1. 下列等式从左到右的变形中，正确且属于因式分解的是（）

A.$8a^2b=2a · 4ab$
B.$-ab^3 -2ab^2 -ab = -ab(b^2 +2b)$
C.$4x^2 +8x -4 =4x(x+2-\frac{1}{x})$
D.$4my -2=2(2my -1)$

D

【分析】
要判断一个变形是否为因式分解，首先需明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，需同时满足三个要求：①变形的对象是多项式；②变形的结果是几个整式相乘的形式；③变形前后等式左右两边恒等。解题时我们逐个对照三个要求分析每个选项即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 左边$8a^2b$是单项式，因式分解的变形对象必须是多项式，不符合要求，错误。
B. 对左边提取公因式$-ab$可得：$-ab^3 -2ab^2 -ab = -ab(b^2 +2b +1)$，选项右边的括号内漏了常数项1，展开后和左边不相等，等式不成立，错误。
C. 右边的因式中含有$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{x}$不是整式，因式分解的结果必须是整式的乘积，不符合要求，错误。
D. 左边$4my -2$是多项式，提取公因式2后得到$2(2my -1)$，结果是两个整式的乘积，且等式左右两边恒等，符合因式分解的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义，提公因式法，整式的概念
【点评】
本题考查因式分解的基础判定，解题时需紧扣因式分解的三个核心要求，尤其要注意提取公因式时不要漏写剩余项，同时因式必须为整式，避免出现概念混淆的错误。
【难度系数】
0.8

2. 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（）

A.$a^2+(-b)^2$
B.$5m^2-20mn$
C.$-x^2-y^2$
D.$-x^2+25$

D

【分析】
要解决这道题，首先需明确能用平方差公式分解因式的多项式的结构特征：①多项式是两项式；②两项都能写成某个整式的平方的形式；③两项符号相反（一正一负）。解题时只需逐一判断每个选项是否符合上述三个特征，即可选出正确答案。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，我们逐个分析选项：
A选项：$a^2+(-b)^2 = a^2 + b^2$，两项符号均为正，不满足符号相反的要求，不能用平方差公式分解；
B选项：$5m^2-20mn$，第二项是含$mn$的一次乘积项，不能写成某个整式的平方的形式，不符合要求；
C选项：$-x^2-y^2 = -(x^2 + y^2)$，括号内两项符号均为正，不满足符号相反的要求，不能用平方差公式分解；
D选项：$-x^2+25 = 25 - x^2 = 5^2 - x^2$，符合平方差公式的结构特征，可分解为$(5+x)(5-x)$，满足要求。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；因式分解
【点评】
本题主要考查对平方差公式结构特征的掌握，解题的关键是牢记平方差公式的形式，准确判断多项式是否符合两项、均为平方项、符号相反的特征，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8

3. 多项式$mx^2 - m$与多项式$x^2 - 2x + 1$的公因式是（）

A.$x - 1$
B.$x + 1$
C.$x^2 - 1$
D.$(x - 1)^2$

A

【分析】要确定两个多项式的公因式，需先将两个多项式分别因式分解（分解到每个因式不能再分解为止），再提取两个分解结果中共同含有的因式即可。解题时先对第一个多项式先提公因式，再用平方差公式分解；对第二个多项式用完全平方公式分解，最后对比找公共因式。
【解析】
1. 分解多项式$mx^2 - m$：
先提取公因式$m$，得：$mx^2 - m = m(x^2 - 1)$
再利用平方差公式分解$x^2-1$，得：$m(x^2 - 1) = m(x+1)(x-1)$
2. 分解多项式$x^2 - 2x + 1$：
利用完全平方公式，得：$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$
3. 找公因式：两个分解结果中共同的因式为$x-1$，即两个多项式的公因式是$x-1$。
【答案】A
【知识点】因式分解，公因式，乘法公式
【点评】本题属于基础题，核心考查公因式的识别，解题关键是熟练运用提公因式法和公式法将多项式彻底分解，再找公共因式即可。
【难度系数】0.8

