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14. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$BD = DC$,$\odot O$ 过 $A$,$B$,$D$ 三点,求证：$AB$ 是 $\odot O$ 的直径。
答案
连接AD,证$AD\perp BC$,可得AB是$\odot O$的直径
解析
证明：连接$AD$。
因为$AB = AC$，$BD = DC$，所以$AD$是等腰$\triangle ABC$底边$BC$上的中线。
根据等腰三角形三线合一性质，$AD \perp BC$，即$\angle ADB = 90°$。
因为$\angle ADB$是$\odot O$中弦$AB$所对的圆周角，且$\angle ADB = 90°$，所以$AB$是$\odot O$的直径。
因为$AB = AC$，$BD = DC$，所以$AD$是等腰$\triangle ABC$底边$BC$上的中线。
根据等腰三角形三线合一性质，$AD \perp BC$，即$\angle ADB = 90°$。
因为$\angle ADB$是$\odot O$中弦$AB$所对的圆周角，且$\angle ADB = 90°$，所以$AB$是$\odot O$的直径。
15. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,点 $O$ 在 $AC$ 上,以 $OA$ 为半径的半圆 $O$ 交 $AB$ 于点 $D$,交 $AC$ 于点 $E$,过点 $D$ 作半圆 $O$ 的切线 $DF$,交 $BC$ 于点 $F$。
(1)求证：$BF = DF$；
(2)若 $AC = 4$,$BC = 3$,$CF = 1$,求半圆 $O$ 的半径长。
(1)求证：$BF = DF$；
(2)若 $AC = 4$,$BC = 3$,$CF = 1$,求半圆 $O$ 的半径长。
答案
(1)略;
(2)$\frac{13}{8}$
16. 已知 $\triangle ABC$ 内接于 $\odot O$,$\angle BAC$ 的平分线交 $\odot O$ 于点 $D$,连接 $DB$,$DC$。
(1)如图 1,当 $\angle BAC = 120^{\circ}$ 时,请直接写出线段 $AB$,$AC$,$AD$ 之间的等量关系式：______；
(2)如图 2,当 $\angle BAC = 90^{\circ}$ 时,试探究线段 $AB$,$AC$,$AD$ 之间的等量关系式,并证明你的结论。
(1)如图 1,当 $\angle BAC = 120^{\circ}$ 时,请直接写出线段 $AB$,$AC$,$AD$ 之间的等量关系式：______；
(2)如图 2,当 $\angle BAC = 90^{\circ}$ 时,试探究线段 $AB$,$AC$,$AD$ 之间的等量关系式,并证明你的结论。
答案
(1)$AB+AC=AD$;
(2)$AB+AC=\sqrt{2}AD$
17. 如图,$AB$ 为 $\odot O$ 的直径,点 $C$,$E$ 在半圆 $AB$ 上,$CF\perp AB$ 于点 $F$,$BE$ 交 $CF$ 于点 $D$,且 $\angle BDF = 2\angle C$。
(1)求证：$\overset{\frown}{BC}= \overset{\frown}{EC}$；
(2)若 $CF = 8$,$OA = 10$,求 $BE$ 的长。
(1)求证：$\overset{\frown}{BC}= \overset{\frown}{EC}$；
(2)若 $CF = 8$,$OA = 10$,求 $BE$ 的长。
答案
(1)略;
(2)16
