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6. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？”其大意是：现有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱.问：合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为$ x $，羊价为$ y $钱，根据题意，可列方程组为（
A.$\begin{cases} y=5x+45, \\ y=7x+3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} y=5x-45, \\ y=7x+3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} y=5x+45, \\ y=7x-3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y=5x-45, \\ y=7x-3 \end{cases}$
A
）.A.$\begin{cases} y=5x+45, \\ y=7x+3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} y=5x-45, \\ y=7x+3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} y=5x+45, \\ y=7x-3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y=5x-45, \\ y=7x-3 \end{cases}$
答案
6. A
解析
【分析】
要解决这道列方程组的题目，核心是抓住题目里两个不变的量：合伙人数和羊价，再根据两种出钱方案的“不足”（也就是还差的钱）找等量关系。首先理解“每人出n钱，不足m钱”的含义：所有人出的总钱数比羊价少m钱，也就是说羊价=总出钱数+还差的钱数，分别对应两种情况列出两个方程，联立就能得到方程组，再匹配选项即可。
【解析】
设合伙人数为$x$，羊价为$y$钱：
1. 第一种方案：每人出5钱，总出钱数为$5x$，还差45钱才够羊价，因此可得等量关系：$y = 5x + 45$；
2. 第二种方案：每人出7钱，总出钱数为$7x$，还差3钱才够羊价，因此可得等量关系：$y = 7x + 3$；
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} y=5x+45 \\ y=7x+3 \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 等量关系构建
【点评】
本题是传统数学问题转化为方程模型的基础题，解题的关键是准确理解文言描述中“不足”的含义，抓住人数、羊价两个不变量梳理等量关系，读懂题意即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道列方程组的题目，核心是抓住题目里两个不变的量：合伙人数和羊价，再根据两种出钱方案的“不足”（也就是还差的钱）找等量关系。首先理解“每人出n钱，不足m钱”的含义：所有人出的总钱数比羊价少m钱，也就是说羊价=总出钱数+还差的钱数，分别对应两种情况列出两个方程，联立就能得到方程组，再匹配选项即可。
【解析】
设合伙人数为$x$，羊价为$y$钱：
1. 第一种方案：每人出5钱，总出钱数为$5x$，还差45钱才够羊价，因此可得等量关系：$y = 5x + 45$；
2. 第二种方案：每人出7钱，总出钱数为$7x$，还差3钱才够羊价，因此可得等量关系：$y = 7x + 3$；
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} y=5x+45 \\ y=7x+3 \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 等量关系构建
【点评】
本题是传统数学问题转化为方程模型的基础题，解题的关键是准确理解文言描述中“不足”的含义，抓住人数、羊价两个不变量梳理等量关系，读懂题意即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
7. 表1为二元一次方程$a_1x + b_1y = c_1$的部分解，表2为二元一次方程$a_2x + b_2y = c_2$的部分解，则方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1, \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解为（ ）。
表1
| $x$ | $-1$ | $1$ | $2$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $1$ | $-1$ | $-2$ |
表2
