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8. 给出下列几组数：①$4$,$5$,$6$；②$8$,$15$,$16$；③$n^2 - 1$,$2n$,$n^2 + 1$；④$m^2 - n^2$,$2mn$,$m^2 + n^2$($m＞n＞0$)。其中一定能作为直角三角形三边长的是
④
。(填序号)答案
④
解析
①$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$，$6^2 = 36$，$41 \neq 36$，不是直角三角形；
②$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$，$16^2 = 256$，$289 \neq 256$，不是直角三角形；
③当$n=1$时，$n^2 - 1 = 0$，边长不能为0，不一定是直角三角形；
④$(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2 + n^2)^2$，是直角三角形。
④
②$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$，$16^2 = 256$，$289 \neq 256$，不是直角三角形；
③当$n=1$时，$n^2 - 1 = 0$，边长不能为0，不一定是直角三角形；
④$(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2 + n^2)^2$，是直角三角形。
④
9. 如图,方格中的点$A$,$B$称为格点(格线的交点),以$AB为一边画\triangle ABC$,其中是直角三角形的格点$C$的个数是
4
。答案
4
10. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 4$,$AC = 3$,$BC = 5$,$AD是\triangle ABC$的角平分线,$DE\perp AB于点E$,求$DE$的长。
答案
$\frac{12}{7}$
解析
解：
∵ $AB=4$，$AC=3$，$BC=5$，
∴ $AB^2 + AC^2 = 4^2 + 3^2 = 25 = BC^2$，
∴ $\triangle ABC$ 是直角三角形，$\angle BAC = 90°$。
过 $D$ 作 $DF \perp AC$ 于 $F$，
∵ $AD$ 平分 $\angle BAC$，$DE \perp AB$，
∴ $DE = DF$（角平分线性质）。
设 $DE = DF = h$，
$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACD}$，
$\frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × AB × h + \frac{1}{2} × AC × h$，
$\frac{1}{2} × 4 × 3 = \frac{1}{2} × 4h + \frac{1}{2} × 3h$，
$6 = \frac{7}{2}h$，
解得 $h = \frac{12}{7}$。
∴ $DE = \frac{12}{7}$。
答案：$\frac{12}{7}$
11. 【综合与实践】我们学习了勾股定理后,都知道“勾三、股四、弦五”。
观察：$3$,$4$,$5$；$5$,$12$,$13$；$7$,$24$,$25$；$9$,$40$,$41$；…$$。发现这些勾股数的勾都是奇数,且从$3$起就没有间断过。
(1)请你根据上述规律写出下一组勾股数：
(2)如果第一个数用字母$n$($n$为奇数,且$n\geqslant3$)表示,那么后两个数用含$n$的代数式分别表示为
观察：$3$,$4$,$5$；$5$,$12$,$13$；$7$,$24$,$25$；$9$,$40$,$41$；…$$。发现这些勾股数的勾都是奇数,且从$3$起就没有间断过。
(1)请你根据上述规律写出下一组勾股数：
11,60,61
；(2)如果第一个数用字母$n$($n$为奇数,且$n\geqslant3$)表示,那么后两个数用含$n$的代数式分别表示为
$\frac{n^{2}-1}{2}$
和$\frac{n^{2}+1}{2}$
,请用所学知识说明它们是一组勾股数。因为$n^{2}+(\frac{n^{2}-1}{2})^{2}=n^{2}+\frac{n^{4}-2n^{2}+1}{4}=\frac{n^{4}+2n^{2}+1}{4}$,$(\frac{n^{2}+1}{2})^{2}=\frac{n^{4}+2n^{2}+1}{4}$,所以$n^{2}+(\frac{n^{2}-1}{2})^{2}=(\frac{n^{2}+1}{2})^{2}$。又因为n为奇数,且$n\geq3$,所以n,$\frac{n^{2}-1}{2}$,$\frac{n^{2}+1}{2}$是一组勾股数。
