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12. 解下列不等式(组)，并在数轴上表示解集：
(1) $\frac{x - 2}{3} - \frac{5 - 2x}{5} ＜ x - 3$；
(2) $\begin{cases} x - 2 ＜ 0, \\ 2(2x - 1) ≤ 1 + 5x. \end{cases}$
(1) $\frac{x - 2}{3} - \frac{5 - 2x}{5} ＜ x - 3$；
(2) $\begin{cases} x - 2 ＜ 0, \\ 2(2x - 1) ≤ 1 + 5x. \end{cases}$
答案
12. (1)$x＞5$，数轴略.
(2)$-3 \le x ＜ 2$，数轴略.
(2)$-3 \le x ＜ 2$，数轴略.
解析
【分析】
(1) 求解一元一次不等式可按固定步骤思考：先去分母消去分数形式，再去括号、移项将含未知数的项和常数项分别放在不等号两侧，合并同类项后系数化为1即可，注意系数为负数时不等号方向要改变。(2) 求解一元一次不等式组，先分别计算每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的最终解集，可按要求在数轴上表示对应解集。
【解析】
(1) 解不等式$\frac{x - 2}{3} - \frac{5 - 2x}{5} ＜ x - 3$
①去分母：两边同时乘15（3和5的最小公倍数），得$5(x-2) - 3(5-2x) ＜ 15(x-3)$
②去括号：$5x - 10 -15 +6x ＜ 15x -45$
③移项：$5x +6x -15x ＜ -45 +10 +15$
④合并同类项：$-4x ＜ -20$
⑤系数化为1：两边同时除以-4，不等号方向改变，得$x ＞ 5$
数轴表示：在数轴上5的位置画空心圆圈，向右延伸的射线即为解集。
(2) 解不等式组$\begin{cases} x - 2 ＜ 0 \quad① \\ 2(2x - 1) ≤ 1 + 5x \quad② \end{cases}$
解不等式①：移项得$x ＜ 2$
解不等式②：
去括号得$4x -2 ≤ 1 +5x$
移项得$4x -5x ≤1 +2$
合并同类项得$-x ≤3$
系数化为1，得$x ≥ -3$
取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为$-3 ≤x ＜2$
数轴表示：在数轴上-3的位置画实心圆点，2的位置画空心圆圈，两点之间的线段即为解集。
【答案】
(1) $x＞5$，数轴略；
(2) $-3 \le x ＜ 2$，数轴略。
【知识点】
一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的解法，解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查不等式（组）的求解规则，解题时需注意：去分母时不要漏乘不含分母的常数项，系数化为1时若两边同时除以负数，要及时改变不等号的方向，求解不等式组解集时要准确判断两个解集的公共范围。
【难度系数】
0.8
(1) 求解一元一次不等式可按固定步骤思考：先去分母消去分数形式，再去括号、移项将含未知数的项和常数项分别放在不等号两侧，合并同类项后系数化为1即可，注意系数为负数时不等号方向要改变。(2) 求解一元一次不等式组，先分别计算每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的最终解集，可按要求在数轴上表示对应解集。
【解析】
(1) 解不等式$\frac{x - 2}{3} - \frac{5 - 2x}{5} ＜ x - 3$
①去分母：两边同时乘15（3和5的最小公倍数），得$5(x-2) - 3(5-2x) ＜ 15(x-3)$
②去括号：$5x - 10 -15 +6x ＜ 15x -45$
③移项：$5x +6x -15x ＜ -45 +10 +15$
④合并同类项：$-4x ＜ -20$
⑤系数化为1：两边同时除以-4，不等号方向改变，得$x ＞ 5$
数轴表示：在数轴上5的位置画空心圆圈，向右延伸的射线即为解集。
(2) 解不等式组$\begin{cases} x - 2 ＜ 0 \quad① \\ 2(2x - 1) ≤ 1 + 5x \quad② \end{cases}$
解不等式①：移项得$x ＜ 2$
解不等式②：
去括号得$4x -2 ≤ 1 +5x$
移项得$4x -5x ≤1 +2$
合并同类项得$-x ≤3$
系数化为1，得$x ≥ -3$
取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为$-3 ≤x ＜2$
数轴表示：在数轴上-3的位置画实心圆点，2的位置画空心圆圈，两点之间的线段即为解集。
【答案】
(1) $x＞5$，数轴略；
(2) $-3 \le x ＜ 2$，数轴略。
【知识点】
一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的解法，解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查不等式（组）的求解规则，解题时需注意：去分母时不要漏乘不含分母的常数项，系数化为1时若两边同时除以负数，要及时改变不等号的方向，求解不等式组解集时要准确判断两个解集的公共范围。
【难度系数】
0.8
13. x取哪些整数值时，不等式$5x - 1 ＞ 3(x + 1)$与$\frac{1}{2}x - 1 ≤ 7 - \frac{3}{2}x$都成立？
答案
13. x可以取3或4.
