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在实际生产、生活中,常会碰到判断两条直线是否垂直的问题,即判断这两条直线构成的角是不是
直角
,若身边没有测量直角的工具,可以构造三角形,通过测量三边的长度,利用勾股定理的逆定理（如果三角形三条边的长度a,b,c满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，那么这个三角形是直角三角形）
来判断这个三角形是不是直角三角形,从而判断该角是不是直角。答案
直角 勾股定理的逆定理（如果三角形三条边的长度a,b,c满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，那么这个三角形是直角三角形）
1. 如图,由于台风的影响,一棵树在离地面6m处折断,树顶落在离树干底部8m处,则这棵树在折断前(不包括树根)的高度是(
A.8m
B.10m
C.16m
D.18m
C
)。A.8m
B.10m
C.16m
D.18m
答案
C
解析
根据勾股定理，折断部分长度为 $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\ m$。树折断前高度为 $6 + 10 = 16\ m$。
C
C
2. 如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处,发现此时绳子末端距离地面2m,则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为(
A.12m
B.13m
C.16m
D.17m
D
)。A.12m
B.13m
C.16m
D.17m
答案
D
解析
设旗杆的高度为$h$米，则绳子的长度也为$h$米。
根据题意，当绳子末端拉到距离旗杆$8$米处时，绳子末端距离地面$2$米，此时构成直角三角形，直角边分别为$8$米和$(h - 2)$米，斜边为绳子长度$h$米。
由勾股定理可得：$8^2 + (h - 2)^2 = h^2$
展开得：$64 + h^2 - 4h + 4 = h^2$
化简得：$68 - 4h = 0$
解得：$4h = 68$，$h = 17$
答案：D
根据题意，当绳子末端拉到距离旗杆$8$米处时，绳子末端距离地面$2$米，此时构成直角三角形，直角边分别为$8$米和$(h - 2)$米，斜边为绳子长度$h$米。
由勾股定理可得：$8^2 + (h - 2)^2 = h^2$
展开得：$64 + h^2 - 4h + 4 = h^2$
化简得：$68 - 4h = 0$
解得：$4h = 68$，$h = 17$
答案：D
3. 【数学应用】四川省彭州市的九尺镇是著名的大棚蔬菜之乡,常年种植大棚苦瓜、黄瓜、番茄、西葫芦等,秋冬季的蔬菜以莴笋为主。彭州莴笋作为当地特产,已成为四川“大地蔬菜”的代表。如图,彭州市某种植基地为研究新型的蔬菜栽培技术,需要建一个宽3.2m、高2.4m、长15m的蔬菜大棚,则覆盖在顶上的塑料薄膜(图中阴影部分)需要
60m²
。答案
$60m^{2}$
解析
塑料薄膜的宽为：$\sqrt{3.2^{2}+2.4^{2}}=\sqrt{10.24 + 5.76}=\sqrt{16}=4\ m$
塑料薄膜的面积为：$4×15 = 60\ m^2$
$60\ m^2$
塑料薄膜的面积为：$4×15 = 60\ m^2$
$60\ m^2$
4. 如图,有一块四边形空地ABCD,现计划在这块空地上种植草皮。测得AB= 3m,BC= 4m,DA= 13m,CD= 12m,且∠ABC= 90°。若种植每平方米草皮需要200元,则这块空地种植草皮共需要
7200
元。答案
7200
解析
解：连接AC。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3m，BC=4m，
由勾股定理得：AC²=AB²+BC²=3²+4²=25，
∴AC=5m。
在△ACD中，AC=5m，CD=12m，DA=13m，
∵AC²+CD²=5²+12²=169=13²=DA²，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°。
S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=1/2×AB×BC+1/2×AC×CD
=1/2×3×4+1/2×5×12
=6+30
=36(m²)。
种植草皮费用：36×200=7200(元)。
7200
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3m，BC=4m，
由勾股定理得：AC²=AB²+BC²=3²+4²=25，
∴AC=5m。
在△ACD中，AC=5m，CD=12m，DA=13m，
∵AC²+CD²=5²+12²=169=13²=DA²，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°。
S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=1/2×AB×BC+1/2×AC×CD
=1/2×3×4+1/2×5×12
=6+30
=36(m²)。
种植草皮费用：36×200=7200(元)。
7200
5. 如图,在长方形纸片ABCD中,AB= 3,BC= 4,现将点A,C重合,使纸片折叠压平,折痕为EF,求重叠部分△AEF的面积。
答案
解：由折叠的性质可知$\angle AEF=\angle CEF$，$AE=CE$。
由平行线的性质可知$\angle CEF=\angle AFE$，
所以$\angle AEF=\angle AFE$，
所以$AE=AF=CE$。
设$AE=AF=CE=x$，
则$BE=4 - x$。
在$Rt\triangle ABE$中，
由勾股定理得$AB^{2}+BE^{2}=AE^{2}$，
即$3^{2}+(4 - x)^{2}=x^{2}$，
解得$x=\frac{25}{8}$，
所以$S_{\triangle AEF}=\frac{1}{2}× AF× AB=\frac{1}{2}× \frac{25}{8}× 3=\frac{75}{16}$。
由平行线的性质可知$\angle CEF=\angle AFE$，
所以$\angle AEF=\angle AFE$，
所以$AE=AF=CE$。
设$AE=AF=CE=x$，
则$BE=4 - x$。
在$Rt\triangle ABE$中，
由勾股定理得$AB^{2}+BE^{2}=AE^{2}$，
即$3^{2}+(4 - x)^{2}=x^{2}$，
解得$x=\frac{25}{8}$，
所以$S_{\triangle AEF}=\frac{1}{2}× AF× AB=\frac{1}{2}× \frac{25}{8}× 3=\frac{75}{16}$。
