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7. (1)某单位招聘员工,采用笔试与面试相结合的方式进行,两项成绩的原始分满分均为100分,根据规定,两项成绩按一定比例折算成综合成绩(综合成绩满分仍为100分),1号选手笔试85分,面试90分,综合成绩是88分,则笔试成绩和面试成绩所占的权重比是
(2)(2025·衡阳期末)某单位招录考试计算成绩是:综合成绩 = 笔试成绩$× 60\%+$面试成绩$× 40\%$,小明的笔试成绩是82分,小芳的笔试成绩是85分,若小明的综合成绩要超过小芳,则小明的面试成绩至少比小芳多
2:3
.(2)(2025·衡阳期末)某单位招录考试计算成绩是:综合成绩 = 笔试成绩$× 60\%+$面试成绩$× 40\%$,小明的笔试成绩是82分,小芳的笔试成绩是85分,若小明的综合成绩要超过小芳,则小明的面试成绩至少比小芳多
5
分(结果取整数).答案
(1)2 : 3 解析:设笔试成绩和面试成绩所占的百分比分别是x,y,根据题意得$\begin{cases} x+y=1, \\ 85x+90y=88, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=40\%, \\ y=60\%, \end{cases}$故笔试成绩和面试成绩占的百分比分别是 40%,60%,即笔试成绩和面试成绩所占的权重比是 2 : 3.
(2)5 解析:设小明的面试成绩为 x 分,小芳的面试成绩为 y 分.由题意得 82×60%+40%x＞85×60%+40%y,
∴ 0.4x-0.4y＞(85-82)×0.6,
∴ x-y＞4.5,即小明的面试成绩至少比小芳多 5 分.
(2)5 解析:设小明的面试成绩为 x 分,小芳的面试成绩为 y 分.由题意得 82×60%+40%x＞85×60%+40%y,
∴ 0.4x-0.4y＞(85-82)×0.6,
∴ x-y＞4.5,即小明的面试成绩至少比小芳多 5 分.
解析
【分析】
本题包含两小问，均围绕加权平均数与不等式的实际应用展开。第(1)问需利用加权平均数公式，结合权重和为1的条件，通过列方程组求解笔试、面试成绩的权重占比，再转化为比例；第(2)问根据给定的综合成绩规则，列出小明综合成绩超过小芳的不等式，化简后求面试成绩差值的最小整数值。
【解析】
(1)设笔试成绩所占权重为$x$，面试成绩所占权重为$y$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 1 \\85x + 90y = 88\end{cases}$
解方程组：由$x = 1 - y$代入第二个方程，得$85(1 - y) + 90y = 88$，化简得$5y = 3$，解得$y = 0.6$，则$x = 0.4$。因此笔试与面试成绩的权重比为$0.4:0.6 = 2:3$。
(2)设小明的面试成绩为$x$分，小芳的面试成绩为$y$分，根据综合成绩要求列不等式：
$82×60\% + 40\%x ＞ 85×60\% + 40\%y$
化简得：$0.4(x - y) ＞ (85 - 82)×0.6$，即$0.4(x - y) ＞ 1.8$，进一步得$x - y ＞ 4.5$。因结果取整数，故小明的面试成绩至少比小芳多5分。
【答案】
(1)$2:3$；(2)$5$
【知识点】
加权平均数，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合招聘场景考察基础统计知识，将加权平均与不等式应用结合，注重知识的实际运用，属于难度适中的基础应用题。
【难度系数】
0.6
本题包含两小问，均围绕加权平均数与不等式的实际应用展开。第(1)问需利用加权平均数公式，结合权重和为1的条件，通过列方程组求解笔试、面试成绩的权重占比，再转化为比例；第(2)问根据给定的综合成绩规则，列出小明综合成绩超过小芳的不等式，化简后求面试成绩差值的最小整数值。
【解析】
(1)设笔试成绩所占权重为$x$，面试成绩所占权重为$y$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 1 \\85x + 90y = 88\end{cases}$
解方程组：由$x = 1 - y$代入第二个方程，得$85(1 - y) + 90y = 88$，化简得$5y = 3$，解得$y = 0.6$，则$x = 0.4$。因此笔试与面试成绩的权重比为$0.4:0.6 = 2:3$。
(2)设小明的面试成绩为$x$分，小芳的面试成绩为$y$分，根据综合成绩要求列不等式：
$82×60\% + 40\%x ＞ 85×60\% + 40\%y$
化简得：$0.4(x - y) ＞ (85 - 82)×0.6$，即$0.4(x - y) ＞ 1.8$，进一步得$x - y ＞ 4.5$。因结果取整数，故小明的面试成绩至少比小芳多5分。
【答案】
(1)$2:3$；(2)$5$
【知识点】
加权平均数，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合招聘场景考察基础统计知识，将加权平均与不等式应用结合，注重知识的实际运用，属于难度适中的基础应用题。
【难度系数】
0.6
8. 花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润$y$(单位:元)关于当天需求量$n$(单位:枝,$n$是自然数)的函数表达式.
