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6. 一家鞋店在一段时间内销售了某种运动鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示：
| 鞋的尺码(cm) | 23 | 23.5 | 24 | 24.5 | 25 | 25.5 | 26 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 销售量(双) | 1 | 2 |
| 11 | 7 | 3 | 1 |
若每双鞋的销售利润相同，下列统计量中店主最关注的是（
A.中位数
B.方差
C.平均数
D.众数
| 鞋的尺码(cm) | 23 | 23.5 | 24 | 24.5 | 25 | 25.5 | 26 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 销售量(双) | 1 | 2 |
| 11 | 7 | 3 | 1 |若每双鞋的销售利润相同，下列统计量中店主最关注的是（
D
）A.中位数
B.方差
C.平均数
D.众数
答案
6. D
解析
【分析】
解题时首先明确店主的核心需求：每双鞋利润相同的前提下，销量越高的尺码越值得多进货，因此需要找到销售量最高的鞋码。接下来回忆各统计量的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数值，正好对应销量最高的鞋码；再逐一判断其他统计量的含义是否符合需求，最终选出正确选项。
【解析】
已知每双鞋的销售利润相同，店主最关注的是哪种尺码的鞋销量最高，以此调整进货量提升总利润。
选项A：中位数是将数据按大小排序后位于中间位置的数值，反映数据的中等水平，无法体现销量最高的尺码，不符合要求；
选项B：方差用于衡量数据的波动程度，与销量最高的尺码无关，不符合要求；
选项C：平均数是所有数据的平均水平，反映整体平均情况，不能体现出现次数最多的尺码，不符合要求；
选项D：众数是一组数据中出现次数最多的数值，本题中销售量最高的鞋码就是销售数据的众数，是店主最关注的统计量。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
众数的意义，统计量的实际应用
【点评】
本题结合生活中的销售场景考查统计量的应用，解题关键是明确不同统计量的含义，结合实际需求匹配对应的统计量，属于统计知识的基础应用类题目。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确店主的核心需求：每双鞋利润相同的前提下，销量越高的尺码越值得多进货，因此需要找到销售量最高的鞋码。接下来回忆各统计量的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数值，正好对应销量最高的鞋码；再逐一判断其他统计量的含义是否符合需求，最终选出正确选项。
【解析】
已知每双鞋的销售利润相同，店主最关注的是哪种尺码的鞋销量最高，以此调整进货量提升总利润。
选项A：中位数是将数据按大小排序后位于中间位置的数值，反映数据的中等水平，无法体现销量最高的尺码，不符合要求；
选项B：方差用于衡量数据的波动程度，与销量最高的尺码无关，不符合要求；
选项C：平均数是所有数据的平均水平，反映整体平均情况，不能体现出现次数最多的尺码，不符合要求；
选项D：众数是一组数据中出现次数最多的数值，本题中销售量最高的鞋码就是销售数据的众数，是店主最关注的统计量。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
众数的意义，统计量的实际应用
【点评】
本题结合生活中的销售场景考查统计量的应用，解题关键是明确不同统计量的含义，结合实际需求匹配对应的统计量，属于统计知识的基础应用类题目。
【难度系数】
0.85
7. 国庆节期间，重庆南开中学用彩灯带装饰了艺术楼大厅的所有圆柱形柱子.为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示.若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为 （
A.$\sqrt{7}$米
B.$\sqrt{11}$米
C.$\sqrt{13}$米
D.5米
D
）A.$\sqrt{7}$米
B.$\sqrt{11}$米
C.$\sqrt{13}$米
D.5米
答案
7. D
解析
【分析】
要求圆柱表面缠绕彩灯带的最短长度，属于曲面最短路径问题，解题核心是将曲面转化为平面求解：首先把圆柱的侧面展开为长方形，将沿表面的曲线路径转化为平面内的线段，结合“两点之间线段最短”确定最短路径对应线段，再用勾股定理计算长度即可。注意彩带缠绕2周，展开后长方形的长对应2倍的底面周长，宽对应圆柱的高。
【解析】
将圆柱的侧面沿AB所在的竖直母线剪开并展开，因为彩带缠绕2周，因此展开后所得长方形的长为2倍的底面周长：$2×2=4$米，长方形的宽等于圆柱的高3米。