解析
【分析】
要使两个不等式同时成立，需求出两个不等式解集的公共部分，再在公共解集中找出符合条件的整数x即可。解题思路为：第一步分别求解两个一元一次不等式，第二步确定两个解集的公共范围即不等式组的解集，第三步在公共范围内筛选整数值。
【解析】
解：先分别求解两个不等式：
1. 解不等式$5x - 1 ＞ 3(x + 1)$
去括号得：$5x - 1 ＞ 3x + 3$
移项得：$5x - 3x ＞ 3 + 1$
合并同类项得：$2x ＞ 4$
系数化为1得：$x ＞ 2$
2. 解不等式$\frac{1}{2}x - 1 ≤ 7 - \frac{3}{2}x$
移项得：$\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}x ≤ 7 + 1$
合并同类项得：$2x ≤ 8$
系数化为1得：$x ≤ 4$
则两个不等式的公共解集为$2 ＜ x ≤ 4$，其中的整数值为3、4。
【答案】
x可以取3或4。
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式组整数解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次不等式的求解及不等式组整数解的筛选，解题的关键是准确求出每个不等式的解集，再确定公共解集的范围，最终找出符合要求的整数。
【难度系数】
0.8
要使两个不等式同时成立，需求出两个不等式解集的公共部分，再在公共解集中找出符合条件的整数x即可。解题思路为：第一步分别求解两个一元一次不等式，第二步确定两个解集的公共范围即不等式组的解集，第三步在公共范围内筛选整数值。
【解析】
解：先分别求解两个不等式：
1. 解不等式$5x - 1 ＞ 3(x + 1)$
去括号得：$5x - 1 ＞ 3x + 3$
移项得：$5x - 3x ＞ 3 + 1$
合并同类项得：$2x ＞ 4$
系数化为1得：$x ＞ 2$
2. 解不等式$\frac{1}{2}x - 1 ≤ 7 - \frac{3}{2}x$
移项得：$\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}x ≤ 7 + 1$
合并同类项得：$2x ≤ 8$
系数化为1得：$x ≤ 4$
则两个不等式的公共解集为$2 ＜ x ≤ 4$，其中的整数值为3、4。
【答案】
x可以取3或4。
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式组整数解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次不等式的求解及不等式组整数解的筛选，解题的关键是准确求出每个不等式的解集，再确定公共解集的范围，最终找出符合要求的整数。
【难度系数】
0.8
14. 解一元一次不等式组：
在数轴上表示解集，并写出它的非负整数解.
在数轴上表示解集，并写出它的非负整数解.答案
14. $-1 \le x ＜ 3$，数轴略，非负整数解为0，1，2.
解析
【分析】
解本题首先要明确一元一次不等式组的求解思路：先分别求出两个不等式的解集，再找两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后在解集范围内筛选非负整数解即可。解单个不等式时，按照去括号（去分母）、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行，注意系数化为1时，若两边同时乘/除以负数，不等号方向要改变。
【解析】
记不等式$2x + 5 ≤ 3(x + 2)$为①，不等式$2x - \dfrac{1 + 3x}{2} ＜ 1$为②。
1. 解不等式①：
去括号，得$2x + 5 ≤ 3x + 6$，
移项，得$2x - 3x ≤ 6 - 5$，
合并同类项，得$-x ≤ 1$，
系数化为1，不等号方向改变，得$x ≥ -1$。
2. 解不等式②：
两边同时乘2去分母，得$4x - (1 + 3x) ＜ 2$，
去括号，得$4x - 1 - 3x ＜ 2$，
合并同类项，得$x - 1 ＜ 2$，
移项，得$x ＜ 3$。
3. 确定不等式组的解集：
两个不等式的解集分别为$x ≥ -1$和$x ＜ 3$，公共部分为$-1 ≤ x ＜ 3$。
在数轴上表示解集：在数轴上找到$-1$的位置画实心圆点，向右延伸；找到$3$的位置画空心圆圈，向左延伸，重合部分即为解集。
4. 找非负整数解：
在$-1 ≤ x ＜ 3$范围内，非负整数为0、1、2。
【答案】
不等式组的解集为$\boldsymbol{-1 \le x ＜ 3}$，非负整数解为$\boldsymbol{0，1，2}$，数轴表示略。
【知识点】
一元一次不等式组的解法、不等式的性质、整数解的求取
【点评】
本题是一元一次不等式组的基础考查题，解题核心是正确求解单个不等式，再准确确定解集的公共部分，求解过程中要注意去分母时不要漏乘常数项，系数化为1时注意不等号方向是否需要改变，筛选整数解时要明确“非负整数”的定义，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
解本题首先要明确一元一次不等式组的求解思路：先分别求出两个不等式的解集，再找两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后在解集范围内筛选非负整数解即可。解单个不等式时，按照去括号（去分母）、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行，注意系数化为1时，若两边同时乘/除以负数，不等号方向要改变。
【解析】
记不等式$2x + 5 ≤ 3(x + 2)$为①，不等式$2x - \dfrac{1 + 3x}{2} ＜ 1$为②。
