3. 如图，直线 $ y=-\frac{4}{3} x+4 $与坐标轴相交于 A，B两点，将 $ △ A B O $沿过点 A的直线
折叠，使点 B与 x轴上的点 C重合，折痕为 AD.
(1) 求点 A，B的坐标；
(2) 求折痕 AD所在直线对应的函数解析式；
(3) 若 P为直线 AD上一点，且 $ S_{△ PBO}=\frac{3}{2} S_{△ ABO} $ ，求点 P的坐标.

3. 解（1）对于$ y=-\dfrac{4}{3}x+4 $，当$ x=0 $时，$ y=4 $，令$ y=0 $，则$ x=3 $，即点$ A$，$B $的坐标分别为$ (3,\ 0) $，$ (0,\ 4) $．
（2）设点$ D\ (0,\ y) $，由题意得$ CD=BD $，$ AC=AB=\sqrt{3^2+4^2}=5 $，则$ OC=2 $，即点$ C(-2,\ 0) $．因为$ CD=BD $，所以$ y^2+4=(4-y)^2 $，则$ y=\dfrac{3}{2} $，即点$ D(0,\ \dfrac{3}{2}) $．设直线$ AD $对应的函数解析式为$ y=kx+\dfrac{3}{2} $．将点$ A $的坐标代入上式，得$ 0=3k+\dfrac{3}{2} $，则$ k=-\dfrac{1}{2} $．故直线$ AD $对应的函数解析式为$ y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2} $．
（3）设点$ P(x,\ -\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}) $．因为$ S_{△ PBO}=\dfrac{3}{2}S_{△ ABO} $，所以$ \dfrac{1}{2}× OB× |x|=\dfrac{3}{2}× \dfrac{1}{2}× AO× OB $，即$ x=\pm \dfrac{9}{2} $．当$ x=\dfrac{9}{2} $时，$ -\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}=-\dfrac{3}{4} $．当$ x=-\dfrac{9}{2} $时，$ -\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}=\dfrac{15}{4} $．则点$ P $的坐标为$ (\dfrac{9}{2},\ -\dfrac{3}{4}) $或$ (-\dfrac{9}{2},\ \dfrac{15}{4}) $．

如图，已知直线 $ y=kx+\frac{15}{4} $ （k为常数，且 $ k≠0 $ ）与x轴交于点A（-5，0），与y轴交于点B，且经过点C（3，m）.
(1) 求 k的值和点 C的坐标.
(2) 在 x轴的正半轴上是否存在点 D，使得以点 A，C，D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由.

解（1）因为直线 $ y=kx+\frac{15}{4} $与x轴交于点A（-5，0），且经过点C（3，m）.
所以 $ \{\begin{array}{l l}-5 k+\frac{1 5}{4}=0,\\3 k+\frac{1 5}{4}=m,\end{array} $解得 $ \{\begin{array}{l l}k=\frac{3}{4},\\m=6,\end{array} $
所以点 C（3，6）.
(2) 在 x轴的正半轴上存在点 D，使得以点 A，C，D为顶点的三角形是等腰三角形.理由如下：
设点 D（n，0）， $ n ＞ 0 $
因为点 A（-5，0），C（3，6），所以 $ A C=\sqrt{(-5-3)^{2}+6^{2}}=1 0 $ $ A D=n+5, $ $ CD=\sqrt{(n-3)^{2}+6^{2}}. $
当 AD=AC时，n+5=10，
解得 n=5.
当 $ AD=CD $时， $(n+5)^{2}=(n-3)^{2}+6^{2},$
解得 $n = \frac{5}{4}$.
当 $AC = CD$ 时， $10 = \sqrt{(n - 3)^2 + 6^2}$
解得 n=11（负值舍去）.
综上，在 x轴的正半轴上存在点 D，使得以点 A，C，D为顶点的三角形是等腰三角形. 点 D的坐标为（5，0）或 $ (\frac{5}{4},0) $或 （11，0）.

解：
(1) 因为直线 $ y=kx+\frac{15}{4} $ 经过点A（-5，0）和点C（3，m），
将点A代入直线解析式得：
$-5k+\frac{15}{4}=0$，
解得 $k=\frac{3}{4}$，
将 $k=\frac{3}{4}$，$x=3$ 代入直线解析式得：
$m=\frac{3}{4}×3+\frac{15}{4}=6$，
所以点C的坐标为（3，6）。
(2) 存在，设点D的坐标为（n，0），其中 $n＞0$。
由点A（-5，0）、C（3，6），可得：
$AC=\sqrt{(-5-3)^2+(0-6)^2}=\sqrt{64+36}=10$，
$AD=n-(-5)=n+5$，
$CD=\sqrt{(n-3)^2+(0-6)^2}=\sqrt{(n-3)^2+36}$。
① 当 $AD=AC$ 时，
$n+5=10$，
解得 $n=5$，
此时点D的坐标为（5，0）；
② 当 $AD=CD$ 时，
$(n+5)^2=(n-3)^2+6^2$，
展开得：$n^2+10n+25=n^2-6n+9+36$，
整理得：$16n=20$，
解得 $n=\frac{5}{4}$，
此时点D的坐标为 $(\frac{5}{4},0)$；
③ 当 $AC=CD$ 时，
$10=\sqrt{(n-3)^2+36}$，
两边平方得：$100=(n-3)^2+36$，
即 $(n-3)^2=64$，
解得 $n-3=8$ 或 $n-3=-8$，
因为 $n＞0$，舍去 $n=-5$，得 $n=11$，
此时点D的坐标为（11，0）。
综上，点D的坐标为（5，0）、$(\frac{5}{4},0)$ 或（11，0）。