根据两点之间线段最短，彩灯带的最短长度就是该长方形的对角线长度，由勾股定理得：
$l=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$（米）
【答案】
D
【知识点】
圆柱侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理
【点评】
本题考查立体图形表面最短路径的计算，解题关键是掌握“化曲为直”的思路，注意缠绕周数对应展开后水平方向的长度，再结合勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.7
要求圆柱表面缠绕彩灯带的最短长度，属于曲面最短路径问题，解题核心是将曲面转化为平面求解：首先把圆柱的侧面展开为长方形，将沿表面的曲线路径转化为平面内的线段，结合“两点之间线段最短”确定最短路径对应线段，再用勾股定理计算长度即可。注意彩带缠绕2周，展开后长方形的长对应2倍的底面周长，宽对应圆柱的高。
【解析】
将圆柱的侧面沿AB所在的竖直母线剪开并展开，因为彩带缠绕2周，因此展开后所得长方形的长为2倍的底面周长：$2×2=4$米，长方形的宽等于圆柱的高3米。
根据两点之间线段最短，彩灯带的最短长度就是该长方形的对角线长度，由勾股定理得：
$l=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$（米）
【答案】
D
【知识点】
圆柱侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理
【点评】
本题考查立体图形表面最短路径的计算，解题关键是掌握“化曲为直”的思路，注意缠绕周数对应展开后水平方向的长度，再结合勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.7
8. 等腰三角形的底边长为24，底边上的高为5，它的腰长为 （
A.10
B.11
C.12
D.13
D
）A.10
B.11
C.12
D.13
答案
8. D
解析
【分析】
解答本题可按以下思路思考：第一步，回忆等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的高同时平分底边（三线合一），由此可先求出底边一半的长度；第二步，观察可知腰长、底边的一半、底边上的高共同构成直角三角形，其中腰长为斜边，直接利用勾股定理即可计算出腰长。
【解析】
∵ 等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合（等腰三角形三线合一）
∴ 底边一半的长度为 $24÷2=12$
设腰长为$x$，腰长、底边的一半、底边上的高构成直角三角形，腰长为斜边，根据勾股定理可得：
$x^2 = 12^2 + 5^2$
计算得：$x^2=144+25=169$
∵ 边长为正数，
∴ $x=\sqrt{169}=13$
即腰长为13，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 等腰三角形三线合一
2. 勾股定理
【点评】
本题是几何基础应用题，解题的核心是利用等腰三角形的性质构造直角三角形，再结合勾股定理求解，是三角形章节的常见题型。
【难度系数】
0.8
解答本题可按以下思路思考：第一步，回忆等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的高同时平分底边（三线合一），由此可先求出底边一半的长度；第二步，观察可知腰长、底边的一半、底边上的高共同构成直角三角形，其中腰长为斜边，直接利用勾股定理即可计算出腰长。
【解析】
∵ 等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合（等腰三角形三线合一）
∴ 底边一半的长度为 $24÷2=12$
设腰长为$x$，腰长、底边的一半、底边上的高构成直角三角形，腰长为斜边，根据勾股定理可得：
$x^2 = 12^2 + 5^2$
计算得：$x^2=144+25=169$
∵ 边长为正数，
∴ $x=\sqrt{169}=13$
即腰长为13，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 等腰三角形三线合一
2. 勾股定理
【点评】
本题是几何基础应用题，解题的核心是利用等腰三角形的性质构造直角三角形，再结合勾股定理求解，是三角形章节的常见题型。
【难度系数】
0.8
9. 如图，已知直线AB分别交坐标轴于A(2，0)，B(0，－6)两点，直线上任意一点P(x，y)，设点P到x轴和y轴的距离分别是m和n，则m＋n的最小值为（
A.2
B.3
C.5
D.6
A
）A.2
B.3
C.5
D.6
答案
9. A
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步，利用待定系数法，结合A、B两点坐标求出直线AB的一次函数解析式；第二步，根据点到坐标轴的距离的定义，明确m是P点纵坐标的绝对值，n是P点横坐标的绝对值，因此m+n可转化为含x的绝对值表达式；第三步，分三种情况对绝对值进行化简，结合一次函数的增减性，分别求出每个范围内m+n的最小值，最后比较得到全局最小值。
