登录
9. 在数轴上到原点的距离为$\sqrt{3}$的点表示的数是.
答案
解：设数轴上到原点的距离为$\sqrt{3}$的点表示的数为$x$，
根据数轴上点到原点的距离的定义，可得$|x|=\sqrt{3}$，
解得$x=\sqrt{3}$或$x=-\sqrt{3}$。
$\pm\sqrt{3}$
根据数轴上点到原点的距离的定义，可得$|x|=\sqrt{3}$，
解得$x=\sqrt{3}$或$x=-\sqrt{3}$。
$\pm\sqrt{3}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确数轴上点到原点距离的含义：数轴上任意一点到原点的距离，等于该点所表示的数的绝对值。我们可以先设待求的数为x，结合题目给出的距离是$\sqrt{3}$列出绝对值方程，再解绝对值方程即可，注意绝对值等于一个正数的数有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：设数轴上到原点的距离为$\sqrt{3}$的点表示的数为$x$，
根据数轴上点到原点的距离的定义，可得$|x|=\sqrt{3}$，
解得$x=\sqrt{3}$或$x=-\sqrt{3}$。
【答案】
$\pm\sqrt{3}$
【知识点】
1. 数轴的特征
2. 绝对值的几何意义
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查数轴上点到原点的距离和绝对值的对应关系，解题时容易遗漏负数解，需要牢记互为相反数的两个数到原点的距离相等。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确数轴上点到原点距离的含义：数轴上任意一点到原点的距离，等于该点所表示的数的绝对值。我们可以先设待求的数为x，结合题目给出的距离是$\sqrt{3}$列出绝对值方程，再解绝对值方程即可，注意绝对值等于一个正数的数有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：设数轴上到原点的距离为$\sqrt{3}$的点表示的数为$x$，
根据数轴上点到原点的距离的定义，可得$|x|=\sqrt{3}$，
解得$x=\sqrt{3}$或$x=-\sqrt{3}$。
【答案】
$\pm\sqrt{3}$
【知识点】
1. 数轴的特征
2. 绝对值的几何意义
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查数轴上点到原点的距离和绝对值的对应关系，解题时容易遗漏负数解，需要牢记互为相反数的两个数到原点的距离相等。
【难度系数】
0.7
10. 若$\sqrt{x - 5} + |y + 25| = 0$，则$\sqrt[3]{xy}$的值为。
答案
$\boldsymbol{-5}$
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：算术平方根和绝对值的结果都为非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0。据此我们可以先列出关于x、y的方程，求出x、y的取值后，代入$\sqrt[3]{xy}$计算立方根即可得到结果。
【解析】
解：
∵$\sqrt{x - 5} ≥ 0$，$|y + 25| ≥ 0$，且$\sqrt{x - 5} + |y + 25| = 0$
∴根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}x - 5 = 0 \\y + 25 = 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x = 5 \\y = -25\end{cases}$
将x=5，y=-25代入$\sqrt[3]{xy}$得：
$\sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{5 × (-25)} = \sqrt[3]{-125} = -5$
【答案】
$-5$
【知识点】
非负数的性质；算术平方根；立方根运算
【点评】
本题核心考察非负数性质的应用，解题的关键是掌握算术平方根、绝对值的非负性，求出未知数后代入计算立方根即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆非负数的性质：算术平方根和绝对值的结果都为非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0。据此我们可以先列出关于x、y的方程，求出x、y的取值后，代入$\sqrt[3]{xy}$计算立方根即可得到结果。
【解析】
解：
∵$\sqrt{x - 5} ≥ 0$，$|y + 25| ≥ 0$，且$\sqrt{x - 5} + |y + 25| = 0$
∴根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}x - 5 = 0 \\y + 25 = 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x = 5 \\y = -25\end{cases}$
将x=5，y=-25代入$\sqrt[3]{xy}$得：
$\sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{5 × (-25)} = \sqrt[3]{-125} = -5$
【答案】
$-5$
【知识点】
非负数的性质；算术平方根；立方根运算
【点评】
