很多问题的解需要同时满足,这时我们可以按照某种顺序逐步满足这些条件,最终确定问题的答案。

多个条件

1. 除以8和9都余1的所有三位数之和是()。
A.6492
B.6565
C.7501
D.7574

A

除以8和9都余1的数可表示为$8×9k + 1=72k + 1$（$k$为整数）。
三位数范围：$100\leq72k + 1\leq999$，解得$\frac{99}{72}\leq k\leq\frac{998}{72}$，即$1.375\leq k\leq13.861$，$k$可取2到13的整数，共12个数。
这些数为$72×2 + 1=145$，$72×3 + 1=217$，...，$72×13 + 1=937$。
首项$a_1=145$，末项$a_n=937$，项数$n=12$。
和$S=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}=\frac{12×(145 + 937)}{2}=6492$
A

2. 某班在期末奖励活动中,购买了笔记本和签字笔作为奖品,其中笔记本的价格为每本3元,签字笔的价格为每支2元,买奖品一共花费了28元,则共有()种购买方案。
A.3
B.4
C.5
D.6

B

设购买笔记本$x$本，签字笔$y$支，其中$x$，$y$为正整数。
根据题意得：$3x + 2y = 28$
整理得：$y = \frac{28 - 3x}{2} = 14 - \frac{3x}{2}$
因为$y$为正整数，所以$\frac{3x}{2}$为整数，即$x$为偶数。
又因为$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，所以：
$14 - \frac{3x}{2} ＞ 0$
$\frac{3x}{2} ＜ 14$
$3x ＜ 28$
$x ＜ \frac{28}{3} \approx 9.33$
所以$x$可取的偶数为$2$，$4$，$6$，$8$。
当$x = 2$时，$y = 14 - \frac{3×2}{2} = 11$
当$x = 4$时，$y = 14 - \frac{3×4}{2} = 8$
当$x = 6$时，$y = 14 - \frac{3×6}{2} = 5$
当$x = 8$时，$y = 14 - \frac{3×8}{2} = 2$
共有$4$种购买方案。
B

3. 一个两位数被7除余1,如果交换它的十位数字与个位数字的位置,所得的两位数被7除也余1,那么这样的两位数有()。
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

C

设这个两位数的十位数字为$a$，个位数字为$b$，则原数为$10a + b$，交换后的数为$10b + a$。
由题意得：
$\begin{cases}10a + b = 7k + 1 & (k为整数) \\10b + a = 7m + 1 & (m为整数)\end{cases}$
两式相减：$9(a - b) = 7(k - m)$，即$7\mid9(a - b)$。
因为$7$和$9$互质，所以$7\mid(a - b)$，则$a - b = 0$或$\pm7$。
情况1：$a = b$
原数为$11a$，$11a = 7k + 1$，$a$为1-9的整数。
$a=1$时，$11÷7=1\cdots\cdots4$（余4，舍）；$a=2$时，$22÷7=3\cdots\cdots1$（符合）；$a=3$时，$33÷7=4\cdots\cdots5$（舍）；$a=4$时，$44÷7=6\cdots\cdots2$（舍）；$a=5$时，$55÷7=7\cdots\cdots6$（舍）；$a=6$时，$66÷7=9\cdots\cdots3$（舍）；$a=7$时，$77÷7=11\cdots\cdots0$（舍）；$a=8$时，$88÷7=12\cdots\cdots4$（舍）；$a=9$时，$99÷7=14\cdots\cdots1$（符合）。
得$22$，$99$。
情况2：$a - b = 7$
$a = b + 7$，$b$为0-2的整数（$a\leq9$）。
$b=0$时，$a=7$，原数$70$，$70÷7=10\cdots\cdots0$（舍）；$b=1$时，$a=8$，原数$81$，$81÷7=11\cdots\cdots4$（舍）；$b=2$时，$a=9$，原数$92$，$92÷7=13\cdots\cdots1$（符合）。
得$92$。
情况3：$b - a = 7$
$b = a + 7$，$a$为1-2的整数（$b\leq9$）。
$a=1$时，$b=8$，原数$18$，$18÷7=2\cdots\cdots4$（舍）；$a=2$时，$b=9$，原数$29$，$29÷7=4\cdots\cdots1$（符合）。
得$29$。
综上，符合条件的两位数为$22$，$29$，$92$，$99$，共4个。
C

4. 除以7余5,除以5余2,除以3余1的所有三位数中的最小正整数为。

187

设该数为$x$。
由除以7余5，得$x = 7k + 5$（$k$为整数）。
代入除以5余2：$7k + 5 \equiv 2 \pmod{5}$，$7k \equiv -3 \equiv 2 \pmod{5}$，$2k \equiv 2 \pmod{5}$，$k \equiv 1 \pmod{5}$，故$k = 5m + 1$，$x = 7(5m + 1) + 5 = 35m + 12$。
代入除以3余1：$35m + 12 \equiv 1 \pmod{3}$，$35m \equiv -11 \equiv 1 \pmod{3}$，$2m \equiv 1 \pmod{3}$，$m \equiv 2 \pmod{3}$，故$m = 3n + 2$，$x = 35(3n + 2) + 12 = 105n + 82$。
当$n = 1$时，$x = 105×1 + 82 = 187$。
187

5. 有5000多根牙签,可按六种规格分成小包,如果10根一包,那么最后还剩9根。如果9根一包,那么最后还剩8根。如果分别以8,7,6,5根为一包,那么最后分别剩7,6,5,4根,原来一共有牙签根。

5 039

牙签数加1能被5,6,7,8,9,10整除。5,6,7,8,9,10的最小公倍数为2520。设牙签数为2520k-1，k为正整数。当k=2时，2520×2-1=5039，符合5000多根。
5039

6. 某将军点一队士兵的人数,三人一组余两人,五人一组余三人,七人一组余四人,那么这队士兵至少有人。

53

三人一组余两人，即士兵人数可表示为$3a + 2$（$a$为非负整数）。
依次列举满足条件的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，44，47，50，53，…
五人一组余三人，即士兵人数可表示为$5b + 3$（$b$为非负整数）。
从上述数列中筛选出满足此条件的数：8，23，38，53，…
七人一组余四人，即士兵人数可表示为$7c + 4$（$c$为非负整数）。
从8，23，38，53，…中筛选出满足此条件的最小数为53。
53

7. 在$3□2□$的方框里填入合适的数字,使这个四位数能被15整除,这样的四位数中最大的是。

3 825

能被15整除的数需同时被3和5整除。
1. 被5整除，个位只能是0或5。
2. 当个位为5时，设百位为x，数字和为3+x+2+5=10+x，需被3整除。x最大为8（10+8=18），此时数为3825。
3. 当个位为0时，数字和为3+x+2+0=5+x，x最大为7（5+7=12），数为3720。
3825＞3720，最大四位数是3825。
3825

8. 【数学文化】幻方最早起源于我国,古人称之为纵横图。在如图所示的幻方中,每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等,则$x - y$的值为。

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