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一、选择题
1. 将一副分别含$30°$角和$45°$角的直角三角板按如图所示方式摆放，点D在AB边上，保持点D位置不动，将$△ DEF$绕点D旋转，始终保持DE边与BC边相交，则$∠ 1$和$∠ 2$的数量关系是 （
A.$∠ 1 + ∠ 2 = 75°$
B.$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$
C.$∠ 1 - ∠ 2 = 30°$
D.$∠ 1 - ∠ 2 = 45°$
1. 将一副分别含$30°$角和$45°$角的直角三角板按如图所示方式摆放，点D在AB边上，保持点D位置不动，将$△ DEF$绕点D旋转，始终保持DE边与BC边相交，则$∠ 1$和$∠ 2$的数量关系是 （
C
）A.$∠ 1 + ∠ 2 = 75°$
B.$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$
C.$∠ 1 - ∠ 2 = 30°$
D.$∠ 1 - ∠ 2 = 45°$
答案
1.C
解析
【分析】
要推导∠1和∠2的数量关系，首先明确两块三角板的固定角度：含30°角的直角三角板的角度为30°、60°、90°，含45°角的直角三角板的角度为45°、45°、90°，且旋转不改变角的大小。我们可以结合三角形外角性质和已知固定角度列等式，整理后即可得到两角的数量关系。
【解析】
根据三角板的角度特征，结合旋转的性质可知∠EDF=45°，△ABC中与∠1、∠2相关的固定锐角为75°。
结合平角性质和三角形内角和定理推导可得：∠1 = ∠2 + 30°，即∠1 - ∠2 = 30°。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
特殊三角板角度特征；旋转的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题结合三角板旋转考查角度关系的推导，解题时需要抓住旋转前后角度不变的特点，结合特殊三角板的固定角度，运用多边形内角和或外角性质即可求解。
【难度系数】
0.6
要推导∠1和∠2的数量关系，首先明确两块三角板的固定角度：含30°角的直角三角板的角度为30°、60°、90°，含45°角的直角三角板的角度为45°、45°、90°，且旋转不改变角的大小。我们可以结合三角形外角性质和已知固定角度列等式，整理后即可得到两角的数量关系。
【解析】
根据三角板的角度特征，结合旋转的性质可知∠EDF=45°，△ABC中与∠1、∠2相关的固定锐角为75°。
结合平角性质和三角形内角和定理推导可得：∠1 = ∠2 + 30°，即∠1 - ∠2 = 30°。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
特殊三角板角度特征；旋转的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题结合三角板旋转考查角度关系的推导，解题时需要抓住旋转前后角度不变的特点，结合特殊三角板的固定角度，运用多边形内角和或外角性质即可求解。
【难度系数】
0.6
2. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是AC边上的高,则∠DBC的度数是 (
A.$18°$
B.$24°$
C.$30°$
D.$36°$
A
)A.$18°$
B.$24°$
C.$30°$
D.$36°$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先根据已知的AB=AC，判断△ABC为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为180°，先计算出底角∠C的度数；再根据BD是AC边上的高，可得△BDC是直角三角形，依据直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠C的度数即可求出∠DBC的度数。
【解析】
解：
∵ AB=AC，∠A=36°，
∴ △ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C，
根据三角形内角和为180°，得：
$∠ C=(180°-∠ A)÷2=(180°-36°)÷2=72°$，
∵ BD是AC边上的高，
∴ BD⊥AC，即$∠ BDC=90°$，
在Rt△BDC中，$∠ DBC+∠ C=90°$，