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理如下:
①花店在这100天每天均购进16枝玫瑰花,求这100天的日平均利润.
②花店依据这100天记录的日需求量,计划后续每天购进17枝玫瑰花.从盈利的角度分析,你认为花店的决策是否正确?
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润$y$(单位:元)关于当天需求量$n$(单位:枝,$n$是自然数)的函数表达式.
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理如下:
①花店在这100天每天均购进16枝玫瑰花,求这100天的日平均利润.
②花店依据这100天记录的日需求量,计划后续每天购进17枝玫瑰花.从盈利的角度分析,你认为花店的决策是否正确?
答案
(1)当 n≥16 时,y = 16×(10-5) = 80; 当 n≤15 时,y = 5n-5(16-n) = 10n-80,
∴ $y=\begin{cases} 10n-80(n≤ 15), \\ 80(n≥ 16) \end{cases}$, 且 n 为自然数.
(2)①花店在这 100 天每天均购进 16 枝玫瑰花,则日平均利润为$\frac{1}{100}×[10×(10×14-16×5)+20×(10×15-16×5)+(16+16+15+13+10)×80] = 76$(元),所以这 100 天的日平均利润为 76 元.
②花店计划后续每天购进 17 枝玫瑰花,则 100 天的日平均利润为$\frac{1}{100}×[10×(5×14-3×5)+20×(5×15-2×5)+16×(5×16-5)+(16+15+13+10)×5×17] = 76.4$(元),
∴ 这 100 天的日平均利润为76.4 元.
∵ 76.4＞76,
∴ 从盈利的角度分析,花店的决策正确.
∴ $y=\begin{cases} 10n-80(n≤ 15), \\ 80(n≥ 16) \end{cases}$, 且 n 为自然数.
(2)①花店在这 100 天每天均购进 16 枝玫瑰花,则日平均利润为$\frac{1}{100}×[10×(10×14-16×5)+20×(10×15-16×5)+(16+16+15+13+10)×80] = 76$(元),所以这 100 天的日平均利润为 76 元.
②花店计划后续每天购进 17 枝玫瑰花,则 100 天的日平均利润为$\frac{1}{100}×[10×(5×14-3×5)+20×(5×15-2×5)+16×(5×16-5)+(16+15+13+10)×5×17] = 76.4$(元),
∴ 这 100 天的日平均利润为76.4 元.
∵ 76.4＞76,
∴ 从盈利的角度分析,花店的决策正确.
