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9. 若$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$，则$\frac{2x-xy+2y}{3x+5xy+3y}=$$\underline{\hspace{8cm}}$。
答案
$\frac{3}{11}$
解析
已知$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$，先对等式左侧通分，可得$\frac{x+y}{xy}=2$，由此推出$x+y=2xy$，且$xy≠0$。
将所求分式的分子、分母分别变形，把含$x、y$的项组合出$x+y$的形式：
分子：$2x-xy+2y=2(x+y)-xy$，代入$x+y=2xy$，得$2×2xy - xy=3xy$；
分母：$3x+5xy+3y=3(x+y)+5xy$，代入$x+y=2xy$，得$3×2xy +5xy=11xy$；
对变形后的分式约分，$\frac{2x-xy+2y}{3x+5xy+3y}=\frac{3xy}{11xy}=\frac{3}{11}$。
将所求分式的分子、分母分别变形，把含$x、y$的项组合出$x+y$的形式：
分子：$2x-xy+2y=2(x+y)-xy$，代入$x+y=2xy$，得$2×2xy - xy=3xy$；
分母：$3x+5xy+3y=3(x+y)+5xy$，代入$x+y=2xy$，得$3×2xy +5xy=11xy$；
对变形后的分式约分，$\frac{2x-xy+2y}{3x+5xy+3y}=\frac{3xy}{11xy}=\frac{3}{11}$。
10. 设$a＞b＞0,a^2-ab-6b^2=0$, 则$\dfrac{a+b}{b-a}$的值等于$\underline{\hspace{8cm}}$。
答案
$-2$
解析
1. 对已知等式$a^2-ab-6b^2=0$用十字相乘法因式分解，可得：$(a-3b)(a+2b)=0$。
2. 结合条件$a＞b＞0$，可知$a+2b＞0$，不可能为0，因此只能$a-3b=0$，即$a=3b$。
3. 将$a=3b$代入待求式计算：$\dfrac{a+b}{b-a}=\dfrac{3b + b}{b - 3b}=\dfrac{4b}{-2b}$，因为$b＞0$，$b≠0$可以约去，最终得到结果。
2. 结合条件$a＞b＞0$，可知$a+2b＞0$，不可能为0，因此只能$a-3b=0$，即$a=3b$。
3. 将$a=3b$代入待求式计算：$\dfrac{a+b}{b-a}=\dfrac{3b + b}{b - 3b}=\dfrac{4b}{-2b}$，因为$b＞0$，$b≠0$可以约去，最终得到结果。
11. 已知$x+y=-4$，$xy=-12$，求$\dfrac{y+1}{x+1}+\dfrac{x+1}{y+1}$的值。
答案
$-\dfrac{34}{15}$
解析
先对所求分式通分，结合完全平方公式变形后整体代入已知条件计算：
1. 对原式通分：
$\dfrac{y+1}{x+1}+\dfrac{x+1}{y+1}=\dfrac{(y+1)^2+(x+1)^2}{(x+1)(y+1)}$
2. 分别展开变形分子、分母：
分子展开得：$(y+1)^2+(x+1)^2=x^2+2x+1+y^2+2y+1=(x^2+y^2)+2(x+y)+2$，由完全平方公式变形得$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$
分母展开得：$(x+1)(y+1)=xy+x+y+1=xy+(x+y)+1$
3. 代入$x+y=-4$，$xy=-12$计算：
分子$=(-4)^2 - 2×(-12) + 2×(-4) + 2=16+24-8+2=34$
分母$=-12 + (-4) +1=-15$
因此原式$=\dfrac{34}{-15}=-\dfrac{34}{15}$
1. 对原式通分：
$\dfrac{y+1}{x+1}+\dfrac{x+1}{y+1}=\dfrac{(y+1)^2+(x+1)^2}{(x+1)(y+1)}$
2. 分别展开变形分子、分母：
分子展开得：$(y+1)^2+(x+1)^2=x^2+2x+1+y^2+2y+1=(x^2+y^2)+2(x+y)+2$，由完全平方公式变形得$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$
分母展开得：$(x+1)(y+1)=xy+x+y+1=xy+(x+y)+1$
3. 代入$x+y=-4$，$xy=-12$计算：
分子$=(-4)^2 - 2×(-12) + 2×(-4) + 2=16+24-8+2=34$
分母$=-12 + (-4) +1=-15$
因此原式$=\dfrac{34}{-15}=-\dfrac{34}{15}$
12. 4月23日是“世界读书日”，某中学为了开展“书香家庭，相伴共读”亲子阅读活动，计划从书店购进A、B两类图书若干本，A类图书的单价比B类图书的单价多5元，用1000元购进的A类图书与用750元购进的B类图书的本数相同，求A类图书和B类图书的单价各为多少元？
答案
A类图书单价为20元，B类图书单价为15元。
解析
设B类图书的单价为x元，则A类图书的单价为$(x+5)$元。
根据“用1000元购进的A类图书与用750元购进的B类图书的本数相同”的等量关系，列方程：
$\frac{1000}{x+5}=\frac{750}{x}$
方程两边同乘$x(x+5)$去分母得：
$1000x=750(x+5)$
展开计算：
$1000x=750x+3750$
移项合并同类项得：