A.$\begin{cases}x=2, \\y=-2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=-1, \\y=1\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=1, \\y=-1\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=3, \\y=1\end{cases}$
表1
| $x$ | $-1$ | $1$ | $2$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $1$ | $-1$ | $-2$ |
表2
A.$\begin{cases}x=2, \\y=-2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=-1, \\y=1\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=1, \\y=-1\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=3, \\y=1\end{cases}$
答案
7. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要回忆二元一次方程组解的定义：方程组的解是同时满足组内两个方程的未知数的取值，也就是这个解既要属于第一个方程的解集合，也要属于第二个方程的解集合。所以我们只需分别整理两个方程给出的已知解，找到同时出现在两个解集合里的那一组，就是方程组的解，不需要复杂的解方程计算。
【解析】
1. 明确核心概念：二元一次方程组的解是同时满足组内两个二元一次方程的x、y的取值。
2. 整理两个方程的已知解：
方程$a_1x + b_1y = c_1$的部分解为：$\begin{cases}x=-1\\y=1\end{cases}$、$\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}$、$\begin{cases}x=2\\y=-2\end{cases}$；
方程$a_2x + b_2y = c_2$的部分解为：$\begin{cases}x=0\\y=-2\end{cases}$、$\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}$、$\begin{cases}x=2\\y=0\end{cases}$。
3. 找公共解：对比两组解，只有$\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}$同时是两个方程的解，因此它就是该方程组的解。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的解，二元一次方程组的解
【点评】
本题侧重考查对二元一次方程组解的概念的理解，无需列方程计算，只要抓住“方程组的解是两个方程的公共解”这一核心即可快速得出答案，解题思路十分灵活。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要回忆二元一次方程组解的定义：方程组的解是同时满足组内两个方程的未知数的取值，也就是这个解既要属于第一个方程的解集合，也要属于第二个方程的解集合。所以我们只需分别整理两个方程给出的已知解，找到同时出现在两个解集合里的那一组，就是方程组的解，不需要复杂的解方程计算。
【解析】
1. 明确核心概念：二元一次方程组的解是同时满足组内两个二元一次方程的x、y的取值。
2. 整理两个方程的已知解：
方程$a_1x + b_1y = c_1$的部分解为：$\begin{cases}x=-1\\y=1\end{cases}$、$\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}$、$\begin{cases}x=2\\y=-2\end{cases}$；
方程$a_2x + b_2y = c_2$的部分解为：$\begin{cases}x=0\\y=-2\end{cases}$、$\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}$、$\begin{cases}x=2\\y=0\end{cases}$。
3. 找公共解：对比两组解，只有$\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}$同时是两个方程的解，因此它就是该方程组的解。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的解，二元一次方程组的解
【点评】
本题侧重考查对二元一次方程组解的概念的理解，无需列方程计算，只要抓住“方程组的解是两个方程的公共解”这一核心即可快速得出答案，解题思路十分灵活。
【难度系数】
0.8