本题核心考察非负数性质的应用，解题的关键是掌握算术平方根、绝对值的非负性，求出未知数后代入计算立方根即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
11.已知3a－4的立方根是－1，a＋b的算术平方根是4，则b的值是。
答案
15
解析
【分析】
解题时先回忆立方根和算术平方根的定义：如果一个数的立方等于x，这个数就是x的立方根；如果一个非负数的平方等于x，这个数就是x的算术平方根。我们可以根据这两个定义，把题目中的开方条件转化为对应的等式，先求出a的值，再代入第二个等式求出b的值。
【解析】
1. 根据立方根的定义，因为3a－4的立方根是－1，所以：
$3a - 4 = (-1)^3 = -1$
解这个一元一次方程：
$3a = 4 - 1$
$3a = 3$
解得$a = 1$
2. 根据算术平方根的定义，因为a＋b的算术平方根是4，所以：
$a + b = 4^2 = 16$
把$a=1$代入上式：
$1 + b = 16$
解得$b = 16 - 1 = 15$
【答案】
15
【知识点】
立方根的定义；算术平方根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查对立方根、算术平方根定义的理解与应用，解题的关键是能将开方运算反向转化为乘方运算列出方程，计算量小，掌握相关定义即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆立方根和算术平方根的定义：如果一个数的立方等于x，这个数就是x的立方根；如果一个非负数的平方等于x，这个数就是x的算术平方根。我们可以根据这两个定义，把题目中的开方条件转化为对应的等式，先求出a的值，再代入第二个等式求出b的值。
【解析】
1. 根据立方根的定义，因为3a－4的立方根是－1，所以：
$3a - 4 = (-1)^3 = -1$
解这个一元一次方程：
$3a = 4 - 1$
$3a = 3$
解得$a = 1$
2. 根据算术平方根的定义，因为a＋b的算术平方根是4，所以：
$a + b = 4^2 = 16$
把$a=1$代入上式：
$1 + b = 16$
解得$b = 16 - 1 = 15$
【答案】
15
【知识点】
立方根的定义；算术平方根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查对立方根、算术平方根定义的理解与应用，解题的关键是能将开方运算反向转化为乘方运算列出方程，计算量小，掌握相关定义即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
12. 求下列各数的立方根：
(1)$-343$；
(2)$\frac{1}{27}$；
(3)$0.512$；
(4)$-2.16×10^5$。
(1)$-343$；
(2)$\frac{1}{27}$；
(3)$0.512$；
(4)$-2.16×10^5$。
答案
解：
(1) 因为$(-7)^3 = -343$，所以$-343$的立方根是$-7$，即$\sqrt[3]{-343}=-7$。
(2) 因为$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$，所以$\frac{1}{27}$的立方根是$\frac{1}{3}$，即$\sqrt[3]{\frac{1}{27}}=\frac{1}{3}$。
(3) 因为$0.8^3 = 0.512$，所以$0.512$的立方根是$0.8$，即$\sqrt[3]{0.512}=0.8$。
(4) 化简得$-2.16×10^5 = -216000$，因为$(-60)^3 = -216000$，所以$-2.16×10^5$的立方根是$-60$，即$\sqrt[3]{-2.16×10^5}=-60$。
(1) 因为$(-7)^3 = -343$，所以$-343$的立方根是$-7$，即$\sqrt[3]{-343}=-7$。
(2) 因为$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$，所以$\frac{1}{27}$的立方根是$\frac{1}{3}$，即$\sqrt[3]{\frac{1}{27}}=\frac{1}{3}$。
(3) 因为$0.8^3 = 0.512$，所以$0.512$的立方根是$0.8$，即$\sqrt[3]{0.512}=0.8$。
(4) 化简得$-2.16×10^5 = -216000$，因为$(-60)^3 = -216000$，所以$-2.16×10^5$的立方根是$-60$，即$\sqrt[3]{-2.16×10^5}=-60$。
解析
【分析】
解题依据是立方根的定义：若一个数$x$的立方等于$a$，即$x^3=a$，那么$x$就叫做$a$的立方根。解题步骤如下：①先判断待求数的正负，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数；②寻找哪个数的立方等于给定的数，即可得到对应的立方根；对于用科学记数法表示的数，先将其转化为普通数字再计算。
【解析】
(1) 因为$(-7)^3 = -343$，所以$-343$的立方根是$-7$，即$\sqrt[3]{-343}=-7$。
(2) 因为$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$，所以$\frac{1}{27}$的立方根是$\frac{1}{3}$，即$\sqrt[3]{\frac{1}{27}}=\frac{1}{3}$。
(3) 因为$0.8^3 = 0.512$，所以$0.512$的立方根是$0.8$，即$\sqrt[3]{0.512}=0.8$。