$250x=3750$
解得$x=15$
检验：当$x=15$时，$x(x+5)≠0$，所以$x=15$是原分式方程的解，且符合实际意义。
因此A类图书的单价为$x+5=15+5=20$元。
根据“用1000元购进的A类图书与用750元购进的B类图书的本数相同”的等量关系，列方程：
$\frac{1000}{x+5}=\frac{750}{x}$
方程两边同乘$x(x+5)$去分母得：
$1000x=750(x+5)$
展开计算：
$1000x=750x+3750$
移项合并同类项得：
$250x=3750$
解得$x=15$
检验：当$x=15$时，$x(x+5)≠0$，所以$x=15$是原分式方程的解，且符合实际意义。
因此A类图书的单价为$x+5=15+5=20$元。
13. 探索问题：
（1）请你任意写出五个正的真分数：，，，，。请给每个分数的分子和分母同加上一个正数得到五个新分数：，，，，。
（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：一个真分数是$\frac{a}{b}$（$a,b$均为正数，$a＜b$），给其分子、分母同加上一个正数$m$，得$\frac{a+m}{b+m}$，则两个分数的大小关系是$\frac{a+m}{b+m}$ $\frac{a}{b}$。
（3）请你用文字叙述（2）中结论的含义：。
（4）这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活中与数学相关的问题。请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关的例子。例如：①若$\frac{a}{b}$是假分数，会有怎样的结论？②一杯$b$克糖水，内含糖$a$克，糖水浓度$=\frac{a}{b}$（$0＜a＜b$），若再往杯中加$m$克糖，糖水的浓度是$\frac{a+m}{b+m}$，比加糖前的浓度增大了，所以糖水更甜了。
（1）请你任意写出五个正的真分数：，，，，。请给每个分数的分子和分母同加上一个正数得到五个新分数：，，，，。
（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：一个真分数是$\frac{a}{b}$（$a,b$均为正数，$a＜b$），给其分子、分母同加上一个正数$m$，得$\frac{a+m}{b+m}$，则两个分数的大小关系是$\frac{a+m}{b+m}$ $\frac{a}{b}$。
（3）请你用文字叙述（2）中结论的含义：。
（4）这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活中与数学相关的问题。请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关的例子。例如：①若$\frac{a}{b}$是假分数，会有怎样的结论？②一杯$b$克糖水，内含糖$a$克，糖水浓度$=\frac{a}{b}$（$0＜a＜b$），若再往杯中加$m$克糖，糖水的浓度是$\frac{a+m}{b+m}$，比加糖前的浓度增大了，所以糖水更甜了。
答案
(1) 示例：$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{2}{5}$、$\frac{3}{7}$；$\frac{2}{3}$、$\frac{2}{4}$、$\frac{2}{5}$、$\frac{3}{6}$、$\frac{4}{8}$（答案不唯一，符合要求即可）
(2) $＞$
(3) 给一个正的真分数的分子和分母同时加上同一个正数，得到的新分数大于原来的分数
(4) 示例：某住宅窗户面积为a，墙壁总面积为b（$a＜b$），如果同时将窗户和墙壁都增加相同的面积m，窗户面积与墙壁总面积的比值会变大，房屋的采光效果会更好（答案不唯一，合理即可）
(2) $＞$
(3) 给一个正的真分数的分子和分母同时加上同一个正数，得到的新分数大于原来的分数
(4) 示例：某住宅窗户面积为a，墙壁总面积为b（$a＜b$），如果同时将窗户和墙壁都增加相同的面积m，窗户面积与墙壁总面积的比值会变大，房屋的采光效果会更好（答案不唯一，合理即可）
解析
(1) 正的真分数定义为分子小于分母的正分数，任意选取5个符合该定义的数即可，再给每个分数的分子、分母同时加上同一个正数，就能得到对应的新分数，结果不唯一。
(2) 用作差法比较两个分数的大小：
$\frac{a+m}{b+m}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+m)-a(b+m)}{b(b+m)}=\frac{m(b-a)}{b(b+m)}$，已知a、b、m均为正数，且$a＜b$，因此$m(b-a)＞0$，$b(b+m)＞0$，差值为正，可推出$\frac{a+m}{b+m}＞\frac{a}{b}$。
(3) 结合运算得到的规律，用通顺的自然语言描述即可。
(4) 结合生活中比值随分子分母同加正数而变大的场景举例即可，答案不唯一。
(2) 用作差法比较两个分数的大小：
$\frac{a+m}{b+m}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+m)-a(b+m)}{b(b+m)}=\frac{m(b-a)}{b(b+m)}$，已知a、b、m均为正数，且$a＜b$，因此$m(b-a)＞0$，$b(b+m)＞0$，差值为正，可推出$\frac{a+m}{b+m}＞\frac{a}{b}$。
(3) 结合运算得到的规律，用通顺的自然语言描述即可。
(4) 结合生活中比值随分子分母同加正数而变大的场景举例即可，答案不唯一。
