1. 已知$M = \sqrt[m - 4]{m + 3}$是m + 3的算术平方根,$N = \sqrt[2m - 4n + 3]{n - 2}$是n - 2的立方根,则M - N的平方根为。

$\pm\sqrt{2}$

因为$M = \sqrt[m - 4]{m + 3}$是$m + 3$的算术平方根，所以$m - 4 = 2$，解得$m = 6$，则$M = \sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3$。
因为$N = \sqrt[2m - 4n + 3]{n - 2}$是$n - 2$的立方根，所以$2m - 4n + 3 = 3$，将$m = 6$代入得$2×6 - 4n + 3 = 3$，解得$n = 3$，则$N = \sqrt[3]{3 - 2} = \sqrt[3]{1} = 1$。
所以$M - N = 3 - 1 = 2$，$2$的平方根为$\pm\sqrt{2}$。
$\pm\sqrt{2}$

2. 若无理数$\sqrt[3]{T}$(T为正整数)的被开方数满足$n^{3} ＜ T ＜ (n + 1)^{3}$(n为正整数),则称无理数$\sqrt[3]{T}$的“青区间”为(n,n + 1)；同理,规定无理数$-\sqrt[3]{T}$的“青区间”为(-n - 1,-n),例如：因为$1^{3} ＜ 2 ＜ 2^{3}$,所以2的“青区间”为(1,2),-2的“青区间”为(-2,-1),请回答下列问题：
(1)$\sqrt[3]{17}$的“青区间”为；$-\sqrt[3]{32}$的“青区间”为。
(2)实数x,y满足关系式$\sqrt{x - 8} + |2025 + (y - 9)^{2}| = 2025$,求$-\sqrt[3]{xy}$的“青区间”。

(1)(2，3) (-4，-3)
(2)解：因为$\sqrt{x-8}+\vert2025+(y-9)^2\vert=2025$，且$\sqrt{x-8}\geq0$，$\vert2025+(y-9)^2\vert\geq2025$，所以$\sqrt{x-8}=0$，$\vert2025+(y-9)^2\vert=2025$，所以$x=8$，$y=9$，所以$\sqrt[3]{xy}=\sqrt[3]{72}$。因为$4^3＜72＜5^3$，$\sqrt[3]{xy}$的“青区间”为$(4，5)$。所以$-\sqrt[3]{xy}$的“青区间”为$(-5，-4)$。

1. 若面积为12的正方形的边长为$a$,则$a$的值()。
A.在3和4之间
B.在4和5之间
C.在5和6之间
D.在6和7之间

A

正方形面积公式为边长的平方，故$a^2 = 12$，则$a = \sqrt{12}$。因为$\sqrt{9} = 3$，$\sqrt{16} = 4$，且$9 ＜ 12 ＜ 16$，所以$3 ＜ \sqrt{12} ＜ 4$，即$a$的值在3和4之间。
A

2. 借助计算器可求得$\sqrt{4^{2}+3^{2}}= 5$,$\sqrt{44^{2}+33^{2}}= 55$,$\sqrt{444^{2}+333^{2}}= 555$,…,仔细观察上面几道题的计算结果,试猜想$\sqrt{\underbrace{44…4^2}_{2025个}+\underbrace{33…3^2}_{2025个}}= $()。
A.$\underbrace{55…5}_{2022个}$
B.$\underbrace{55…5}_{2023个}$
C.$\underbrace{55…5}_{2024个}$
D.$\underbrace{55…5}_{2025个}$

D

观察已知算式：
当被开方数为$4^2 + 3^2$（1个4和1个3）时，结果为$5$（1个5）；
当被开方数为$44^2 + 33^2$（2个4和2个3）时，结果为$55$（2个5）；
当被开方数为$444^2 + 333^2$（3个4和3个3）时，结果为$555$（3个5）。
可发现规律：被开方数中4和3的个数均为$n$时，计算结果为$n$个5组成的数。
题目中被开方数为$\underbrace{44…4^2}_{2025个}+\underbrace{33…3^2}_{2025个}$，其中4和3的个数均为2025，故结果为$\underbrace{55…5}_{2025个}$。
D