(4) 先化简得$-2.16×10^5 = -216000$，因为$(-60)^3 = -216000$，所以$-2.16×10^5$的立方根是$-60$，即$\sqrt[3]{-2.16×10^5}=-60$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-7}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{3}}$；(3) $\boldsymbol{0.8}$；(4) $\boldsymbol{-60}$
【知识点】
立方根的定义,有理数的乘方,科学记数法化简
【点评】
本题是立方根计算的基础题，解题核心是熟练掌握立方根的定义，注意负数的立方根仍为负数，遇到特殊形式的数（如科学记数法表示的数）可先转化为常规形式再计算，避免出错。
【难度系数】
0.8
解题依据是立方根的定义：若一个数$x$的立方等于$a$，即$x^3=a$，那么$x$就叫做$a$的立方根。解题步骤如下：①先判断待求数的正负，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数；②寻找哪个数的立方等于给定的数，即可得到对应的立方根；对于用科学记数法表示的数，先将其转化为普通数字再计算。
【解析】
(1) 因为$(-7)^3 = -343$，所以$-343$的立方根是$-7$，即$\sqrt[3]{-343}=-7$。
(2) 因为$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$，所以$\frac{1}{27}$的立方根是$\frac{1}{3}$，即$\sqrt[3]{\frac{1}{27}}=\frac{1}{3}$。
(3) 因为$0.8^3 = 0.512$，所以$0.512$的立方根是$0.8$，即$\sqrt[3]{0.512}=0.8$。
(4) 先化简得$-2.16×10^5 = -216000$，因为$(-60)^3 = -216000$，所以$-2.16×10^5$的立方根是$-60$，即$\sqrt[3]{-2.16×10^5}=-60$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-7}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{3}}$；(3) $\boldsymbol{0.8}$；(4) $\boldsymbol{-60}$
【知识点】
立方根的定义,有理数的乘方,科学记数法化简
【点评】
本题是立方根计算的基础题，解题核心是熟练掌握立方根的定义，注意负数的立方根仍为负数，遇到特殊形式的数（如科学记数法表示的数）可先转化为常规形式再计算，避免出错。
【难度系数】
0.8
13. 求下列各式中 $ x $ 的值：
(1) $(x - 1)^3 = 0.064$；
(2) $\frac{1}{4}(2x + 3)^3 = 54$。
(1) $(x - 1)^3 = 0.064$；
(2) $\frac{1}{4}(2x + 3)^3 = 54$。
答案
解：
(1) 对等式两边同时开立方，得
$x - 1 = \sqrt[3]{0.064} = 0.4$
移项计算得
$x = 1 + 0.4$
$x = 1.4$
(2) 等式两边同时乘以4，得
$(2x + 3)^3 = 216$
对等式两边同时开立方，得
$2x + 3 = \sqrt[3]{216} = 6$
移项得
$2x = 6 - 3 = 3$
系数化为1，得
$x = \frac{3}{2}$
(1) 对等式两边同时开立方，得
$x - 1 = \sqrt[3]{0.064} = 0.4$
移项计算得
$x = 1 + 0.4$
$x = 1.4$
(2) 等式两边同时乘以4，得
$(2x + 3)^3 = 216$
对等式两边同时开立方，得
$2x + 3 = \sqrt[3]{216} = 6$
移项得
$2x = 6 - 3 = 3$
系数化为1，得
$x = \frac{3}{2}$
解析
【分析】
这两道题属于利用开立方运算求解未知数的题型，解题思路清晰：首先把含未知数的三次幂看作整体，整理到等号左侧，使等号右侧为常数；再对等式两边同时开立方，将三次方程转化为我们熟悉的一元一次方程，最后按照一元一次方程的求解步骤计算即可得到x的值。
【解析】
(1) 对等式两边同时开立方，得
$x - 1 = \sqrt[3]{0.064} = 0.4$
移项计算得
$x = 1 + 0.4$
$x = 1.4$
(2) 等式两边同时乘以4，消去左侧系数，得
$(2x + 3)^3 = 216$
对等式两边同时开立方，得
$2x + 3 = \sqrt[3]{216} = 6$
移项得
$2x = 6 - 3 = 3$
系数化为1，得
$x = \frac{3}{2}$
【答案】
(1) $x=1.4$；(2) $x=\frac{3}{2}$
【知识点】
立方根的计算、一元一次方程的解法
【点评】
本题是开立方解方程的基础题型，核心是先分离出含未知数的三次项，再通过开立方降次为一元一次方程求解，计算时要注意立方根的结果准确性和一元一次方程的移项规则，避免粗心出错。
【难度系数】
0.85
这两道题属于利用开立方运算求解未知数的题型，解题思路清晰：首先把含未知数的三次幂看作整体，整理到等号左侧，使等号右侧为常数；再对等式两边同时开立方，将三次方程转化为我们熟悉的一元一次方程，最后按照一元一次方程的求解步骤计算即可得到x的值。
【解析】
(1) 对等式两边同时开立方，得