8. 如果一个三位自然数$\overline{abc}$的各位数字互不相等，且满足$\overline{ab}-\overline{bc}=25$，那么称这个三位自然数为“定差数”。例如数527，它各位数字互不相等，满足$52-27=25$，因此527是“定差数”。最小的“定差数”是
305
。若一个“定差数”除以3所得的余数是2，则满足条件的所有“定差数”中最大的是749
。答案
8. 305 749
解析
【分析】
首先将“定差数”的条件转化为数学等式：三位数百位为$a$、十位为$b$、个位为$c$，由$\overline{ab}-\overline{bc}=25$可化简得$10a-9b-c=25$，同时满足$a、b、c$互不相等，$1≤a≤9$，$0≤b,c≤9$。求最小定差数时，优先让百位$a$尽可能小，从小到大枚举$a$的值验证；求除以3余2的最大定差数时，优先让百位$a$尽可能大，结合“各位数字和除以3余2”的条件，从大到小枚举$a、b$的值验证即可。
【解析】
首先推导核心关系式：
$\overline{ab}=10a+b$，$\overline{bc}=10b+c$，代入条件得：
$(10a+b)-(10b+c)=25$
整理得：$c=10a-9b-25$（$a、b、c$为整数，且互不相等，$1≤a≤9$，$0≤b,c≤9$）
求最小的“定差数”
要三位数最小，优先让百位$a$尽可能小：
1. $a=1$时，$c=10-9b-25=-15-9b＜0$，不符合要求；
2. $a=2$时，$c=20-9b-25=-5-9b＜0$，不符合要求；
3. $a=3$时，$c=30-9b-25=5-9b$，仅$b=0$时$c=5≥0$，得到三位数305，各位数字互不相等，符合要求。
求除以3余2的最大“定差数”
一个数除以3的余数等于其各位数字之和除以3的余数，因此要求$a+b+c$除以3余2，要数最大，优先让$a$尽可能大：
1. $a=9$时，$c=65-9b$，$c≤9$得$b≥7$：$b=7$时$c=2$，数为972，各位和为18，除以3余0，不符合；$b≥8$时$c$为负数，不符合；
2. $a=8$时，$c=55-9b$，$c≤9$得$b≥6$：$b=6$时$c=1$，数为861，各位和为15，除以3余0，不符合；$b≥7$时$c$为负数，不符合；
3. $a=7$时，$c=45-9b$，$c≥0$得$b≤5$，优先取大的$b$：$b=5$时$c=0$，数为750，各位和为12，除以3余0，不符合；$b=4$时$c=9$，数为749，各位和为20，除以3余2，符合要求，且各位数字互不相等。
【答案】
305；749
【知识点】
数位代数式表示、3的整除特征、新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查了数位的代数表达和整数的整除性质，解题时通过控制高位数字的大小快速缩小枚举范围，结合验证即可得到结果，能有效锻炼分类讨论和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
首先将“定差数”的条件转化为数学等式：三位数百位为$a$、十位为$b$、个位为$c$，由$\overline{ab}-\overline{bc}=25$可化简得$10a-9b-c=25$，同时满足$a、b、c$互不相等，$1≤a≤9$，$0≤b,c≤9$。求最小定差数时，优先让百位$a$尽可能小，从小到大枚举$a$的值验证；求除以3余2的最大定差数时，优先让百位$a$尽可能大，结合“各位数字和除以3余2”的条件，从大到小枚举$a、b$的值验证即可。
【解析】
首先推导核心关系式：
$\overline{ab}=10a+b$，$\overline{bc}=10b+c$，代入条件得：
$(10a+b)-(10b+c)=25$
整理得：$c=10a-9b-25$（$a、b、c$为整数，且互不相等，$1≤a≤9$，$0≤b,c≤9$）
求最小的“定差数”
要三位数最小，优先让百位$a$尽可能小：
1. $a=1$时，$c=10-9b-25=-15-9b＜0$，不符合要求；
2. $a=2$时，$c=20-9b-25=-5-9b＜0$，不符合要求；
3. $a=3$时，$c=30-9b-25=5-9b$，仅$b=0$时$c=5≥0$，得到三位数305，各位数字互不相等，符合要求。
求除以3余2的最大“定差数”
一个数除以3的余数等于其各位数字之和除以3的余数，因此要求$a+b+c$除以3余2，要数最大，优先让$a$尽可能大：
1. $a=9$时，$c=65-9b$，$c≤9$得$b≥7$：$b=7$时$c=2$，数为972，各位和为18，除以3余0，不符合；$b≥8$时$c$为负数，不符合；
2. $a=8$时，$c=55-9b$，$c≤9$得$b≥6$：$b=6$时$c=1$，数为861，各位和为15，除以3余0，不符合；$b≥7$时$c$为负数，不符合；
3. $a=7$时，$c=45-9b$，$c≥0$得$b≤5$，优先取大的$b$：$b=5$时$c=0$，数为750，各位和为12，除以3余0，不符合；$b=4$时$c=9$，数为749，各位和为20，除以3余2，符合要求，且各位数字互不相等。
【答案】
305；749
【知识点】
