1. 当x______时，分式$\dfrac{x+1}{x-1}$无意义；当x______时，分式$\dfrac{x+1}{x-1}$的值为0。

$=1$；$=-1$

根据分式的相关性质求解：
1. 分式无意义的条件是分母等于0，令分式$\dfrac{x+1}{x-1}$的分母$x-1=0$，解得$x=1$，因此当$x=1$时，该分式无意义。
2. 分式的值为0需要同时满足分子等于0、分母不等于0两个条件，令分子$x+1=0$，解得$x=-1$，此时分母$x-1=-2≠0$，符合要求，因此当$x=-1$时，该分式的值为0。

2. 不改变分式的值,使分子、分母都不含负号:
(1)$\frac{-2}{3x}=$;
(2)$-\frac{-2}{-ab}=$;
(3)$\frac{-5-y}{-x}=$。

(1)$-\frac{2}{3x}$；(2)$-\frac{2}{ab}$；(3)$\frac{5+y}{x}$

本题依据分式的符号法则求解：分式的分子、分母、分式本身这三处的符号，同时改变任意两处的符号，分式的值保持不变。
(1) 仅分子带有负号，同时改变分子和分式本身的符号，可得$\frac{-2}{3x}=-\frac{2}{3x}$；
(2) 分子、分母、分式本身三处均带负号，先将分子分母的负号抵消，再保留剩余的一个负号，可得$-\frac{-2}{-ab}=-\frac{2}{ab}$；
(3) 分子、分母都带负号，先把分子提取负号变形为$-(5+y)$，同时抵消分子分母的负号，可得$\frac{-5-y}{-x}=\frac{5+y}{x}$。

3. 计算：$\frac{x}{2} - \frac{x - 2}{4} = (\quad)$。

A.$x - 2$
B.$x + 2$
C.$\frac{x - 2}{4}$
D.$\frac{x + 2}{4}$

D

先对原式通分，将$\frac{x}{2}$转化为分母为4的分式$\frac{2x}{4}$，可得$\frac{2x}{4} - \frac{x-2}{4}$；同分母分式相减，分母保持不变，分子做减法运算：$\frac{2x - (x-2)}{4}$，去括号后合并同类项得$\frac{2x -x +2}{4}=\frac{x+2}{4}$。

4. 若$ x $满足：$\frac{2}{x - 1} = \frac{1}{x - 2}$，则$ x = $。

3

本题是分式方程求解问题，解题步骤如下：
1. 去分母：方程两边同时乘最简公分母$(x-1)(x-2)$，将分式方程转化为整式方程：
$2(x-2) = x-1$
2. 化简求解整式方程：
去括号得：$2x - 4 = x - 1$
移项得：$2x - x = 4 - 1$
计算得：$x=3$
3. 检验：把$x=3$代入原方程的分母，$x-1=2≠0$，$x-2=1≠0$，分母均不为0，因此$x=3$是原分式方程的解。

5. 当$k=$时,去分母解方程$\dfrac{x-8}{x-7}-\dfrac{k}{7-x}=8$时有增根。

1

要解决这个问题，我们可以按照分式方程增根的相关性质逐步计算：
1. 确定增根：分式方程的增根会让原方程的分母为0，由分母$x-7=0$，可得该方程的增根为$x=7$。
2. 去分母化为整式方程：原方程$\dfrac{x-8}{x-7}-\dfrac{k}{7-x}=8$中，$7-x=-(x-7)$，方程两边同时乘最简公分母$(x-7)$，得到整式方程：$x-8 +k = 8(x-7)$。
3. 代入增根求k：把增根$x=7$代入上述整式方程，得$7-8 +k = 8×(7-7)$，计算得$-1 +k =0$，解得$k=1$。

6. 有一段坡路,小明骑自行车上坡的速度为每小时$ v_1 \ \mathrm{km} $,下坡时的速度为每小时$ v_2 \ \mathrm{km} $,则他在这段路来回骑行一次的平均速度是每小时()。

A.$ \dfrac{v_1 + v_2}{2} \ \mathrm{km} $
B.$ \dfrac{v_1 v_2}{v_1 + v_2} \ \mathrm{km} $
C.$ \dfrac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2} \ \mathrm{km} $
D.无法确定

