10. 如图,$PA$,$PB$ 分别与 $\odot O$ 相切于点 $A$,$B$,$C$ 为 $\odot O$ 上异于 $A$,$B$ 的一点,若 $\angle P = 40^{\circ}$,则 $\angle ACB$ 的度数为______。

$70°$或$110°$

解：连接 $OA$，$OB$。
因为 $PA$，$PB$ 是 $\odot O$ 的切线，所以 $OA \perp PA$，$OB \perp PB$，即 $\angle OAP = \angle OBP = 90°$。
在四边形 $OAPB$ 中，$\angle P = 40°$，所以 $\angle AOB = 360° - 90° - 90° - 40° = 140°$。
当点 $C$ 在优弧 $AB$ 上时，$\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} × 140° = 70°$；
当点 $C$ 在劣弧 $AB$ 上时，$\angle ACB = 180° - 70° = 110°$。
综上，$\angle ACB$ 的度数为 $70°$ 或 $110°$。
$70°$ 或 $110°$

11. 如图,圆形拱门的最下端 $AB$ 在地面上,$D$ 为 $AB$ 的中点,$C$ 为拱门的最高点,线段 $CD$ 经过拱门所在圆的圆心,若 $AB = 1\ m$,$CD = 2.5\ m$,求拱门所在圆的半径。

拱门所在圆的半径为1.3 m

解：设拱门所在圆的半径为$r\ m$，圆心为$O$。
因为$D$为$AB$的中点，$AB = 1\ m$，所以$AD=\dfrac{1}{2}AB = 0.5\ m$。
因为$CD = 2.5\ m$，$CD$经过圆心$O$，所以$OD=CD - OC=2.5 - r$。
在$Rt\triangle AOD$中，由勾股定理得：$AD^{2}+OD^{2}=OA^{2}$，即$0.5^{2}+(2.5 - r)^{2}=r^{2}$。
解得$r = 1.3$。
答：拱门所在圆的半径为$1.3\ m$。

12. 如图,$\triangle ABC$ 内接于 $\odot O$,$AD\perp BC$ 于 $D$,弦 $BH\perp AC$ 于 $E$,交 $AD$ 于 $F$,求证：$FE = EH$。

证明：
1. ∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，则∠C+∠CAD=90°。
2. ∵BH⊥AC，∴∠AEF=90°，则∠AFE+∠CAD=90°。
3. 由1、2得∠AFE=∠C（同角的余角相等）。
4. ∵∠H与∠C都是弧AB所对的圆周角，∴∠H=∠C（同弧所对圆周角相等）。
5. 由3、4得∠AFE=∠H（等量代换）。
6. ∵∠AFE=∠EFH（对顶角相等），∴∠EFH=∠H。
7. 在△EFH中，∠EFH=∠H，∴FE=EH（等角对等边）。
综上，FE=EH。

13. 如图,小明用一个半径为 $24\ cm$、面积为 $240\pi\ cm^2$ 的扇形纸板,制作一个圆锥形的玩具帽,求帽子的底面半径 $r$。

10 cm

解：扇形的半径为 $24\ cm$，面积为 $240\pi\ cm^2$。
设扇形的圆心角为 $n°$，根据扇形面积公式 $\frac{n\pi R^2}{360}=240\pi$（其中 $R=24\ cm$），可得：
$\frac{n\pi × 24^2}{360}=240\pi$
解得 $n=150$。
扇形的弧长为 $\frac{n\pi R}{180}=\frac{150\pi × 24}{180}=20\pi\ cm$。
圆锥底面周长等于扇形弧长，即 $2\pi r=20\pi$，解得 $r=10\ cm$。
$10\ cm$