【解析】
1. 求直线AB的解析式：
设直线AB的解析式为$y = kx + b$，将A(2,0)、B(0,-6)代入解析式：
当x=0时，$b=-6$；
将b=-6和A(2,0)代入得：$0 = 2k - 6$，解得$k=3$。
因此直线AB的解析式为$y=3x-6$。
2. 转化m+n的表达式：
点P(x,y)到x轴的距离$m=|y|=|3x-6|$，到y轴的距离$n=|x|$，因此$m+n=|x|+|3x-6|$。
3. 分情况化简求最小值：
① 当$x≥2$时，$x＞0$且$3x-6≥0$，去绝对值得：
$m+n = x + 3x -6 =4x -6$，该函数随x增大而增大，因此当x=2时，取最小值$4×2 -6=2$；
② 当$0＜x＜2$时，$x＞0$且$3x-6＜0$，去绝对值得：
$m+n = x + 6 - 3x =6 - 2x$，该函数随x增大而减小，因此取值范围是$2 ＜ m+n ＜6$；
③ 当$x≤0$时，$x≤0$且$3x-6＜0$，去绝对值得：
$m+n = -x + 6 -3x =6 -4x$，该函数随x增大而减小，因此当x=0时，取最小值6。
综上比较三种情况的结果，m+n的最小值为2。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求解析式，绝对值化简，一次函数最值
【点评】
本题综合考查一次函数与绝对值的结合应用，解题的关键是将距离转化为绝对值表达式，再通过分类讨论去绝对值，结合一次函数的增减性求最值，解题时要注意距离的非负性，避免忽略绝对值符号导致错误。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：第一步，利用待定系数法，结合A、B两点坐标求出直线AB的一次函数解析式；第二步，根据点到坐标轴的距离的定义，明确m是P点纵坐标的绝对值，n是P点横坐标的绝对值，因此m+n可转化为含x的绝对值表达式；第三步，分三种情况对绝对值进行化简，结合一次函数的增减性，分别求出每个范围内m+n的最小值，最后比较得到全局最小值。
【解析】
1. 求直线AB的解析式：
设直线AB的解析式为$y = kx + b$，将A(2,0)、B(0,-6)代入解析式：
当x=0时，$b=-6$；
将b=-6和A(2,0)代入得：$0 = 2k - 6$，解得$k=3$。
因此直线AB的解析式为$y=3x-6$。
2. 转化m+n的表达式：
点P(x,y)到x轴的距离$m=|y|=|3x-6|$，到y轴的距离$n=|x|$，因此$m+n=|x|+|3x-6|$。
3. 分情况化简求最小值：
① 当$x≥2$时，$x＞0$且$3x-6≥0$，去绝对值得：
$m+n = x + 3x -6 =4x -6$，该函数随x增大而增大，因此当x=2时，取最小值$4×2 -6=2$；
② 当$0＜x＜2$时，$x＞0$且$3x-6＜0$，去绝对值得：
$m+n = x + 6 - 3x =6 - 2x$，该函数随x增大而减小，因此取值范围是$2 ＜ m+n ＜6$；
③ 当$x≤0$时，$x≤0$且$3x-6＜0$，去绝对值得：
$m+n = -x + 6 -3x =6 -4x$，该函数随x增大而减小，因此当x=0时，取最小值6。
综上比较三种情况的结果，m+n的最小值为2。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求解析式，绝对值化简，一次函数最值
【点评】
本题综合考查一次函数与绝对值的结合应用，解题的关键是将距离转化为绝对值表达式，再通过分类讨论去绝对值，结合一次函数的增减性求最值，解题时要注意距离的非负性，避免忽略绝对值符号导致错误。
【难度系数】
0.7
10. 有下列四个命题：①对顶角相等；②等角的补角相等；③如果$b// a$，$c// a$，那么$b// c$；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补.其中是真命题的有（
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
A
）A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
10. A
解析
【分析】
本题需要判断四个命题的真假，解题时可逐一结合所学的几何基础性质、定理分析每个命题是否成立，统计真命题的总个数后即可选出正确选项。
【解析】
我们逐个判断4个命题的真假：
1. 命题①：对顶角相等是对顶角的基本性质，属于真命题；
2. 命题②：若两个角相等，那么它们的补角都等于$180°$减去这个角的度数，因此等角的补角相等，属于真命题；
3. 命题③：根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此若$b// a$，$c// a$，则$b// c$，属于真命题；