4. 如图，长方形的长，宽分别为a，b，且a比b大5，面积为10，则$a^2b - ab^2$的值为（）

A.60
B.50
C.25
D.15

B

【分析】
解题时先观察所求代数式的结构，可先通过提公因式法对其因式分解，将代数式转化为含ab和a-b的形式，再结合题目给出的a与b的差、长方形面积（即ab的值），整体代入计算即可，无需单独求出a、b的具体数值，简化计算过程。
【解析】
首先对所求式子因式分解：
$a^2b - ab^2 = ab(a - b)$
根据题意可知：
a比b大5，即$a - b = 5$；
长方形面积为10，即$ab = 10$。
将$ab=10$、$a-b=5$代入分解后的式子得：
原式$=10×5=50$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值，长方形面积计算
【点评】
本题考查因式分解的实际应用，解题核心是将所求代数式转化为包含已知条件的形式，利用整体代入思想求解，避免了求解未知数的复杂运算，是因式分解应用的典型题型。
【难度系数】
0.8

5. 分解因式：
（1）$2a^2 - 2 = \_\_\_\_\_\_$；
（2）$2x^2 - 4x + 2 = \_\_\_\_\_\_$。

(1) $2(a+1)(a-1)$ (2) $2(x-1)^2$

【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先提取多项式各项的公因式，第二步根据提取公因式后剩余多项式的项数和特征匹配对应的乘法公式继续分解，第三步检查所有因式是否都无法再分解。
（1）观察$2a^2-2$，两项均含有公因式2，先提取公因式，剩余$a^2-1$是两项的平方差形式，可套用平方差公式继续分解；
（2）观察$2x^2-4x+2$，三项均含有公因式2，先提取公因式，剩余$x^2-2x+1$是三项的完全平方形式，可套用完全平方公式继续分解。
【解析】
（1）$\begin{aligned}2a^2 - 2 &= 2(a^2 - 1) \\&= 2(a+1)(a-1)\end{aligned}$
（2）$\begin{aligned}2x^2 - 4x + 2 &= 2(x^2 - 2x + 1) \\&= 2(x-1)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $2(a+1)(a-1)$ (2) $2(x-1)^2$
【知识点】
提取公因式法，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要严格按照步骤操作，优先提取公因式，再根据多项式特征选择合适的公式，最后注意检查是否分解彻底，避免出现分解不完整的错误。
【难度系数】
0.8

6. 已知：$a+b=3$，$ab=1$，试求：(1) $(a-1)(b-1)$的值.(2) $a^2b+ab^2$的值.

(1) $(a-1)(b-1) =ab-a-b+1=ab-(a+b) +1=1-3+1=-1$.
(2) $a^2b+ab^2=ab（a+b）=1×3=3$.

【分析】
本题不需要求解a、b的具体值，采用整体代入的思路解题即可：
(1) 先根据多项式乘多项式的法则将$(a-1)(b-1)$展开，整理后会出现已知的$a+b$和$ab$，代入数值计算即可；
(2) 观察$a^2b+ab^2$的结构，两项有公因式$ab$，先提取公因式因式分解，变形后也会出现$a+b$和$ab$，代入已知条件计算即可。
【解析】
(1) 按多项式乘多项式法则展开式子：
$\begin{aligned}(a-1)(b-1) &= ab - a - b + 1\\&=ab - (a+b) + 1\end{aligned}$
将$a+b=3$，$ab=1$代入上式得：
$1-3+1=-1$
(2) 对式子提取公因式$ab$因式分解：
$a^2b + ab^2 = ab(a+b)$
将$a+b=3$，$ab=1$代入上式得：
$1×3=3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
多项式乘多项式、提公因式法因式分解、整体代入求值
【点评】
本题是代数式化简求值的基础题型，核心是运用整体思想，将待求式变形为含已知条件的形式代入计算，无需单独求解未知字母的值，能大幅简化运算过程。
【难度系数】
0.8