数位代数式表示、3的整除特征、新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查了数位的代数表达和整数的整除性质，解题时通过控制高位数字的大小快速缩小枚举范围，结合验证即可得到结果，能有效锻炼分类讨论和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
9. 把周长相等的正方形甲和长方形乙分别按图1方式放置在周长为52的大长方形ABCD内（有重叠）。阴影部分①和②的周长之和为40，则正方形甲的边长为
8
。答案
9. 8
解析
【分析】
解题时我们可以通过设未知数构造二元一次方程组求解：首先设正方形甲的边长为$a$，甲和乙重叠部分的小正方形边长为$x$。第一步，根据正方形甲和长方形乙周长相等，可得到乙的长+宽$=2a$；第二步，结合图形分别表示出大长方形$ABCD$的周长、阴影①②的周长和，根据题目给出的数值列出两个方程，联立消元即可求出$a$的值。
【解析】
设正方形甲的边长为$a$，正方形甲和长方形乙重叠部分的小正方形边长为$x$。
1. 由正方形甲和长方形乙周长相等，得：长方形乙的长+宽$=4a÷2=2a$。
2. 观察图形，大长方形$ABCD$的长$=$乙的长$+(a-x)$，大长方形的宽$=$乙的宽$+(a-x)$，因此大长方形周长为：
$2×[(\mathrm{乙的长}+a-x)+(\mathrm{乙的宽}+a-x)]=2×[(\mathrm{乙的长}+\mathrm{乙的宽})+2a-2x]$
代入乙的长+宽$=2a$，结合大长方形周长为52，得方程①：
$2×(2a+2a-2x)=52$，化简得$2a-x=13$。
3. 阴影①的周长$=2×[(\mathrm{乙的宽}-x)+(a-x)]$，阴影②的周长$=2×[(\mathrm{乙的长}-x)+(a-x)]$，两者周长和为：
$2×[(\mathrm{乙的宽}-x)+(a-x)+(\mathrm{乙的长}-x)+(a-x)]=2×[(\mathrm{乙的长}+\mathrm{乙的宽})+2a-4x]$
代入乙的长+宽$=2a$，结合阴影周长和为40，得方程②：
$2×(2a+2a-4x)=40$，化简得$a-x=5$。
4. 用方程①减去方程②：$(2a-x)-(a-x)=13-5$，解得$a=8$。
【答案】
8
【知识点】
二元一次方程组应用，正方形与长方形周长，图形边长关系分析
【点评】
本题结合几何图形考查方程的实际应用，解题关键是观察图形理清各部分边长的数量关系，巧妙利用周长相等的条件简化计算，消元即可快速得到结果。
【难度系数】
0.6
解题时我们可以通过设未知数构造二元一次方程组求解：首先设正方形甲的边长为$a$，甲和乙重叠部分的小正方形边长为$x$。第一步，根据正方形甲和长方形乙周长相等，可得到乙的长+宽$=2a$；第二步，结合图形分别表示出大长方形$ABCD$的周长、阴影①②的周长和，根据题目给出的数值列出两个方程，联立消元即可求出$a$的值。
【解析】
设正方形甲的边长为$a$，正方形甲和长方形乙重叠部分的小正方形边长为$x$。
1. 由正方形甲和长方形乙周长相等，得：长方形乙的长+宽$=4a÷2=2a$。
2. 观察图形，大长方形$ABCD$的长$=$乙的长$+(a-x)$，大长方形的宽$=$乙的宽$+(a-x)$，因此大长方形周长为：
$2×[(\mathrm{乙的长}+a-x)+(\mathrm{乙的宽}+a-x)]=2×[(\mathrm{乙的长}+\mathrm{乙的宽})+2a-2x]$
代入乙的长+宽$=2a$，结合大长方形周长为52，得方程①：
$2×(2a+2a-2x)=52$，化简得$2a-x=13$。
3. 阴影①的周长$=2×[(\mathrm{乙的宽}-x)+(a-x)]$，阴影②的周长$=2×[(\mathrm{乙的长}-x)+(a-x)]$，两者周长和为：
$2×[(\mathrm{乙的宽}-x)+(a-x)+(\mathrm{乙的长}-x)+(a-x)]=2×[(\mathrm{乙的长}+\mathrm{乙的宽})+2a-4x]$
代入乙的长+宽$=2a$，结合阴影周长和为40，得方程②：
$2×(2a+2a-4x)=40$，化简得$a-x=5$。
4. 用方程①减去方程②：$(2a-x)-(a-x)=13-5$，解得$a=8$。
【答案】
8
【知识点】
二元一次方程组应用，正方形与长方形周长，图形边长关系分析
【点评】
本题结合几何图形考查方程的实际应用，解题关键是观察图形理清各部分边长的数量关系，巧妙利用周长相等的条件简化计算，消元即可快速得到结果。
【难度系数】
0.6
10.【背景】换元法又称变量替换法，是我们解题常用的方法之一. 利用换元法，可以化繁为简，化难为易，从而找到解题的捷径.
【初步思考】（1）已知$\begin{cases}5x - 3y = 16, \\3x - 5y = 0\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 5, \\y = 3,\end{cases}$求二元一次方程组$\begin{cases}5(x + y) - 3(x - y) = 16, \\3(x + y) - 5(x - y) = 0\end{cases}$的解.
