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3.一列始终保持匀速行驶的普快列车用8 s的时间通过了长为96 m的隧道(即从车头进入隧道入口到车尾离开隧道出口)，又用13 s的时间通过了长为256 m的隧道.
(1)求这列普快列车的长度；
(2)相邻车道有一列长度为214.5 m，匀速相向行驶的高速动车经过，普快列车与高速动车完成会车(从车头相遇时开始，到车尾相遇时结束)的时间是3.5 s，求高速动车每小时行驶多少千米？
(1)求这列普快列车的长度；
(2)相邻车道有一列长度为214.5 m，匀速相向行驶的高速动车经过，普快列车与高速动车完成会车(从车头相遇时开始，到车尾相遇时结束)的时间是3.5 s，求高速动车每小时行驶多少千米？
答案
解:(1)设这列普快列车的长度为 x m，根据题意，得
$\frac{96+x}{8}=\frac{256+x}{13}$，解得 x=160.
答:这列普快列车的长度为 160 m.
(2)普快列车的速度为$(96+160)÷8=32$(m/s).
设高速动车每秒行驶 y m，根据题意，得
$3.5×(y+32)=160+214.5$，解得 y=75.
$75×3600÷1000=270$(km/h).
答:高速动车每小时行驶 270 km.
$\frac{96+x}{8}=\frac{256+x}{13}$，解得 x=160.
答:这列普快列车的长度为 160 m.
(2)普快列车的速度为$(96+160)÷8=32$(m/s).
设高速动车每秒行驶 y m，根据题意，得
$3.5×(y+32)=160+214.5$，解得 y=75.
$75×3600÷1000=270$(km/h).
答:高速动车每小时行驶 270 km.
解析
【分析】
(1) 列车完全通过隧道行驶的总路程等于隧道长度加列车自身长度，已知列车匀速行驶，两次过隧道的速度相等，根据“速度=路程÷时间”，设列车长度为x m，分别表示两次过隧道的速度，列等式即可求解车长。
(2) 先根据第一问的车长算出普快列车的速度。相向会车时，两车相对速度为两车速度之和，会车的总路程为两车长度之和，根据“路程=速度×时间”列方程求出高速动车的速度，最后换算单位即可。
【解析】
(1) 设这列普快列车的长度为x m，根据列车匀速行驶速度相等，列方程：
$\frac{96+x}{8}=\frac{256+x}{13}$
交叉相乘得：$13(96+x)=8(256+x)$
展开计算：$1248 + 13x = 2048 + 8x$
移项合并同类项：$5x=800$
解得：$x=160$
(2) 普快列车的速度为：$(96+160)÷8=32$(m/s)
设高速动车每秒行驶y m，根据会车总路程等于两车长度和，列方程：
$3.5×(y+32)=160+214.5$
计算得：$3.5(y+32)=374.5$
两边除以3.5得：$y+32=107$
解得：$y=75$
单位换算：$75×3600÷1000=270$(km/h)
【答案】
(1) 这列普快列车的长度为160 m；
(2) 高速动车每小时行驶270 km。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 过隧道行程问题
3. 相向会车问题
【点评】
本题是行程问题的经典题型，核心是明确不同场景下路程、速度、时间的等量关系：过隧道时总路程需包含列车自身长度，相向会车时总路程为两车长度之和、相对速度为两车速度之和，考查了学生分析等量关系、列方程求解的能力，解题时注意速度单位的换算。