4. 命题④：根据平行线的性质，若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，当两个角的方向完全相同或完全相反时两角相等，当方向一同一反时两角互补，因此这两个角相等或互补，属于真命题。
综上，4个命题均为真命题，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
真假命题判断、平行公理推论、平行线的性质
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对常见几何基础定理的掌握情况，牢记相关性质和公理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题需要判断四个命题的真假，解题时可逐一结合所学的几何基础性质、定理分析每个命题是否成立，统计真命题的总个数后即可选出正确选项。
【解析】
我们逐个判断4个命题的真假：
1. 命题①：对顶角相等是对顶角的基本性质，属于真命题；
2. 命题②：若两个角相等，那么它们的补角都等于$180°$减去这个角的度数，因此等角的补角相等，属于真命题；
3. 命题③：根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此若$b// a$，$c// a$，则$b// c$，属于真命题；
4. 命题④：根据平行线的性质，若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，当两个角的方向完全相同或完全相反时两角相等，当方向一同一反时两角互补，因此这两个角相等或互补，属于真命题。
综上，4个命题均为真命题，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
真假命题判断、平行公理推论、平行线的性质
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对常见几何基础定理的掌握情况，牢记相关性质和公理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
11. 如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，$S_2=25$，$S_3=144$，则半圆$S_1$的直径等于
26
。答案
11. 26
解析
【分析】
首先回忆勾股定理和半圆面积公式：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，半圆面积与直径的平方成正比。我们可以先推导三个半圆面积的关系，得到以两条直角边为直径的半圆面积之和等于以斜边为直径的半圆面积，先求出$S_1$的数值，再进一步计算$S_1$的直径。
【解析】
设直角三角形的两条直角边长度分别为$a$、$b$，斜边长度为$c$，即半圆$S_2$的直径为$a$，半圆$S_3$的直径为$b$，半圆$S_1$的直径为$c$。
半圆面积公式为$S=\frac{1}{2}π · (\frac{d}{2})^2=\frac{π d^2}{8}$，可知半圆面积与直径的平方成正比。
根据勾股定理得：$a^2+b^2=c^2$，等式两边同时乘$\frac{π}{8}$，可得：
$\frac{π a^2}{8}+\frac{π b^2}{8}=\frac{π c^2}{8}$，即$S_2+S_3=S_1$。
代入已知$S_2=25$，$S_3=144$，得$S_1=25+144=169$。
由半圆面积和半径的正比关系可知，$S$的数值与半径平方成正比，本题中$S_1=169$对应半径的平方为169，因此半圆$S_1$的半径为$\sqrt{169}=13$，直径为$13×2=26$。
【答案】
26
【知识点】
勾股定理；半圆的面积计算
【点评】
本题将勾股定理与圆的面积计算结合，核心是利用勾股定理推导出三个半圆的面积关系，属于常见的几何综合基础题，掌握勾股定理和圆的面积公式即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
首先回忆勾股定理和半圆面积公式：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，半圆面积与直径的平方成正比。我们可以先推导三个半圆面积的关系，得到以两条直角边为直径的半圆面积之和等于以斜边为直径的半圆面积，先求出$S_1$的数值，再进一步计算$S_1$的直径。
【解析】
设直角三角形的两条直角边长度分别为$a$、$b$，斜边长度为$c$，即半圆$S_2$的直径为$a$，半圆$S_3$的直径为$b$，半圆$S_1$的直径为$c$。
半圆面积公式为$S=\frac{1}{2}π · (\frac{d}{2})^2=\frac{π d^2}{8}$，可知半圆面积与直径的平方成正比。
根据勾股定理得：$a^2+b^2=c^2$，等式两边同时乘$\frac{π}{8}$，可得：
