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1.下列结论:①顶点在圆周上的角是圆周角;
②圆周角的度数等于圆心角度数的一半;
③90°的圆周角所对的弦是直径;④同弧所
对的圆周角相等.其中正确的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
②圆周角的度数等于圆心角度数的一半;
③90°的圆周角所对的弦是直径;④同弧所
对的圆周角相等.其中正确的有(
B
).A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
【解析】：
本题主要考察圆周角定理及其推论的理解和应用。
① 根据圆周角的定义，顶点位于圆周上，且两边都与圆相交的角才是圆周角。所以，仅仅顶点在圆周上的角并不一定是圆周角，故①错误。
② 根据圆周角定理，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半。但题目中并未明确这些条件，所以不能直接断定圆周角的度数等于圆心角度数的一半，故②错误。
③ 根据圆周角定理的推论，$90^\circ$的圆周角所对的弦确实是直径，故③正确。
④ 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是相等的，故④正确。
综上，正确的结论有2个。
【答案】：
B. 2个。
本题主要考察圆周角定理及其推论的理解和应用。
① 根据圆周角的定义，顶点位于圆周上，且两边都与圆相交的角才是圆周角。所以，仅仅顶点在圆周上的角并不一定是圆周角，故①错误。
② 根据圆周角定理，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半。但题目中并未明确这些条件，所以不能直接断定圆周角的度数等于圆心角度数的一半，故②错误。
③ 根据圆周角定理的推论，$90^\circ$的圆周角所对的弦确实是直径，故③正确。
④ 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是相等的，故④正确。
综上，正确的结论有2个。
【答案】：
B. 2个。
2.如图,AB是半圆O的直径,点C,D在半圆O上.若∠ABC= 55°,则∠BDC的度数为(
A.155°
B.145°
C.135°
D.125°
B
).A.155°
B.145°
C.135°
D.125°
答案
解：连接AC。
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠ABC=55°，
∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-55°=35°。
∵∠BAC与∠BDC是圆内接四边形ACBD的一组对角，
∴∠BAC+∠BDC=180°（圆内接四边形的对角互补）。
∴∠BDC=180°-∠BAC=180°-35°=145°。
答案：B
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠ABC=55°，
∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-55°=35°。
∵∠BAC与∠BDC是圆内接四边形ACBD的一组对角，
∴∠BAC+∠BDC=180°（圆内接四边形的对角互补）。
∴∠BDC=180°-∠BAC=180°-35°=145°。
答案：B
3.如图,在⊙0中,若弦AC= 2√3,点B是
圆上一点,且∠ABC= 45°,则⊙O的半径
R=
圆上一点,且∠ABC= 45°,则⊙O的半径
R=
√6
.答案
【解析】：本题主要考查圆周角定理的应用。
首先，连接$OA$和$OC$。
由于$\angle ABC = 45^{\circ}$，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，所以$\angle AOC = 2 × \angle ABC = 2 × 45^{\circ} = 90^{\circ}$。
接下来，我们利用勾股定理来求解半径$R$。
在直角三角形$AOC$中，有$OA = OC = R$（因为$OA$和$OC$都是半径），且$AC = 2\sqrt{3}$。
根据勾股定理，$OA^2 + OC^2 = AC^2$，
即$R^2 + R^2 = (2\sqrt{3})^2$，
$2R^2 = 12$，
$R^2 = 6$，
解得$R = \sqrt{6}$（负值舍去，因为半径不能为负）。
【答案】：$\sqrt{6}$。
首先，连接$OA$和$OC$。
由于$\angle ABC = 45^{\circ}$，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，所以$\angle AOC = 2 × \angle ABC = 2 × 45^{\circ} = 90^{\circ}$。
接下来，我们利用勾股定理来求解半径$R$。
在直角三角形$AOC$中，有$OA = OC = R$（因为$OA$和$OC$都是半径），且$AC = 2\sqrt{3}$。
根据勾股定理，$OA^2 + OC^2 = AC^2$，
即$R^2 + R^2 = (2\sqrt{3})^2$，
$2R^2 = 12$，
$R^2 = 6$，
解得$R = \sqrt{6}$（负值舍去，因为半径不能为负）。
【答案】：$\sqrt{6}$。
4.如图,点A,B,C都在⊙O上.若∠AOC
=140°,求∠B的度数.
=140°,求∠B的度数.
