5. (★★) 抛物线 $y = kx^{2}-7x - 7$ 的图象和 $x$ 轴有交点,则 $k$ 的取值范围是【】
A.$k \geq -\frac{7}{4}$
B.$k \geq -\frac{7}{4}$ 且 $k \neq 0$
C.$k ＞ -\frac{7}{4}$
D.$k ＞ -\frac{7}{4}$ 且 $k \neq 0$

【解析】：抛物线 $y=kx^2-7x-7$ 的图象和 $x$ 轴有交点，
则方程$kx^2-7x-7 = 0$有实数根。
所以判别式$\Delta=b^2 - 4ac=(-7)^2-4× k×(-7)=49 + 28k\geq0$，
解不等式$49 + 28k\geq0$，
$28k\geq - 49$，
$k\geq-\frac{49}{28}=-\frac{7}{4}$。
又因为二次项系数$k\neq0$，
所以$k$的取值范围是$k\geq-\frac{7}{4}$且$k\neq0$。
【答案】：B

6. (★★) 已知二次函数 $y = x^{2}+2x + m$ 的图象与 $x$ 轴有且只有一个公共点,则抛物线的顶点坐标为。

$(-1,0)$

由于二次函数$y = x^{2} + 2x + m$的图象与$x$轴有且只有一个公共点，根据二次函数的性质，这意味着判别式$\Delta = 0$。
计算判别式，有：
$\Delta = (2)^{2} - 4 × 1 × m = 4 - 4m = 0$，
解得：
$m = 1$，
将$m = 1$代入原二次函数，得到：
$y = x^{2} + 2x + 1 = (x + 1)^{2}$，
这是一个完全平方的形式，其顶点坐标为$(-1, 0)$。

7. (★★★) (2023·陕西) 下表中列出的是一个二次函数的自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的几组对应值：

则下列关于这个二次函数的结论正确的是【】
A.图象的顶点在第一象限
B.有最小值$-8$
C.图象与 $x$ 轴的一个交点是 $(-1,0)$
D.图象开口向下

C

根据表格数据，当$x = 0$时，$y = -5$；当$x = 3$时，$y = -8$；当$x = 5$时，$y = 0$。
设二次函数的解析式为$y = ax^2 + bx + c$，将点$(0, -5)$，$(3, -8)$，$(5, 0)$代入得到方程组：
$\begin{cases}c = -5 \\9a + 3b + c = -8 \\25a + 5b + c = 0\end{cases}$
解方程组，得到：
从第一个方程得$c = -5$，
代入第二和第三个方程得：
$\begin{cases}9a + 3b = -3 \\25a + 5b = 5\end{cases}$
解这个二元一次方程组，得到$a = 1$，$b = -4$，$c = -5$（通过消元法或代入法求解）。
因此，二次函数的解析式为$y = x^2 - 4x - 5$。
根据二次函数的性质，可以将其化为顶点式$y = (x - 2)^2 - 9$，所以顶点坐标为$(2, -9)$，在第四象限，有最小值$-9$，图象开口向上。
令$y=0$，即$x^2 - 4x - 5=0$，解得$x = -1$或$x = 5$，所以图象与$x$轴的一个交点是$(-1,0)$，另一个交点是$(5,0)$。
综上所述，选项C正确。

8. (★) 若一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ 有两个实数根,则抛物线 $y = ax^{2}+bx + c$ 与 $x$ 轴【】
A.有两个交点
B.只有一个交点
C.至少有一个交点
D.至多有一个交点

C

一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$有两个实数根，包括两个不相等的实数根和两个相等的实数根两种情况。当方程有两个不相等的实数根时，抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与$x$轴有两个交点；当方程有两个相等的实数根时，抛物线与$x$轴有一个交点。综上，抛物线与$x$轴至少有一个交点。

9. (★) 如图 22.2 - 1,抛物线 $y = ax^{2}$ 与直线 $y = bx + c$ 的两个交点坐标分别为 $A(-2,4)$,$B(1,1)$,则方程 $ax^{2}= bx + c$ 的解是。

$ x_1 = -2 $，$ x_2 = 1 $

因为抛物线 $ y = ax^2 $ 与直线 $ y = bx + c $ 的交点坐标为 $ A(-2,4) $ 和 $ B(1,1) $，而方程 $ ax^2 = bx + c $ 的解即为两函数图像交点的横坐标。所以方程的解是 $ x_1 = -2 $，$ x_2 = 1 $。