1. 解不等式①：
去括号，得$2x + 5 ≤ 3x + 6$，
移项，得$2x - 3x ≤ 6 - 5$，
合并同类项，得$-x ≤ 1$，
系数化为1，不等号方向改变，得$x ≥ -1$。
2. 解不等式②：
两边同时乘2去分母，得$4x - (1 + 3x) ＜ 2$，
去括号，得$4x - 1 - 3x ＜ 2$，
合并同类项，得$x - 1 ＜ 2$，
移项，得$x ＜ 3$。
3. 确定不等式组的解集：
两个不等式的解集分别为$x ≥ -1$和$x ＜ 3$，公共部分为$-1 ≤ x ＜ 3$。
在数轴上表示解集：在数轴上找到$-1$的位置画实心圆点，向右延伸；找到$3$的位置画空心圆圈，向左延伸，重合部分即为解集。
4. 找非负整数解：
在$-1 ≤ x ＜ 3$范围内，非负整数为0、1、2。
【答案】
不等式组的解集为$\boldsymbol{-1 \le x ＜ 3}$，非负整数解为$\boldsymbol{0，1，2}$，数轴表示略。
【知识点】
一元一次不等式组的解法、不等式的性质、整数解的求取
【点评】
本题是一元一次不等式组的基础考查题，解题核心是正确求解单个不等式，再准确确定解集的公共部分，求解过程中要注意去分母时不要漏乘常数项，系数化为1时注意不等号方向是否需要改变，筛选整数解时要明确“非负整数”的定义，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
15. 已知整数$x$满足不等式$3x - 4 ≤ 6x - 2$和不等式$\frac{2x + 1}{3} - 1 ＜ \frac{x - 1}{2}$，且满足方程$3(x + a) - 5a + 2 = 0$，试求代数式$5a^4 - \frac{1}{a}$的值。
答案
15. 4
解析
【分析】
解题时按照以下三步思考：①首先求解给出的两个一元一次不等式，组成不等式组，求出x的取值范围，再结合x是整数的条件，确定x的唯一取值；②将求出的x值代入含参数a的一元一次方程，解方程得到a的值；③最后把a的值代入待求的代数式，计算得到最终结果。
【解析】
第一步：解不等式组求x的取值
1. 解不等式$3x - 4 ≤ 6x - 2$：
移项得：$3x - 6x ≤ -2 + 4$
合并同类项得：$-3x ≤ 2$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ≥ -\frac{2}{3}$
2. 解不等式$\frac{2x + 1}{3} - 1 ＜ \frac{x - 1}{2}$：
两边同乘6去分母得：$2(2x+1) - 6 ＜ 3(x-1)$
去括号得：$4x + 2 - 6 ＜ 3x - 3$
移项合并得：$x ＜ 1$
所以x的取值范围是$-\frac{2}{3} ≤ x ＜ 1$，又因为x是整数，因此$x=0$。
第二步：代入方程求a的值
把$x=0$代入方程$3(x + a) - 5a + 2 = 0$得：
$3(0 + a) - 5a + 2 = 0$
化简得：$3a - 5a + 2 = 0$
合并同类项得：$-2a + 2 = 0$
解得：$a=1$
第三步：代入代数式计算
把$a=1$代入$5a^4 - \frac{1}{a}$得：
原式$=5×1^4 - \frac{1}{1} = 5 - 1 = 4$
【答案】
4
【知识点】
一元一次不等式组解法，一元一次方程求解，代数式求值
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是先通过不等式组确定整数x的取值，再依次求出参数a的值和代数式的结果，计算时注意解不等式系数化为1时不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.7
解题时按照以下三步思考：①首先求解给出的两个一元一次不等式，组成不等式组，求出x的取值范围，再结合x是整数的条件，确定x的唯一取值；②将求出的x值代入含参数a的一元一次方程，解方程得到a的值；③最后把a的值代入待求的代数式，计算得到最终结果。
【解析】
第一步：解不等式组求x的取值
1. 解不等式$3x - 4 ≤ 6x - 2$：
移项得：$3x - 6x ≤ -2 + 4$
合并同类项得：$-3x ≤ 2$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ≥ -\frac{2}{3}$
2. 解不等式$\frac{2x + 1}{3} - 1 ＜ \frac{x - 1}{2}$：
两边同乘6去分母得：$2(2x+1) - 6 ＜ 3(x-1)$
去括号得：$4x + 2 - 6 ＜ 3x - 3$
移项合并得：$x ＜ 1$
所以x的取值范围是$-\frac{2}{3} ≤ x ＜ 1$，又因为x是整数，因此$x=0$。
第二步：代入方程求a的值
把$x=0$代入方程$3(x + a) - 5a + 2 = 0$得：
$3(0 + a) - 5a + 2 = 0$
化简得：$3a - 5a + 2 = 0$
合并同类项得：$-2a + 2 = 0$
解得：$a=1$
第三步：代入代数式计算
把$a=1$代入$5a^4 - \frac{1}{a}$得：
原式$=5×1^4 - \frac{1}{1} = 5 - 1 = 4$
【答案】
4
【知识点】
一元一次不等式组解法，一元一次方程求解，代数式求值
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是先通过不等式组确定整数x的取值，再依次求出参数a的值和代数式的结果，计算时注意解不等式系数化为1时不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.7