答案
【解析】：本题主要考查圆周角定理，即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。题目中给出了圆心角$\angle AOC$的度数，要求的是圆周角$\angle B$的度数，可以通过圆周角定理直接求解。
【答案】：解：
∵$\angle AOC$是圆心角，$\angle B$是$\stackrel\frown{AC}$所对的圆周角，
∴根据圆周角定理，我们有$\angle B=\frac{1}{2}\angle AOC$，
∵已知$\angle AOC=140^\circ$，
∴$\angle B=\frac{1}{2}×140^\circ=70^\circ$，
∴$\angle B$的度数为$70^\circ$。
【答案】：解：
∵$\angle AOC$是圆心角，$\angle B$是$\stackrel\frown{AC}$所对的圆周角，
∴根据圆周角定理，我们有$\angle B=\frac{1}{2}\angle AOC$，
∵已知$\angle AOC=140^\circ$，
∴$\angle B=\frac{1}{2}×140^\circ=70^\circ$，
∴$\angle B$的度数为$70^\circ$。
1.如图,在⊙O中,直径AB⊥CD,∠A=26°,则∠D的度数是(
A.26°
B.38°
C.52°
D.64°
64°
).A.26°
B.38°
C.52°
D.64°
答案
解：连接OC。
∵∠A=26°，OA=OC，
∴∠A=∠ACO=26°，
∴∠AOC=180°-26°×2=128°。
∵直径AB⊥CD，
∴∠COB=180°-∠AOC=52°，
∴∠DOB=∠COB=52°。
∵OD=OB，
∴∠D=∠OBD=(180°-52°)÷2=64°。
答案：D
∵∠A=26°，OA=OC，
∴∠A=∠ACO=26°，
∴∠AOC=180°-26°×2=128°。
∵直径AB⊥CD，
∴∠COB=180°-∠AOC=52°，
∴∠DOB=∠COB=52°。
∵OD=OB，
∴∠D=∠OBD=(180°-52°)÷2=64°。
答案：D
2.如图,AB是⊙O的直径,C,D两点在⊙O上.如果∠C= 40°,那么∠ABD的度数为(
A.40°
B.50°
C.70°
D.80°
B
).A.40°
B.50°
C.70°
D.80°
答案
解：连接AD。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠C=40°，∠C与∠ADB所对的弧均为弧AB，
∴∠A=∠C=40°（同弧所对的圆周角相等）。
在Rt△ABD中，∠ABD=90°-∠A=90°-40°=50°。
答案：B。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠C=40°，∠C与∠ADB所对的弧均为弧AB，
∴∠A=∠C=40°（同弧所对的圆周角相等）。
在Rt△ABD中，∠ABD=90°-∠A=90°-40°=50°。
答案：B。
3.如图,在⊙O中,OA⊥BC. 若∠CDA=25°,则∠AOB的度数为
50°
.答案
解：连接OC。
∵OA⊥BC，
∴弧AC=弧AB（垂径定理）。
∵∠CDA=25°，
∴∠COA=2∠CDA=50°（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）。
∵弧AC=弧AB，
∴∠AOB=∠COA=50°。
50°
∵OA⊥BC，
∴弧AC=弧AB（垂径定理）。
∵∠CDA=25°，
∴∠COA=2∠CDA=50°（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）。
∵弧AC=弧AB，
∴∠AOB=∠COA=50°。
50°
4.如图,四边形ABCD内接于OO.若四边形
ABCO是平行四边形,则∠ADC的大小
为______.
ABCO是平行四边形,则∠ADC的大小
为______.
答案
解：∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC=∠AOC，AB=OC，OA=BC。
∵OA=OC=OB（圆的半径相等），
∴OA=AB=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°。
设∠BOC=x，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+x。
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠OAB=∠OCB。
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=（180°-∠AOB）/2=（180°-60°）/2=60°，
∴∠OCB=60°。
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=60°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-60°-60°=60°，
∴∠AOC=60°+60°=120°。
∵∠ADC是圆周角，∠AOC是圆心角，且它们所对的弧都是弧AC，
∴∠ADC=1/2∠AOC=1/2×120°=60°。
60°
∴∠ABC=∠AOC，AB=OC，OA=BC。
∵OA=OC=OB（圆的半径相等），
∴OA=AB=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°。
设∠BOC=x，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+x。
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠OAB=∠OCB。
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=（180°-∠AOB）/2=（180°-60°）/2=60°，
∴∠OCB=60°。
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=60°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-60°-60°=60°，
∴∠AOC=60°+60°=120°。
∵∠ADC是圆周角，∠AOC是圆心角，且它们所对的弧都是弧AC，
∴∠ADC=1/2∠AOC=1/2×120°=60°。
60°