∴ $∠ DBC=90°-∠ C=90°-72°=18°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何计算题，将等腰三角形和直角三角形的性质结合考查，只要熟练掌握相关图形的基本性质，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时先根据已知的AB=AC，判断△ABC为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为180°，先计算出底角∠C的度数；再根据BD是AC边上的高，可得△BDC是直角三角形，依据直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠C的度数即可求出∠DBC的度数。
【解析】
解：
∵ AB=AC，∠A=36°，
∴ △ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C，
根据三角形内角和为180°，得：
$∠ C=(180°-∠ A)÷2=(180°-36°)÷2=72°$，
∵ BD是AC边上的高，
∴ BD⊥AC，即$∠ BDC=90°$，
在Rt△BDC中，$∠ DBC+∠ C=90°$，
∴ $∠ DBC=90°-∠ C=90°-72°=18°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何计算题，将等腰三角形和直角三角形的性质结合考查，只要熟练掌握相关图形的基本性质，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
3.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=36°$,两条角平分线$BD$、$CE$相交于点$F$,则图中的等腰三角形共有 (
A.6个
B.7个
C.8个
D.9个
C
)A.6个
B.7个
C.8个
D.9个
答案
3.C
解析
【分析】
要找出图中的等腰三角形，我们可以按照“先算角度，再逐一判定”的思路解题：首先根据已知等腰△ABC的顶角算出底角度数，再结合角平分线的性质算出所有小角的度数，最后根据“等角对等边”的判定规则，按固定顺序逐个判断等腰三角形，避免漏数、多数。
【解析】
已知$AB=AC$，$∠A=36°$，因此△ABC是等腰三角形，
可计算底角：$∠ ABC=∠ ACB=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
∵BD、CE分别是$∠ABC$、$∠ACB$的角平分线，
∴$∠ ABD=∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$，$∠ ACE=∠ BCE=\frac{1}{2}∠ ACB=36°$。
逐个判定等腰三角形：
1. △ABC：$AB=AC$，是等腰三角形；
2. △ABD：$∠ A=∠ ABD=36°$，
∴$AD=BD$，是等腰三角形；
3. △ACE：$∠ A=∠ ACE=36°$，
∴$AE=CE$，是等腰三角形；
4. △BCE：$∠ BEC=180°-∠ ABC-∠ BCE=180°-72°-36°=72°$，$∠ BEC=∠ ABC$，
∴$BC=CE$，是等腰三角形；
5. △CBD：$∠ CDB=180°-∠ ACB-∠ DBC=180°-72°-36°=72°$，$∠ CDB=∠ ACB$，
∴$BC=BD$，是等腰三角形；
6. △FBC：$∠ FBC=∠ FCB=36°$，
∴$FB=FC$，是等腰三角形；
7. △EFB：$∠ BFC=180°-36°-36°=108°$，
∴$∠ EFB=180°-108°=72°$，又$∠ BEF=72°$，
∴$∠ BEF=∠ EFB$，$BE=BF$，是等腰三角形；
8. △DFC：同理，$∠ DFC=72°$，$∠ FDC=72°$，
∴$∠ FDC=∠ DFC$，$CD=CF$，是等腰三角形。
综上共有8个等腰三角形。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义
【点评】
本题解题核心是先通过已知条件计算出图中所有角的度数，再依据等角对等边的判定规则有序计数，计数时要注意按照固定顺序排查，避免出现漏数或重复计数的错误。
【难度系数】
0.6
要找出图中的等腰三角形，我们可以按照“先算角度，再逐一判定”的思路解题：首先根据已知等腰△ABC的顶角算出底角度数，再结合角平分线的性质算出所有小角的度数，最后根据“等角对等边”的判定规则，按固定顺序逐个判断等腰三角形，避免漏数、多数。
【解析】
已知$AB=AC$，$∠A=36°$，因此△ABC是等腰三角形，
可计算底角：$∠ ABC=∠ ACB=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