【难度系数】
0.7
(1) 列车完全通过隧道行驶的总路程等于隧道长度加列车自身长度，已知列车匀速行驶，两次过隧道的速度相等，根据“速度=路程÷时间”，设列车长度为x m，分别表示两次过隧道的速度，列等式即可求解车长。
(2) 先根据第一问的车长算出普快列车的速度。相向会车时，两车相对速度为两车速度之和，会车的总路程为两车长度之和，根据“路程=速度×时间”列方程求出高速动车的速度，最后换算单位即可。
【解析】
(1) 设这列普快列车的长度为x m，根据列车匀速行驶速度相等，列方程：
$\frac{96+x}{8}=\frac{256+x}{13}$
交叉相乘得：$13(96+x)=8(256+x)$
展开计算：$1248 + 13x = 2048 + 8x$
移项合并同类项：$5x=800$
解得：$x=160$
(2) 普快列车的速度为：$(96+160)÷8=32$(m/s)
设高速动车每秒行驶y m，根据会车总路程等于两车长度和，列方程：
$3.5×(y+32)=160+214.5$
计算得：$3.5(y+32)=374.5$
两边除以3.5得：$y+32=107$
解得：$y=75$
单位换算：$75×3600÷1000=270$(km/h)
【答案】
(1) 这列普快列车的长度为160 m；
(2) 高速动车每小时行驶270 km。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 过隧道行程问题
3. 相向会车问题
【点评】
本题是行程问题的经典题型，核心是明确不同场景下路程、速度、时间的等量关系：过隧道时总路程需包含列车自身长度，相向会车时总路程为两车长度之和、相对速度为两车速度之和，考查了学生分析等量关系、列方程求解的能力，解题时注意速度单位的换算。
【难度系数】
0.7
4. 小明、小杰两人在 400 m 的环形跑道上练习跑步，小明每分钟跑 300 m，小杰每分钟跑 220 m.
小明、小杰两人同时同向出发，起跑时，小杰在小明前面 100 m 处.
(1)出发几分钟后，小明、小杰第一次相遇？
(2)出发几分钟后，小明、小杰第二次相遇？
(3)出发几分钟后，小明、小杰第三次相距 20 m？
小明、小杰两人同时同向出发，起跑时，小杰在小明前面 100 m 处.
(1)出发几分钟后，小明、小杰第一次相遇？
(2)出发几分钟后，小明、小杰第二次相遇？
(3)出发几分钟后，小明、小杰第三次相距 20 m？
答案
解:(1)设出发 x min 后，小明、小杰第一次相遇，根据题意，得 300x=220x+100，解得 x=1.25.
答:出发 1.25 min 后，小明、小杰第一次相遇.
(2)设出发 y min 后，小明、小杰第二次相遇，根据题意，得 300y=220y+100+400，解得 y=6.25.
答:出发 6.25 min 后，小明、小杰第二次相遇.
(3)设出发 z min 后，小明、小杰第三次相距 20 m，根据题意，得 300z=220z+100+400-20，解得 z=6.
答:出发 6 min 后，小明、小杰第三次相距 20 m.
答:出发 1.25 min 后，小明、小杰第一次相遇.
(2)设出发 y min 后，小明、小杰第二次相遇，根据题意，得 300y=220y+100+400，解得 y=6.25.
答:出发 6.25 min 后，小明、小杰第二次相遇.
(3)设出发 z min 后，小明、小杰第三次相距 20 m，根据题意，得 300z=220z+100+400-20，解得 z=6.
答:出发 6 min 后，小明、小杰第三次相距 20 m.