$x - 1 = \sqrt[3]{0.064} = 0.4$
移项计算得
$x = 1 + 0.4$
$x = 1.4$
(2) 等式两边同时乘以4，消去左侧系数，得
$(2x + 3)^3 = 216$
对等式两边同时开立方，得
$2x + 3 = \sqrt[3]{216} = 6$
移项得
$2x = 6 - 3 = 3$
系数化为1，得
$x = \frac{3}{2}$
【答案】
(1) $x=1.4$；(2) $x=\frac{3}{2}$
【知识点】
立方根的计算、一元一次方程的解法
【点评】
本题是开立方解方程的基础题型，核心是先分离出含未知数的三次项，再通过开立方降次为一元一次方程求解，计算时要注意立方根的结果准确性和一元一次方程的移项规则，避免粗心出错。
【难度系数】
0.85
14. 计算：
(1) $(-1)^{2026} + \sqrt{16} - |-3| + \sqrt[3]{-8}$；
(2) $\sqrt{2^2} - \sqrt[3]{-27} + |1 - \sqrt{2}| - \sqrt[3]{(-1)}$。
(1) $(-1)^{2026} + \sqrt{16} - |-3| + \sqrt[3]{-8}$；
(2) $\sqrt{2^2} - \sqrt[3]{-27} + |1 - \sqrt{2}| - \sqrt[3]{(-1)}$。
答案
解：
(1) 原式$=1 + 4 - 3 + (-2)$
$=5 - 3 - 2$
$=0$
(2) 原式$=2 - (-3) + (\sqrt{2} - 1) - (-1)$
$=2 + 3 + \sqrt{2} - 1 + 1$
$=5 + \sqrt{2}$
(1) 原式$=1 + 4 - 3 + (-2)$
$=5 - 3 - 2$
$=0$
(2) 原式$=2 - (-3) + (\sqrt{2} - 1) - (-1)$
$=2 + 3 + \sqrt{2} - 1 + 1$
$=5 + \sqrt{2}$
解析
【分析】
这两道题均属于实数的混合运算，解题遵循“先算乘方、开方、绝对值化简，再算加减”的顺序：①先分别计算每个小项的值：注意负数的偶次幂为正，负数的立方根为负，正数的算术平方根为正，绝对值化简时要先判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号；②再将所有小项的结果按从左到右的顺序进行加减运算即可。
【解析】
(1) 先逐项化简：
$(-1)^{2026}$是-1的偶次幂，结果为1；$\sqrt{16}$是16的算术平方根，结果为4；$|-3|$是-3的绝对值，结果为3；$\sqrt[3]{-8}$是-8的立方根，结果为-2。
代入原式计算：
原式$=1 + 4 - 3 + (-2)$
$=5 - 3 - 2$
$=0$
(2) 先逐项化简：
$\sqrt{2^2}=2$；$\sqrt[3]{-27}$是-27的立方根，结果为-3；$\sqrt{2}＞1$，因此$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$；$\sqrt[3]{(-1)}=-1$。
代入原式计算：
原式$=2 - (-3) + (\sqrt{2} - 1) - (-1)$
$=2 + 3 + \sqrt{2} - 1 + 1$
$=5 + \sqrt{2}$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{5+\sqrt{2}}$
【知识点】
实数混合运算，绝对值化简，开方运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查乘方、开方、绝对值化简的基本规则，计算时需格外注意各项的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于实数的混合运算，解题遵循“先算乘方、开方、绝对值化简，再算加减”的顺序：①先分别计算每个小项的值：注意负数的偶次幂为正，负数的立方根为负，正数的算术平方根为正，绝对值化简时要先判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号；②再将所有小项的结果按从左到右的顺序进行加减运算即可。
【解析】
(1) 先逐项化简：
$(-1)^{2026}$是-1的偶次幂，结果为1；$\sqrt{16}$是16的算术平方根，结果为4；$|-3|$是-3的绝对值，结果为3；$\sqrt[3]{-8}$是-8的立方根，结果为-2。
代入原式计算：
原式$=1 + 4 - 3 + (-2)$
$=5 - 3 - 2$
$=0$
(2) 先逐项化简：
$\sqrt{2^2}=2$；$\sqrt[3]{-27}$是-27的立方根，结果为-3；$\sqrt{2}＞1$，因此$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$；$\sqrt[3]{(-1)}=-1$。
代入原式计算：
原式$=2 - (-3) + (\sqrt{2} - 1) - (-1)$
$=2 + 3 + \sqrt{2} - 1 + 1$
$=5 + \sqrt{2}$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{5+\sqrt{2}}$
【知识点】
实数混合运算，绝对值化简，开方运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查乘方、开方、绝对值化简的基本规则，计算时需格外注意各项的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