10. (★★) 若函数 $y = (a - 1)x^{2}-4x + 2a$ 的图象与 $x$ 轴有且只有一个交点,则 $a$ 的值为。

-1或2或1

本题可分为两种情况来讨论：
情况一：当函数是二次函数时，即$a - 1\neq0$，也就是$a\neq1$。
对于二次函数$y = Ax^2 + Bx + C$（$A\neq0$），其判别式$\Delta = B^2 - 4AC$，当$\Delta = 0$时，函数图象与$x$轴有且只有一个交点。
在函数$y = (a - 1)x^2 - 4x + 2a$中，$A = a - 1$，$B = -4$，$C = 2a$，则$\Delta = (-4)^2 - 4(a - 1)×2a = 0$，
即$16 - 8a(a - 1) = 0$，
化简得$16 - 8a^2 + 8a = 0$，
两边同时除以$8$得$2 - a^2 + a = 0$，
进一步变形为$a^2 - a - 2 = 0$，
因式分解得$(a - 2)(a + 1) = 0$，
解得$a = 2$或$a = -1$。
情况二：当函数是一次函数时，即$a - 1 = 0$，也就是$a = 1$。
此时函数为$y = -4x + 2$，它是一次函数，与$x$轴有且只有一个交点。
综合以上两种情况，$a$的值为$-1$或$2$或$1$（经检验，当$a = 1$时，原函数为一次函数，符合题意）。

11. (★★) 二次函数 $y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0,a,b,c$ 为常数)的图象如图 22.2 - 2 所示,则 $ax^{2}+bx + c = m$ 有实数根的条件是【】

A.$m \leq - 2$
B.$m \geq - 2$
C.$m \geq 0$

D.$m ＞ 4$

B

根据题意，方程 $ax^2 + bx + c = m$ 有实数根的条件，等价于二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与直线 $y = m$ 有交点。
由图 22.2-2 可知，二次函数的最小值为 $-2$，即 $y$ 的取值范围是 $y \geq -2$。
因此，方程 $ax^2 + bx + c = m$ 有实数根的条件是 $m \geq -2$。

12. (★★) 若二次函数 $y = -x^{2}+2x + k$ 的部分图象如图 22.2 - 3 所示,则关于 $x$ 的一元二次方程 $-x^{2}+2x + k = 0$ 的一个根 $x_{1}= 3$,另一个根 $x_{2}= $。

$-1$

已知二次函数$y = -x^{2}+2x + k$，关于$x$的一元二次方程$-x^{2}+2x + k = 0$的一个根$x_{1}= 3$，设另一个根为$x_{2}$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，若方程的两根为$x_{1}$和$x_{2}$，根据韦达定理可知$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$。
在方程$-x^{2}+2x + k = 0$中，$a=-1$，$b = 2$，则$x_{1}+x_{2}=-\frac{2}{-1}=2$。
把$x_{1}=3$代入$x_{1}+x_{2}=2$，可得$3 + x_{2}=2$，解得$x_{2}=2 - 3=-1$。

13. (★★★) 如图 22.2 - 4,二次函数 $y = ax^{2}+bx + c(a ＞ 0)$ 图象的顶点为 $D$,其图象与 $x$ 轴的交点 $A,B$ 的横坐标分别为 $-1$ 和 $3$,则下列结论正确的是【】

A.$2a - b = 0$
B.$a + b + c ＞ 0$
C.$3a - c = 0$
D.当 $a= \frac{1}{2}$ 时,$\triangle ABD$ 是等腰直角三角形

D

选项A：抛物线与x轴交点为A(-1,0)、B(3,0)，对称轴为$x=\frac{-1+3}{2}=1$。由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，得$b=-2a$。则$2a-b=2a-(-2a)=4a\neq0$，A错误。
选项B：$a+b+c$为$x=1$时的函数值，此时$x=1$为顶点横坐标，$a＞0$抛物线开口向上，顶点为最低点且在x轴下方，故$a+b+c＜0$，B错误。
选项C：将$x=-1$代入$y=0$，得$a-b+c=0$。由$b=-2a$，代入得$a+2a+c=0\Rightarrow3a+c=0\Rightarrow c=-3a$。则$3a-c=3a-(-3a)=6a\neq0$，C错误。
选项D：当$a=\frac{1}{2}$时，$b=-2a=-1$，$c=-3a=-\frac{3}{2}$，顶点$D(1,-2)$。$A(-1,0)$、$B(3,0)$，$AD=BD=2\sqrt{2}$，$AB=4$。$AD^2+BD^2=AB^2$且$AD=BD$，$\triangle ABD$是等腰直角三角形，D正确。

14. (★) 根据下表中二次函数 $y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0)$ 的自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的对应值,可以判断关于 $x$ 的方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a \neq 0)$ 的一个解 $x$ 的范围是【】

A.$-2 ＜ x ＜ - 1$
B.$-1 ＜ x ＜ 0$
C.$0 ＜ x ＜ 1$
D.$1 ＜ x ＜ 2$

B

当x=-1时，y=2；当x=0时，y=-1。因为二次函数y=ax²+bx+c的图像是连续曲线，且y从2变为-1，由正到负，所以方程ax²+bx+c=0的一个解在-1＜x＜0范围内。