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一、夯实基础
1. 二元一次方程$x+y=1$有无数个解，下列各组数值中，不是该方程的解的是（）
A.$\begin{cases} x=1, \\ y=0 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}, \\ y=2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=0, \\ y=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=-1, \\ y=2 \end{cases}$
1. 二元一次方程$x+y=1$有无数个解，下列各组数值中，不是该方程的解的是（）
A.$\begin{cases} x=1, \\ y=0 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}, \\ y=2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=0, \\ y=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=-1, \\ y=2 \end{cases}$
答案
B
解析
将各选项的x、y值分别代入方程$x+y=1$验证：
A. $1+0=1$，等式成立，是方程的解；
B. $\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}≠1$，等式不成立，不是方程的解；
C. $0+1=1$，等式成立，是方程的解；
D. $-1+2=1$，等式成立，是方程的解。
A. $1+0=1$，等式成立，是方程的解；
B. $\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}≠1$，等式不成立，不是方程的解；
C. $0+1=1$，等式成立，是方程的解；
D. $-1+2=1$，等式成立，是方程的解。
2. 若方程组$\begin{cases}2x - y = 3, \\x + 3y = 5\end{cases}$与方程$3ax - 2ay = 12$具有相同的解，则$a$的值为（ ）
A.3
B.-3
C.2
D.-2
A.3
B.-3
C.2
D.-2
答案
A
解析
先解方程组$\begin{cases}2x - y = 3 \\x + 3y = 5\end{cases}$，将第一个方程两边乘3得$6x-3y=9$，与第二个方程相加得$7x=14$，解得$x=2$；把$x=2$代入$x+3y=5$，得$2+3y=5$，解得$y=1$。将$x=2,y=1$代入$3ax-2ay=12$，得$6a-2a=12$，即$4a=12$，解得$a=3$。
3. 如果 $2x - 7y = 8$，那么用含 $x$ 的式子表示 $y$ 正确的是（）
A.$y = \dfrac{8 - 2x}{7}$
B.$y = \dfrac{2x - 8}{7}$
C.$x = \dfrac{8 + 7x}{2}$
D.$x = \dfrac{8 - 7x}{2}$
A.$y = \dfrac{8 - 2x}{7}$
B.$y = \dfrac{2x - 8}{7}$
C.$x = \dfrac{8 + 7x}{2}$
D.$x = \dfrac{8 - 7x}{2}$
答案
B
解析
对等式$2x-7y=8$移项，得$-7y=8-2x$，等式两边同时除以$-7$，化简可得$y=\dfrac{2x-8}{7}$。
4. 有下列方程组：①$\begin{cases}x=2y, \\ 3x-5y=1;\end{cases}$ ②$\begin{cases}3x-5y=3, \\ 3x-4y=6;\end{cases}$ ③$\begin{cases}2x+4y=3, \\ 3x-4y=70.\end{cases}$ 其中用加减消元法较为简便的有（ ）
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
C
解析
分别分析三个方程组：
1. 方程组①的第一个方程是$x=2y$，直接代入第二个方程即可求解，用代入消元法更简便；
2. 方程组②中两个方程的$x$的系数都为3，两式相减可直接消去$x$，用加减消元法简便；
3. 方程组③中两个方程的$y$的系数分别为$+4$和$-4$，两式相加可直接消去$y$，用加减消元法简便。
因此用加减消元法较为简便的是②③。
1. 方程组①的第一个方程是$x=2y$，直接代入第二个方程即可求解，用代入消元法更简便；
2. 方程组②中两个方程的$x$的系数都为3，两式相减可直接消去$x$，用加减消元法简便；
3. 方程组③中两个方程的$y$的系数分别为$+4$和$-4$，两式相加可直接消去$y$，用加减消元法简便。
因此用加减消元法较为简便的是②③。
5. 将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，且∠2比∠1小50°. 设∠1=x°，∠2=y°，可得到的方程组为（）