【拓展应用】（2）若关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = 5, \\a_2x - b_2y = 2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 3, \\y = 4,\end{cases}$求关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y - 5 = 2a_1 - b_1, \\a_2x - b_2y - 2 = 2a_2 + b_2\end{cases}$的解.
【初步思考】（1）已知$\begin{cases}5x - 3y = 16, \\3x - 5y = 0\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 5, \\y = 3,\end{cases}$求二元一次方程组$\begin{cases}5(x + y) - 3(x - y) = 16, \\3(x + y) - 5(x - y) = 0\end{cases}$的解.
【拓展应用】（2）若关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = 5, \\a_2x - b_2y = 2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 3, \\y = 4,\end{cases}$求关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y - 5 = 2a_1 - b_1, \\a_2x - b_2y - 2 = 2a_2 + b_2\end{cases}$的解.
答案
10.（1）根据题意，设u=x+y，v=x−y，则二元一次方程组$\begin{cases}5(x+y)-3(x-y)=16, \\3(x+y)-5(x-y)=0\end{cases}$可变为$\begin{cases}5u-3v=16, \\3u-5v=0.\end{cases}$又$\because \begin{cases}5x-3y=16, \\3x-5y=0\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=5, \\y=3,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}u=x+y=5, \\v=x-y=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=4, \\y=1\end{cases}$
（2）$\because \begin{cases}a_1x+b_1y-5=2a_1-b_1, \\a_2x-b_2y-2=2a_2+b_2,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}a_1x+b_1y-2a_1+b_1=5, \\a_2x-b_2y-2a_2-b_2=2,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}a_1(x-2)+b_1(y+1)=5, \\a_2(x-2)-b_2(y+1)=2.\end{cases}$令u=x−2，v=y+1，又$\because$方程组$\begin{cases}a_1x+b_1y=5, \\a_2x-b_2y=2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=3, \\y=4,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}u=x-2=3, \\v=y+1=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=5, \\y=3\end{cases}$
（2）$\because \begin{cases}a_1x+b_1y-5=2a_1-b_1, \\a_2x-b_2y-2=2a_2+b_2,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}a_1x+b_1y-2a_1+b_1=5, \\a_2x-b_2y-2a_2-b_2=2,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}a_1(x-2)+b_1(y+1)=5, \\a_2(x-2)-b_2(y+1)=2.\end{cases}$令u=x−2，v=y+1，又$\because$方程组$\begin{cases}a_1x+b_1y=5, \\a_2x-b_2y=2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=3, \\y=4,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}u=x-2=3, \\v=y+1=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=5, \\y=3\end{cases}$
解析
【分析】
本题考查换元法解二元一次方程组，解题核心是利用整体思想，对比待解方程组与已知解的方程组的结构特征，通过换元将未知问题转化为已知问题求解。
（1）观察待解方程组，发现其左边系数和常数项与已知解的方程组完全一致，只是将原方程组中的$x$替换为$x+y$，$y$替换为$x-y$，因此可设$u=x+y$，$v=x-y$，直接利用已知方程组的解得到$u$、$v$的值，再解关于$x$、$y$的简单方程组即可。
（2）先将待解方程组移项整理，把含$a_1$、$b_1$和$a_2$、$b_2$的项分别合并，提取公因式后凑出与已知方程组结构相同的形式，设$u=x-2$，$v=y+1$，再利用已知解求出$u$、$v$，进而得到$x$、$y$的值。
【解析】
（1）设$u=x+y$，$v=x-y$，
则待解方程组$\begin{cases}5(x+y)-3(x-y)=16 \\3(x+y)-5(x-y)=0\end{cases}$可变形为$\begin{cases}5u-3v=16 \\3u-5v=0\end{cases}$，