C

根据平均速度的定义：平均速度=总路程÷总时间。
设这段坡路的单段路程为$ s \ \mathrm{km} $，则来回一次的总路程为$ 2s \ \mathrm{km} $。
上坡所用时间：$ t_1 = \frac{s}{v_1} $小时，下坡所用时间：$ t_2 = \frac{s}{v_2} $小时，
来回总时间：$ t = t_1 + t_2 = \frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2} = \frac{s(v_1 + v_2)}{v_1 v_2} $小时。
因此平均速度：$ v = \frac{2s}{t} = 2s ÷ \frac{s(v_1 + v_2)}{v_1 v_2} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2} \ \mathrm{km/h} $。

7. 计算：
(1) $\frac{18x^2}{12x^3}$；
(2) $\frac{2}{x-1}+\frac{x+1}{1-x}$；
(3) $\frac{a+2}{a-2}÷(a^2+2a)$；
(4) $\frac{a-1}{a^2-4a+4}×\frac{a^2-4}{2a-2}$。

(1) $\frac{3}{2x}$；(2) $-1$；(3) $\frac{1}{a^2-2a}$（或$\frac{1}{a(a-2)}$）；(4) $\frac{a+2}{2a-4}$（或$\frac{a+2}{2(a-2)}$）

(1) 对分式约分，先确定分子分母公因式：分子$18x^2$和分母$12x^3$的公因式为$6x^2$，约去公因式计算：$\frac{18x^2÷6x^2}{12x^3÷6x^2}=\frac{3}{2x}$。
(2) 先统一分母，将$\frac{x+1}{1-x}$变形为$-\frac{x+1}{x-1}$，再做同分母分式加减运算：
原式=$\frac{2}{x-1}-\frac{x+1}{x-1}=\frac{2-(x+1)}{x-1}=\frac{1-x}{x-1}=\frac{-(x-1)}{x-1}=-1$。
(3) 根据分式除法法则，除以一个式子等于乘以它的倒数，先对除式因式分解：$a^2+2a=a(a+2)$，代入后约去公因式$a+2$：
原式=$\frac{a+2}{a-2}·\frac{1}{a(a+2)}=\frac{1}{a(a-2)}=\frac{1}{a^2-2a}$。
(4) 先对各多项式因式分解：$a^2-4a+4=(a-2)^2$，$a^2-4=(a+2)(a-2)$，$2a-2=2(a-1)$，代入原式后约去公因式$a-1$和$a-2$：
原式=$\frac{a-1}{(a-2)^2}·\frac{(a+2)(a-2)}{2(a-1)}=\frac{a+2}{2(a-2)}=\frac{a+2}{2a-4}$。

8. 解方程:(1) $\dfrac{2-x}{x-3}+3=\dfrac{2}{3-x}$;
(2) $\dfrac{6}{1-x^2}=\dfrac{3}{1-x}$。

(1) $x=\frac{5}{2}$；(2) 原方程无解

本题是两道分式方程，解分式方程的常规步骤为：先确定最简公分母，去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后检验所得的根是否让原方程分母为0，排除增根。
(1) 观察方程可得最简公分母为$x-3$，方程两边同时乘$x-3$：
$2-x + 3(x-3) = -2$
展开括号：$2 - x + 3x -9 = -2$
合并同类项：$2x -7 = -2$
移项计算得$2x=5$，解得$x=\frac{5}{2}$
检验：把$x=\frac{5}{2}$代入$x-3$，得$\frac{5}{2}-3=-\frac{1}{2}≠0$，因此$x=\frac{5}{2}$是原方程的解。
(2) 先对分母因式分解：$1-x^2=(1-x)(1+x)$，可得最简公分母为$(1-x)(1+x)$，方程两边同时乘$(1-x)(1+x)$：
$6 = 3(1+x)$
展开计算：$6=3+3x$
移项得$3x=3$，解得$x=1$
检验：把$x=1$代入最简公分母$(1-x)(1+x)$，得$(1-1)(1+1)=0$，因此$x=1$是增根，原分式方程无解。