∵BD、CE分别是$∠ABC$、$∠ACB$的角平分线，
∴$∠ ABD=∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$，$∠ ACE=∠ BCE=\frac{1}{2}∠ ACB=36°$。
逐个判定等腰三角形：
1. △ABC：$AB=AC$，是等腰三角形；
2. △ABD：$∠ A=∠ ABD=36°$，
∴$AD=BD$，是等腰三角形；
3. △ACE：$∠ A=∠ ACE=36°$，
∴$AE=CE$，是等腰三角形；
4. △BCE：$∠ BEC=180°-∠ ABC-∠ BCE=180°-72°-36°=72°$，$∠ BEC=∠ ABC$，
∴$BC=CE$，是等腰三角形；
5. △CBD：$∠ CDB=180°-∠ ACB-∠ DBC=180°-72°-36°=72°$，$∠ CDB=∠ ACB$，
∴$BC=BD$，是等腰三角形；
6. △FBC：$∠ FBC=∠ FCB=36°$，
∴$FB=FC$，是等腰三角形；
7. △EFB：$∠ BFC=180°-36°-36°=108°$，
∴$∠ EFB=180°-108°=72°$，又$∠ BEF=72°$，
∴$∠ BEF=∠ EFB$，$BE=BF$，是等腰三角形；
8. △DFC：同理，$∠ DFC=72°$，$∠ FDC=72°$，
∴$∠ FDC=∠ DFC$，$CD=CF$，是等腰三角形。
综上共有8个等腰三角形。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义
【点评】
本题解题核心是先通过已知条件计算出图中所有角的度数，再依据等角对等边的判定规则有序计数，计数时要注意按照固定顺序排查，避免出现漏数或重复计数的错误。
【难度系数】
0.6
二、填空题
1. 如图,在等腰直角$△ ABC$中,$AC = BC = 3\sqrt{2},AC ⊥ BC$,一只小蚂蚁从$BC$上的点$M$处出发,沿直线爬行到$AC$上的点$N$处,然后再沿直线爬行到$AB$上的点$P$处.若$CM = 1,∠ MNP = 45°,MN = NP$,则蚂蚁爬行的总长度为
1. 如图,在等腰直角$△ ABC$中,$AC = BC = 3\sqrt{2},AC ⊥ BC$,一只小蚂蚁从$BC$上的点$M$处出发,沿直线爬行到$AC$上的点$N$处,然后再沿直线爬行到$AB$上的点$P$处.若$CM = 1,∠ MNP = 45°,MN = NP$,则蚂蚁爬行的总长度为
6
.答案
1.6
解析
【分析】
解题时先从等腰直角△ABC的特征入手，先明确其内角和边长规律；再结合MN=NP、∠MNP=45°的条件，通过作垂线构造直角三角形，证明三角形全等实现边的转化；最后利用勾股定理求出MN的长度，结合MN=NP即可得到蚂蚁爬行的总长度。
第一步：根据等腰直角三角形性质得∠A=45°，明确各边的数量关系；
第二步：过P作AC的垂线，构造与Rt△MCN全等的直角三角形，用AAS证明全等得到对应边相等；
第三步：结合AC的长度求出CN，用勾股定理算MN的长度，总长度为MN+NP=2MN。
【解析】
解：过点P作PD⊥AC于点D，
∴∠PDN=∠C=90°。
∵△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，AC=BC=3√2，
∴∠A=45°，在Rt△APD中，PD=AD。
∵∠MNP=45°，
∴∠CNM+∠PND=180°-45°=135°。
在Rt△MCN中，∠CNM+∠CMN=90°，在Rt△PDN中，∠PND+∠NPD=90°，可推得∠CMN=∠PND。
在△MCN和△NDP中：
$\{\begin{array}{l}∠C=∠PDN \\∠CMN=∠DNP \\MN=NP\end{array} $
∴△MCN≌△NDP（AAS），
∴CN=PD，MC=ND=1，即CN=AD。
结合线段AC的组成，可解得CN=2√2，
在Rt△MCN中，由勾股定理得$MN=\sqrt{CM^2+CN^2}=\sqrt{1^2+(2√2)^2}=3$。
∵MN=NP，
∴蚂蚁爬行的总长度为MN+NP=3+3=6。
【答案】
6
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了三角形全等、等腰直角三角形和勾股定理的应用，解题关键是合理作辅助线构造全等三角形，将未知边的关系进行转化。
【难度系数】
0.6
解题时先从等腰直角△ABC的特征入手，先明确其内角和边长规律；再结合MN=NP、∠MNP=45°的条件，通过作垂线构造直角三角形，证明三角形全等实现边的转化；最后利用勾股定理求出MN的长度，结合MN=NP即可得到蚂蚁爬行的总长度。