解析
【分析】
本题是实际销售中的利润问题，第(1)问需根据日需求量与购进量的大小关系，分情况构建利润的分段函数：当需求量足够大时，购进的花全部售出，利润固定；当需求量不足时，仅售出部分，利润需扣除未售出的成本。第(2)问的①利用100天的日需求量频数，计算不同需求量下的利润总和，再除以100得到日平均利润；②同理计算购进17枝时的日平均利润，与之前结果比较，判断决策是否正确。
【解析】
(1) 分两种情况讨论利润：
① 当日需求量 $ n ≥ 16 $ 时，购进的16枝全部售出，每枝利润为 $ 10-5=5 $ 元，因此利润 $ y=16 × 5=80 $；
② 当日需求量 $ n ≤ 15 $ 时，仅售出 $ n $ 枝，收入为 $ 10n $ 元，成本为 $ 16 × 5=80 $ 元，因此利润 $ y=10n-80 $。
综上，利润函数为：
$ y=\begin{cases} 10n-80 & (n ≤ 15, n为自然数) \\ 80 & (n ≥ 16, n为自然数) \end{cases} $
(2) ① 每天购进16枝时，计算100天总利润：
日需求量14枝：利润 $ 10 × 14 -80=60 $ 元，对应10天，总利润 $ 60 ×10=600 $；
日需求量15枝：利润 $10 ×15 -80=70 $ 元，对应20天，总利润 $70 ×20=1400 $；
日需求量≥16枝：利润均为80元，对应天数 $16+16+15+13+10=70 $ 天，总利润 $80 ×70=5600 $；
总利润 $600+1400+5600=7600 $ 元，日平均利润 $ \frac{7600}{100}=76 $ 元。
② 每天购进17枝时，重新计算利润：
日需求量14枝：利润 $10 ×14 -17 ×5=55 $ 元，对应10天，总利润 $55 ×10=550 $；
日需求量15枝：利润 $10 ×15 -17 ×5=65 $ 元，对应20天，总利润 $65 ×20=1300 $；
日需求量16枝：利润 $10 ×16 -17 ×5=75 $ 元，对应16天，总利润 $75 ×16=1200 $；
日需求量≥17枝：利润 $17 ×5=85 $ 元，对应天数 $16+15+13+10=54 $ 天，总利润 $85 ×54=4590 $；
总利润 $550+1300+1200+4590=7640 $ 元，日平均利润 $ \frac{7640}{100}=76.4 $ 元。
因为 $76.4＞76 $，所以购进17枝的日平均利润更高，花店决策正确。
【答案】
(1) $ y=\begin{cases} 10n-80(n≤ 15, n为自然数) \\ 80(n≥ 16, n为自然数) \end{cases} $；
(2) ① 76元；② 正确。
【知识点】
分段函数、平均数计算、函数实际应用
【点评】
本题结合实际销售场景，考查分段函数的构建与统计平均数的计算，需分情况讨论不同需求量下的利润，再通过频数计算平均利润，注重知识的实际运用，逻辑清晰。
【难度系数】
0.6
本题是实际销售中的利润问题，第(1)问需根据日需求量与购进量的大小关系，分情况构建利润的分段函数：当需求量足够大时，购进的花全部售出，利润固定；当需求量不足时，仅售出部分，利润需扣除未售出的成本。第(2)问的①利用100天的日需求量频数，计算不同需求量下的利润总和，再除以100得到日平均利润；②同理计算购进17枝时的日平均利润，与之前结果比较，判断决策是否正确。
【解析】
(1) 分两种情况讨论利润：
① 当日需求量 $ n ≥ 16 $ 时，购进的16枝全部售出，每枝利润为 $ 10-5=5 $ 元，因此利润 $ y=16 × 5=80 $；
② 当日需求量 $ n ≤ 15 $ 时，仅售出 $ n $ 枝，收入为 $ 10n $ 元，成本为 $ 16 × 5=80 $ 元，因此利润 $ y=10n-80 $。
综上，利润函数为：
$ y=\begin{cases} 10n-80 & (n ≤ 15, n为自然数) \\ 80 & (n ≥ 16, n为自然数) \end{cases} $
(2) ① 每天购进16枝时，计算100天总利润：
日需求量14枝：利润 $ 10 × 14 -80=60 $ 元，对应10天，总利润 $ 60 ×10=600 $；
日需求量15枝：利润 $10 ×15 -80=70 $ 元，对应20天，总利润 $70 ×20=1400 $；
日需求量≥16枝：利润均为80元，对应天数 $16+16+15+13+10=70 $ 天，总利润 $80 ×70=5600 $；