解析
【分析】
本题属于环形跑道同向追及类行程问题，核心解题依据是“路程=速度×时间”，同向追及时的等量关系为：快者行驶路程=慢者行驶路程+初始路程差+追及额外多跑的整圈路程。（1）第一次相遇时，小明只需追上小杰初始领先的100m，对应路程差为100m，据此列方程即可；（2）第二次相遇时，小明在第一次追上小杰后，需要再多跑一整圈才能再次追上小杰，总路程差为100+400=500m，据此列方程；（3）梳理相距20m的情况：第一次是小明未追上小杰，差20m，路程差为100-20=80m；第二次是小明追上小杰后超过20m，路程差为100+20=120m；第三次是小明即将第二次追上小杰，还差20m就完成第二次追及，总路程差为100+400-20=480m，据此列方程求解即可。
【解析】
(1) 设出发$x\ \mathrm{min}$后，小明、小杰第一次相遇。
小明跑步的路程为$300x\ \mathrm{m}$，小杰跑步的路程为$220x\ \mathrm{m}$，第一次相遇时小明比小杰多跑100m，列方程：
$300x=220x+100$
移项合并得：$80x=100$
解得：$x=1.25$
答：出发1.25 min后，小明、小杰第一次相遇。
(2) 设出发$y\ \mathrm{min}$后，小明、小杰第二次相遇。
第二次相遇时小明比小杰多跑初始100m加1圈400m的总路程差，列方程：
$300y=220y+100+400$
移项合并得：$80y=500$
解得：$y=6.25$
答：出发6.25 min后，小明、小杰第二次相遇。
(3) 设出发$z\ \mathrm{min}$后，小明、小杰第三次相距20 m。
第三次相距20m时，小明还差20m完成第二次追及，总路程差为$100+400-20=480\ \mathrm{m}$，列方程：
$300z=220z+100+400-20$
移项合并得：$80z=480$
解得：$z=6$
答：出发6 min后，小明、小杰第三次相距20 m。
【答案】
(1) 1.25分钟；(2) 6.25分钟；(3) 6分钟
【知识点】
一元一次方程应用，追及问题，行程公式应用
【点评】
本题是环形跑道追及问题的典型题型，解题核心是准确梳理不同场景下两人的路程差，尤其要注意“相距20米”存在快者未追上差20米、快者超过20米两种情况，需要结合题意判断对应次数的路程差，再结合行程公式列方程求解即可。
【难度系数】
0.7
本题属于环形跑道同向追及类行程问题，核心解题依据是“路程=速度×时间”，同向追及时的等量关系为：快者行驶路程=慢者行驶路程+初始路程差+追及额外多跑的整圈路程。（1）第一次相遇时，小明只需追上小杰初始领先的100m，对应路程差为100m，据此列方程即可；（2）第二次相遇时，小明在第一次追上小杰后，需要再多跑一整圈才能再次追上小杰，总路程差为100+400=500m，据此列方程；（3）梳理相距20m的情况：第一次是小明未追上小杰，差20m，路程差为100-20=80m；第二次是小明追上小杰后超过20m，路程差为100+20=120m；第三次是小明即将第二次追上小杰，还差20m就完成第二次追及，总路程差为100+400-20=480m，据此列方程求解即可。
【解析】
(1) 设出发$x\ \mathrm{min}$后，小明、小杰第一次相遇。
小明跑步的路程为$300x\ \mathrm{m}$，小杰跑步的路程为$220x\ \mathrm{m}$，第一次相遇时小明比小杰多跑100m，列方程：
$300x=220x+100$
移项合并得：$80x=100$
解得：$x=1.25$
答：出发1.25 min后，小明、小杰第一次相遇。
(2) 设出发$y\ \mathrm{min}$后，小明、小杰第二次相遇。
第二次相遇时小明比小杰多跑初始100m加1圈400m的总路程差，列方程：
$300y=220y+100+400$
移项合并得：$80y=500$
解得：$y=6.25$
答：出发6.25 min后，小明、小杰第二次相遇。
(3) 设出发$z\ \mathrm{min}$后，小明、小杰第三次相距20 m。
第三次相距20m时，小明还差20m完成第二次追及，总路程差为$100+400-20=480\ \mathrm{m}$，列方程：
$300z=220z+100+400-20$
移项合并得：$80z=480$
解得：$z=6$
答：出发6 min后，小明、小杰第三次相距20 m。
【答案】
(1) 1.25分钟；(2) 6.25分钟；(3) 6分钟
【知识点】
一元一次方程应用，追及问题，行程公式应用
【点评】
本题是环形跑道追及问题的典型题型，解题核心是准确梳理不同场景下两人的路程差，尤其要注意“相距20米”存在快者未追上差20米、快者超过20米两种情况，需要结合题意判断对应次数的路程差，再结合行程公式列方程求解即可。
【难度系数】
0.7