A.$\begin{cases} x=y-50, \\ x+y=180 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=y+50, \\ x+y=180 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=y-50, \\ x+y=90 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=y+50, \\ x+y=90 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x=y-50, \\ x+y=180 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=y+50, \\ x+y=180 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=y-50, \\ x+y=90 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=y+50, \\ x+y=90 \end{cases}$
答案
D
解析
由∠2比∠1小50°，可得$x = y + 50$；根据平角的定义，∠1、直角、∠2三个角的和为$180°$，即$x + y + 90 = 180$，化简得$x + y = 90$，联立可得方程组$\begin{cases} x=y+50 \\ x+y=90 \end{cases}$。
6. 若 $(m-2)x+3y^{|m-1|}=5$ 是关于 $x$，$y$ 的二元一次方程，则 $m$ 的值为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
$\boldsymbol{0}$
解析
解：
根据二元一次方程的定义，可得：
1. 含x的项的系数不为0：$m-2 ≠ 0$，即$m ≠ 2$；
2. 含y的项的次数为1：$|m-1|=1$。
解方程$|m-1|=1$：
得$m-1=1$或$m-1=-1$，
即$m=2$或$m=0$。
结合$m ≠ 2$，可得$m=0$。
根据二元一次方程的定义，可得：
1. 含x的项的系数不为0：$m-2 ≠ 0$，即$m ≠ 2$；
2. 含y的项的次数为1：$|m-1|=1$。
解方程$|m-1|=1$：
得$m-1=1$或$m-1=-1$，
即$m=2$或$m=0$。
结合$m ≠ 2$，可得$m=0$。
7. 写一个二元一次方程$\underline{\hspace{5em}}$，使它的一个解为$\begin{cases} x=1, \\ y=-1. \end{cases}$
答案
$\boldsymbol{x+y=0}$（答案不唯一）
解析
解：将$\begin{cases} x=1 \\ y=-1 \end{cases}$代入构造含x、y的一次运算等式，可得$1+(-1)=0$，替换对应变量得到二元一次方程$x+y=0$，该方程满足要求。
8. 解方程组：
(1) $\begin{cases} y=2x-3, \\ 3x+2y=8; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 5x+2y=25, \\ 3x+4y=15. \end{cases}$
(1) $\begin{cases} y=2x-3, \\ 3x+2y=8; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 5x+2y=25, \\ 3x+4y=15. \end{cases}$
答案
解：
(1) $\begin{cases} y=2x-3 \quad ① \\ 3x+2y=8 \quad ② \end{cases}$
把①代入②，得：
$3x + 2(2x - 3) = 8$
$3x + 4x - 6 = 8$
$7x = 14$
解得 $x=2$
把$x=2$代入①，得：
$y=2×2 - 3 = 1$
所以该方程组的解为 $\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 5x+2y=25 \quad ① \\ 3x+4y=15 \quad ② \end{cases}$
①$×2$，得：
$10x + 4y = 50 \quad ③$
③$-$②，得：
$7x = 35$
解得 $x=5$
把$x=5$代入①，得：
$5×5 + 2y = 25$
$25 + 2y = 25$
解得 $y=0$
所以该方程组的解为 $\begin{cases} x=5 \\ y=0 \end{cases}$
(1) $\begin{cases} y=2x-3 \quad ① \\ 3x+2y=8 \quad ② \end{cases}$
把①代入②，得：
$3x + 2(2x - 3) = 8$
$3x + 4x - 6 = 8$
$7x = 14$
解得 $x=2$
把$x=2$代入①，得：
$y=2×2 - 3 = 1$
所以该方程组的解为 $\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 5x+2y=25 \quad ① \\ 3x+4y=15 \quad ② \end{cases}$
①$×2$，得：
$10x + 4y = 50 \quad ③$
③$-$②，得：
$7x = 35$
解得 $x=5$
把$x=5$代入①，得：
$5×5 + 2y = 25$
$25 + 2y = 25$
解得 $y=0$
所以该方程组的解为 $\begin{cases} x=5 \\ y=0 \end{cases}$