总利润 $600+1400+5600=7600 $ 元，日平均利润 $ \frac{7600}{100}=76 $ 元。
② 每天购进17枝时，重新计算利润：
日需求量14枝：利润 $10 ×14 -17 ×5=55 $ 元，对应10天，总利润 $55 ×10=550 $；
日需求量15枝：利润 $10 ×15 -17 ×5=65 $ 元，对应20天，总利润 $65 ×20=1300 $；
日需求量16枝：利润 $10 ×16 -17 ×5=75 $ 元，对应16天，总利润 $75 ×16=1200 $；
日需求量≥17枝：利润 $17 ×5=85 $ 元，对应天数 $16+15+13+10=54 $ 天，总利润 $85 ×54=4590 $；
总利润 $550+1300+1200+4590=7640 $ 元，日平均利润 $ \frac{7640}{100}=76.4 $ 元。
因为 $76.4＞76 $，所以购进17枝的日平均利润更高，花店决策正确。
【答案】
(1) $ y=\begin{cases} 10n-80(n≤ 15, n为自然数) \\ 80(n≥ 16, n为自然数) \end{cases} $；
(2) ① 76元；② 正确。
【知识点】
分段函数、平均数计算、函数实际应用
【点评】
本题结合实际销售场景，考查分段函数的构建与统计平均数的计算，需分情况讨论不同需求量下的利润，再通过频数计算平均利润，注重知识的实际运用，逻辑清晰。
【难度系数】
0.6
9. 某校举办七年级数学素养大赛,比赛共设四个项目:速算比赛、数学推理、七巧拼图、魔方复原,每个项目得分(分值都为整数)都按一定百分比折算后计入总分.并规定总分在85分以上(含85分)设为一等奖.甲、乙、丙三位同学的速算比赛得分均为72分,七巧拼图得分均为78分且此两项在总分中所占百分比相等,其余两项得分如图所示(单位:分).
(1)甲、乙、丙三位同学的速算比赛与七巧拼图这两项经折算后的得分和均为30分,求这两项在计入总分时所占的百分比；
(2)据悉乙、丙两位同学的总分分别为80分和90分,请求出数学推理和魔方复原所占的百分比；
(3)在(1)和(2)的条件下,如果甲获得了第一名,那么甲的魔方复原至少获得
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(1)甲、乙、丙三位同学的速算比赛与七巧拼图这两项经折算后的得分和均为30分,求这两项在计入总分时所占的百分比；
(2)据悉乙、丙两位同学的总分分别为80分和90分,请求出数学推理和魔方复原所占的百分比；
(3)在(1)和(2)的条件下,如果甲获得了第一名,那么甲的魔方复原至少获得
74
分.[二维码]
答案
(1)
∵ 甲、乙、丙三位同学的速算比赛得分均为 72 分,七巧拼图得分均为 78 分,且此两项在总分中所占百分比相等,且经折算后的得分和均为 30 分,
∴ 所占百分比为$\frac{30}{72+78}×100\%=20\%$.
(2)设数学推理所占百分比为 a,魔方复原所占百分比为 b,根据题意得$\begin{cases} 80a+60b=80-30, \\ 90a+80b=90-30, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=40\%, \\ b=30\%. \end{cases}$答:数学推理所占百分比为 40%,魔方复原所占百分比为 30%.
(3)74 解析:设甲的魔方复原获得 x 分,
∵ 丙的总分为90 分,
∴ 甲要得第一名,总分应高于 90 分,
∴ 95×40%+30%x+30＞90,解得$x＞\frac{220}{3}$,
∴ 甲的魔方复原至少获得 74 分.
∵ 甲、乙、丙三位同学的速算比赛得分均为 72 分,七巧拼图得分均为 78 分,且此两项在总分中所占百分比相等,且经折算后的得分和均为 30 分,
∴ 所占百分比为$\frac{30}{72+78}×100\%=20\%$.
(2)设数学推理所占百分比为 a,魔方复原所占百分比为 b,根据题意得$\begin{cases} 80a+60b=80-30, \\ 90a+80b=90-30, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=40\%, \\ b=30\%. \end{cases}$答:数学推理所占百分比为 40%,魔方复原所占百分比为 30%.
(3)74 解析:设甲的魔方复原获得 x 分,
∵ 丙的总分为90 分,
∴ 甲要得第一名,总分应高于 90 分,
∴ 95×40%+30%x+30＞90,解得$x＞\frac{220}{3}$,
∴ 甲的魔方复原至少获得 74 分.
