（$\mathrm{cm}^2$）
答：涂色部分的面积是$360\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 涂色部分长$72\ \mathrm{cm}$；(2) 涂色部分的面积是$360\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
莫比乌斯带特性、长方形面积计算
【点评】
本题结合莫比乌斯带的特殊性质考查几何计算，需要学生突破对普通双面纸条的认知，理解莫比乌斯带“单面”的空间特点，同时熟练运用长方形面积公式，锻炼空间想象能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.3