答案
解:
(1)11,60,61
(2)$\frac{n^{2}-1}{2}$ $\frac{n^{2}+1}{2}$因为$n^{2}+(\frac{n^{2}-1}{2})^{2}=n^{2}+\frac{n^{4}-2n^{2}+1}{4}=\frac{n^{4}+2n^{2}+1}{4}$,$(\frac{n^{2}+1}{2})^{2}=\frac{n^{4}+2n^{2}+1}{4}$,所以$n^{2}+(\frac{n^{2}-1}{2})^{2}=(\frac{n^{2}+1}{2})^{2}$。又因为n为奇数,且$n\geq3$,所以n,$\frac{n^{2}-1}{2}$,$\frac{n^{2}+1}{2}$是一组勾股数。
(1)11,60,61
(2)$\frac{n^{2}-1}{2}$ $\frac{n^{2}+1}{2}$因为$n^{2}+(\frac{n^{2}-1}{2})^{2}=n^{2}+\frac{n^{4}-2n^{2}+1}{4}=\frac{n^{4}+2n^{2}+1}{4}$,$(\frac{n^{2}+1}{2})^{2}=\frac{n^{4}+2n^{2}+1}{4}$,所以$n^{2}+(\frac{n^{2}-1}{2})^{2}=(\frac{n^{2}+1}{2})^{2}$。又因为n为奇数,且$n\geq3$,所以n,$\frac{n^{2}-1}{2}$,$\frac{n^{2}+1}{2}$是一组勾股数。
12. 【综合与实践】如图,$P是等边三角形ABC$内的一点,连接$PA$,$PB$,$PC$,以$BP为边作\angle PBQ = 60^{\circ}$,且$BQ = BP$,连接$CQ$。
(1)观察并猜想$AP与CQ$之间的数量关系,并说明理由；
(2)若$PA:PB:PC = 3:4:5$,连接$PQ$,试判断$\triangle PQC$的形状,并说明理由。
(1)观察并猜想$AP与CQ$之间的数量关系,并说明理由；
(2)若$PA:PB:PC = 3:4:5$,连接$PQ$,试判断$\triangle PQC$的形状,并说明理由。
答案
解:
(1)$AP=CQ$。理由如下:因为$\angle ABP+\angle PBC=60^{\circ}$,$\angle CBQ+\angle PBC=60^{\circ}$,所以$\angle ABP=\angle CBQ$。在$\triangle ABP$和$\triangle CBQ$中,$\left\{\begin{array}{l}AB=CB,\\\angle ABP=\angle CBQ,\\BP=BQ,\end{array}\right.$所以$\triangle ABP\cong\triangle CBQ(SAS)$,所以$AP=CQ$。
(2)$\triangle PQC$是直角三角形。理由如下:由$PA:PB:PC=3:4:5$,可设$PA=3a$,$PB=4a$,$PC=5a$。在$\triangle PBQ$中,由于$PB=BQ=4a$,且$\angle PBQ=60^{\circ}$,所以$\triangle PBQ$为等边三角形,所以$PQ=4a$。在$\triangle PQC$中,因为$PQ^{2}+QC^{2}=16a^{2}+9a^{2}=25a^{2}=PC^{2}$,所以$\triangle PQC$是直角三角形。
(1)$AP=CQ$。理由如下:因为$\angle ABP+\angle PBC=60^{\circ}$,$\angle CBQ+\angle PBC=60^{\circ}$,所以$\angle ABP=\angle CBQ$。在$\triangle ABP$和$\triangle CBQ$中,$\left\{\begin{array}{l}AB=CB,\\\angle ABP=\angle CBQ,\\BP=BQ,\end{array}\right.$所以$\triangle ABP\cong\triangle CBQ(SAS)$,所以$AP=CQ$。
(2)$\triangle PQC$是直角三角形。理由如下:由$PA:PB:PC=3:4:5$,可设$PA=3a$,$PB=4a$,$PC=5a$。在$\triangle PBQ$中,由于$PB=BQ=4a$,且$\angle PBQ=60^{\circ}$,所以$\triangle PBQ$为等边三角形,所以$PQ=4a$。在$\triangle PQC$中,因为$PQ^{2}+QC^{2}=16a^{2}+9a^{2}=25a^{2}=PC^{2}$,所以$\triangle PQC$是直角三角形。