$\frac{π a^2}{8}+\frac{π b^2}{8}=\frac{π c^2}{8}$，即$S_2+S_3=S_1$。
代入已知$S_2=25$，$S_3=144$，得$S_1=25+144=169$。
由半圆面积和半径的正比关系可知，$S$的数值与半径平方成正比，本题中$S_1=169$对应半径的平方为169，因此半圆$S_1$的半径为$\sqrt{169}=13$，直径为$13×2=26$。
【答案】
26
【知识点】
勾股定理；半圆的面积计算
【点评】
本题将勾股定理与圆的面积计算结合，核心是利用勾股定理推导出三个半圆的面积关系，属于常见的几何综合基础题，掌握勾股定理和圆的面积公式即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
12. 如图，两张宽为1 cm的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分是四边形ABCD，已知$∠ BAD=60°$，则重叠部分的面积是
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
。答案
12. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
首先判定重叠四边形的形状：矩形对边互相平行，因此可得AD//BC、AB//CD，可推出四边形ABCD是平行四边形。平行四边形面积公式为底×高，已知纸条宽为1cm，即平行四边形的高为1cm，只需求出平行四边形的底边长即可计算面积。我们可以过B作AD边上的高，该高等于纸条宽度1cm，结合∠BAD=60°，在直角三角形中利用勾股定理求出边长，进而求得面积。
【解析】
解：
∵ 两张纸条都是矩形，矩形对边平行
∴ AD//BC，AB//CD
∴ 四边形ABCD是平行四边形
过点B作BE⊥AD于点E，则BE=1cm（即纸条的宽度）
在Rt△ABE中，∠BAD=60°，
∴ ∠ABE=30°
设AE=x，则AB=2x（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）
根据勾股定理得：$AE^2 + BE^2 = AB^2$
代入得：$x^2 + 1^2 = (2x)^2$
解得$x=\frac{\sqrt{3}}{3}$（边长为正，舍去负根）
∴ $AB=2x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$cm
平行四边形面积=底×高，此处高为纸条宽度1cm，因此重叠部分面积$S=\frac{2\sqrt{3}}{3}×1=\frac{2\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
平行四边形的判定；直角三角形的性质；平行四边形面积计算
【点评】
本题结合生活实际场景命题，解题的关键是判断出重叠部分为平行四边形，明确纸条的宽度就是平行四边形的高，再结合特殊角的直角三角形的性质求出边长，进而计算面积，侧重对基础几何知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
首先判定重叠四边形的形状：矩形对边互相平行，因此可得AD//BC、AB//CD，可推出四边形ABCD是平行四边形。平行四边形面积公式为底×高，已知纸条宽为1cm，即平行四边形的高为1cm，只需求出平行四边形的底边长即可计算面积。我们可以过B作AD边上的高，该高等于纸条宽度1cm，结合∠BAD=60°，在直角三角形中利用勾股定理求出边长，进而求得面积。
【解析】
解：
∵ 两张纸条都是矩形，矩形对边平行
∴ AD//BC，AB//CD
∴ 四边形ABCD是平行四边形
过点B作BE⊥AD于点E，则BE=1cm（即纸条的宽度）
在Rt△ABE中，∠BAD=60°，
∴ ∠ABE=30°
设AE=x，则AB=2x（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）
根据勾股定理得：$AE^2 + BE^2 = AB^2$
代入得：$x^2 + 1^2 = (2x)^2$
解得$x=\frac{\sqrt{3}}{3}$（边长为正，舍去负根）
∴ $AB=2x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$cm
平行四边形面积=底×高，此处高为纸条宽度1cm，因此重叠部分面积$S=\frac{2\sqrt{3}}{3}×1=\frac{2\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
平行四边形的判定；直角三角形的性质；平行四边形面积计算
【点评】
本题结合生活实际场景命题，解题的关键是判断出重叠部分为平行四边形，明确纸条的宽度就是平行四边形的高，再结合特殊角的直角三角形的性质求出边长，进而计算面积，侧重对基础几何知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