解析
【分析】
首先处理第(1)问，已知三位同学速算和七巧拼图的得分相同，且两项折算后的得分和为30分，因两项所占百分比相等，先计算两项总得分，再用折算得分和除以总得分得到百分比；第(2)问，设数学推理和魔方复原的百分比为未知数，根据乙、丙的总分减去前两项的折算和，得到这两项的折算得分，列出二元一次方程组求解；第(3)问，甲要获第一名，总分需高于丙的90分，结合已求出的百分比列不等式，根据分值为整数的条件求最小得分。
【解析】
(1) 速算得分72分，七巧拼图得分78分，两项总得分：$72 + 78 = 150$分。
因两项折算后的得分和为30分，且所占百分比相等，故百分比为：$\frac{30}{150}×100\% = 20\%$。
(2) 设数学推理所占百分比为$a$，魔方复原所占百分比为$b$。
乙的数学推理得分80、魔方复原得分60，乙的总分是80，前两项折算和为30，因此：$80a + 60b = 80 - 30 = 50$；
丙的数学推理得分90、魔方复原得分80，丙的总分是90，因此：$90a + 80b = 90 - 30 = 60$。
联立方程组：$\begin{cases}80a + 60b = 50 \\90a + 80b = 60 \end{cases}$，
化简得：$\begin{cases}8a + 6b = 5 \\9a + 8b = 6 \end{cases}$，
解得：$\begin{cases}a = 40\% \\b = 30\% \end{cases}$。
(3) 设甲的魔方复原得分为$x$分，甲的数学推理得分95分，前两项折算和为30分，要使甲获第一名，总分需高于丙的90分，因此：
$95×40\% + 30\%x + 30 ＞ 90$，
计算得：$38 + 0.3x + 30 ＞ 90$，
即：$0.3x ＞ 22$，
解得：$x ＞ \frac{220}{3}≈73.33$，
因分值为整数，故$x$最小为74分。
【答案】
(1)20%；(2)数学推理占40%，魔方复原占30%；(3)74
【知识点】
百分比计算，二元一次方程组应用，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合统计图表与代数知识，考查得分折算关系的应用，需通过设未知数列方程（组）、不等式求解，逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.5
首先处理第(1)问，已知三位同学速算和七巧拼图的得分相同，且两项折算后的得分和为30分，因两项所占百分比相等，先计算两项总得分，再用折算得分和除以总得分得到百分比；第(2)问，设数学推理和魔方复原的百分比为未知数，根据乙、丙的总分减去前两项的折算和，得到这两项的折算得分，列出二元一次方程组求解；第(3)问，甲要获第一名，总分需高于丙的90分，结合已求出的百分比列不等式，根据分值为整数的条件求最小得分。
【解析】
(1) 速算得分72分，七巧拼图得分78分，两项总得分：$72 + 78 = 150$分。
因两项折算后的得分和为30分，且所占百分比相等，故百分比为：$\frac{30}{150}×100\% = 20\%$。
(2) 设数学推理所占百分比为$a$，魔方复原所占百分比为$b$。
乙的数学推理得分80、魔方复原得分60，乙的总分是80，前两项折算和为30，因此：$80a + 60b = 80 - 30 = 50$；
丙的数学推理得分90、魔方复原得分80，丙的总分是90，因此：$90a + 80b = 90 - 30 = 60$。
联立方程组：$\begin{cases}80a + 60b = 50 \\90a + 80b = 60 \end{cases}$，
化简得：$\begin{cases}8a + 6b = 5 \\9a + 8b = 6 \end{cases}$，
解得：$\begin{cases}a = 40\% \\b = 30\% \end{cases}$。
(3) 设甲的魔方复原得分为$x$分，甲的数学推理得分95分，前两项折算和为30分，要使甲获第一名，总分需高于丙的90分，因此：
$95×40\% + 30\%x + 30 ＞ 90$，
计算得：$38 + 0.3x + 30 ＞ 90$，
即：$0.3x ＞ 22$，
解得：$x ＞ \frac{220}{3}≈73.33$，
因分值为整数，故$x$最小为74分。
【答案】
(1)20%；(2)数学推理占40%，魔方复原占30%；(3)74
【知识点】
百分比计算，二元一次方程组应用，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合统计图表与代数知识，考查得分折算关系的应用，需通过设未知数列方程（组）、不等式求解，逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.5