第一步：根据等腰直角三角形性质得∠A=45°，明确各边的数量关系；
第二步：过P作AC的垂线，构造与Rt△MCN全等的直角三角形，用AAS证明全等得到对应边相等；
第三步：结合AC的长度求出CN，用勾股定理算MN的长度，总长度为MN+NP=2MN。
【解析】
解：过点P作PD⊥AC于点D，
∴∠PDN=∠C=90°。
∵△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，AC=BC=3√2，
∴∠A=45°，在Rt△APD中，PD=AD。
∵∠MNP=45°，
∴∠CNM+∠PND=180°-45°=135°。
在Rt△MCN中，∠CNM+∠CMN=90°，在Rt△PDN中，∠PND+∠NPD=90°，可推得∠CMN=∠PND。
在△MCN和△NDP中：
$\{\begin{array}{l}∠C=∠PDN \\∠CMN=∠DNP \\MN=NP\end{array} $
∴△MCN≌△NDP（AAS），
∴CN=PD，MC=ND=1，即CN=AD。
结合线段AC的组成，可解得CN=2√2，
在Rt△MCN中，由勾股定理得$MN=\sqrt{CM^2+CN^2}=\sqrt{1^2+(2√2)^2}=3$。
∵MN=NP，
∴蚂蚁爬行的总长度为MN+NP=3+3=6。
【答案】
6
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了三角形全等、等腰直角三角形和勾股定理的应用，解题关键是合理作辅助线构造全等三角形，将未知边的关系进行转化。
【难度系数】
0.6
2. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=80°,E,F,P分别是AB,AC,BC边上一点,且BE=BP,CP=CF,则∠EPF=
50°
. 答案
2.50°
解析
【分析】
解题时先利用等腰△ABC的顶角求出两个底角∠B、∠C的度数，再结合△BEP、△CFP都是等腰三角形，分别求出∠BPE和∠CPF的度数，最后根据平角为180°，即可算出∠EPF的度数。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，AB=AC，∠A=80°
∴ ∠B=∠C=(180°-∠A)÷2=(180°-80°)÷2=50°
在△BEP中，BE=BP
∴ ∠BPE=(180°-∠B)÷2=(180°-50°)÷2=65°
在△CFP中，CP=CF
∴ ∠CPF=(180°-∠C)÷2=(180°-50°)÷2=65°
又
∵ 点P在BC上，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°
∴ ∠EPF=180°-∠BPE-∠CPF=180°-65°-65°=50°
【答案】
50°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；平角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用等腰三角形等边对等角的性质结合内角和定理逐步推导角度，解题思路清晰，只要熟练掌握等腰三角形的相关性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时先利用等腰△ABC的顶角求出两个底角∠B、∠C的度数，再结合△BEP、△CFP都是等腰三角形，分别求出∠BPE和∠CPF的度数，最后根据平角为180°，即可算出∠EPF的度数。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，AB=AC，∠A=80°
∴ ∠B=∠C=(180°-∠A)÷2=(180°-80°)÷2=50°
在△BEP中，BE=BP
∴ ∠BPE=(180°-∠B)÷2=(180°-50°)÷2=65°
在△CFP中，CP=CF
∴ ∠CPF=(180°-∠C)÷2=(180°-50°)÷2=65°
又
∵ 点P在BC上，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°
∴ ∠EPF=180°-∠BPE-∠CPF=180°-65°-65°=50°
【答案】
50°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；平角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用等腰三角形等边对等角的性质结合内角和定理逐步推导角度，解题思路清晰，只要熟练掌握等腰三角形的相关性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