已知方程组$\begin{cases}5x-3y=16 \\3x-5y=0\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=5 \\y=3\end{cases}$，因此可得$\begin{cases}u=5 \\v=3\end{cases}$，即$\begin{cases}x+y=5 ①\\x-y=3 ②\end{cases}$，
①+②得：$2x=8$，解得$x=4$，
把$x=4$代入①得：$4+y=5$，解得$y=1$。
（2）先整理待解方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y - 5 = 2a_1 - b_1 \\a_2x - b_2y - 2 = 2a_2 + b_2\end{cases}$，
移项得：$\begin{cases}a_1x + b_1y -2a_1 + b_1 =5 \\a_2x - b_2y -2a_2 -b_2=2\end{cases}$，
提取公因式得：$\begin{cases}a_1(x-2) + b_1(y+1) =5 \\a_2(x-2) - b_2(y+1) =2\end{cases}$，
设$u=x-2$，$v=y+1$，则上述方程组可变形为$\begin{cases}a_1u + b_1v=5 \\a_2u - b_2v=2\end{cases}$，
已知方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y=5 \\a_2x - b_2y=2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=3 \\y=4\end{cases}$，因此可得$\begin{cases}u=3 \\v=4\end{cases}$，即$\begin{cases}x-2=3 \\y+1=4\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=5 \\y=3\end{cases}$。
【答案】
（1）$\begin{cases}x=4 \\y=1\end{cases}$；（2）$\begin{cases}x=5 \\y=3\end{cases}$
【知识点】
换元法解二元一次方程组；二元一次方程组的解
【点评】
本题重点考查整体代换的数学思想，解题关键是准确识别方程组的结构共性，通过换元将陌生方程组转化为已知解的方程组，大幅降低计算难度，是换元法应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
本题考查换元法解二元一次方程组，解题核心是利用整体思想，对比待解方程组与已知解的方程组的结构特征，通过换元将未知问题转化为已知问题求解。
（1）观察待解方程组，发现其左边系数和常数项与已知解的方程组完全一致，只是将原方程组中的$x$替换为$x+y$，$y$替换为$x-y$，因此可设$u=x+y$，$v=x-y$，直接利用已知方程组的解得到$u$、$v$的值，再解关于$x$、$y$的简单方程组即可。
（2）先将待解方程组移项整理，把含$a_1$、$b_1$和$a_2$、$b_2$的项分别合并，提取公因式后凑出与已知方程组结构相同的形式，设$u=x-2$，$v=y+1$，再利用已知解求出$u$、$v$，进而得到$x$、$y$的值。
【解析】
（1）设$u=x+y$，$v=x-y$，
则待解方程组$\begin{cases}5(x+y)-3(x-y)=16 \\3(x+y)-5(x-y)=0\end{cases}$可变形为$\begin{cases}5u-3v=16 \\3u-5v=0\end{cases}$，
已知方程组$\begin{cases}5x-3y=16 \\3x-5y=0\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=5 \\y=3\end{cases}$，因此可得$\begin{cases}u=5 \\v=3\end{cases}$，即$\begin{cases}x+y=5 ①\\x-y=3 ②\end{cases}$，
①+②得：$2x=8$，解得$x=4$，
把$x=4$代入①得：$4+y=5$，解得$y=1$。
（2）先整理待解方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y - 5 = 2a_1 - b_1 \\a_2x - b_2y - 2 = 2a_2 + b_2\end{cases}$，
移项得：$\begin{cases}a_1x + b_1y -2a_1 + b_1 =5 \\a_2x - b_2y -2a_2 -b_2=2\end{cases}$，
提取公因式得：$\begin{cases}a_1(x-2) + b_1(y+1) =5 \\a_2(x-2) - b_2(y+1) =2\end{cases}$，
设$u=x-2$，$v=y+1$，则上述方程组可变形为$\begin{cases}a_1u + b_1v=5 \\a_2u - b_2v=2\end{cases}$，
已知方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y=5 \\a_2x - b_2y=2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=3 \\y=4\end{cases}$，因此可得$\begin{cases}u=3 \\v=4\end{cases}$，即$\begin{cases}x-2=3 \\y+1=4\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=5 \\y=3\end{cases}$。
【答案】
（1）$\begin{cases}x=4 \\y=1\end{cases}$；（2）$\begin{cases}x=5 \\y=3\end{cases}$
【知识点】
换元法解二元一次方程组；二元一次方程组的解
【点评】
本题重点考查整体代换的数学思想，解题关键是准确识别方程组的结构共性，通过换元将陌生方程组转化为已知解的方程组，大幅降低计算难度，是换元法应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
