11. 如图所示放置的三角板,把三角板较长的直角边从水平状态开始,在平面上沿着直线 BC 转动一周,求 B 点转动的角度.

三角板沿着直线$BC$ 转动一周，相当于以点$B$为旋转中心，$AB$边绕点$B$旋转一周。
由于$\angle ABC = 90^{\circ}-30^{\circ}= 60^{\circ}$（直角三角形中，两个锐角互余，已知一个锐角为$30^{\circ}$，则另一个锐角为$60^{\circ}$），而转动一周为$360^{\circ}$。
所以$B$点转动的角度是$360^{\circ}$。
故答案为：$360^{\circ}$。

12. 如果两个角的差的绝对值等于 90°,就称这两个角互为垂角,例如,∠1 = 120°,∠2 = 30°,|∠1 - ∠2| = 90°,则∠1 和∠2 互为垂角(本题中所有角都是指大于 0°且小于 180°的角).
(1)如图,O 为直线 AB 上一点,OC 平分∠AOB,∠DOE = 90°,请直接写出图中所有互为垂角的角；
(2)若一个角的垂角等于这个角的补角的$\frac{2}{3}$,则这个角是多少度？

(1)∠AOE与∠AOD，∠AOD与∠COD，∠EOC与∠EOB，∠EOB与∠DOB；(2)$18^{\circ}$或$126^{\circ}$

(1)∠AOE与∠COD，∠BOE与∠AOD，∠AOD与∠BOE，∠COD与∠AOE
(2)设这个角的度数为$x$。
当$x＞90^{\circ}$时，垂角为$x - 90^{\circ}$，补角为$180^{\circ}-x$，则$x - 90^{\circ}=\frac{2}{3}(180^{\circ}-x)$，解得$x=126^{\circ}$。
当$x＜90^{\circ}$时，垂角为$90^{\circ}+x$，补角为$180^{\circ}-x$，则$90^{\circ}+x=\frac{2}{3}(180^{\circ}-x)$，解得$x=18^{\circ}$。
这个角是$18^{\circ}$或$126^{\circ}$

13. 如图①,将一副三角板的直角顶点 C 叠放在一起.
【观察分析】
(1)①若∠DCE = 35°,则∠ACB = °；
②若∠ACB = 150°,则∠DCE = °.
【猜想探究】
(2)请你猜想∠ACB 与∠DCE 有何关系,并说明理由.
∠ACB + ∠DCE = 180°
理由：
因为∠ACD = ∠BCE = 90°
∠ACB = ∠ACD + ∠BCE - ∠DCE = 180° - ∠DCE
所以∠ACB + ∠DCE = 180°
【拓展应用】
(3)如图②,若将两个同样的三角板的 60°角的顶点 A 重合在一起,请你猜想∠DAB 与∠EAC 有何关系,并说明理由.
∠DAB + ∠EAC = 120°
理由：
因为∠DAE = ∠BAC = 60°
∠DAB = ∠DAE + ∠BAC - ∠EAC = 120° - ∠EAC
所以∠DAB + ∠EAC = 120°
(4)如图③,如果把任意两个锐角∠AOB,∠COD 的顶点 O 重合在一起,已知∠AOB = α,∠COD = β(α,β 都是锐角),请你直接写出∠AOD 与∠BOC 的关系.

(1)①
因为∠ACD = ∠BCE = 90°，∠DCE = 35°
所以∠ACE = 90° - 35° = 55°
则∠ACB = ∠ACE + ∠BCE = 55° + 90° = 145°
(1)②
因为∠ACB = 150°，∠BCE = 90°
所以∠ACE = 150° - 90° = 60°
则∠DCE = 90° - 60° = 30°
(2)
∠ACB + ∠DCE = 180°
理由：
因为∠ACD = ∠BCE = 90°
∠ACB = ∠ACD + ∠BCE - ∠DCE = 180° - ∠DCE
所以∠ACB + ∠DCE = 180°
(3)
∠DAB + ∠EAC = 120°
理由：
因为∠DAE = ∠BAC = 60°
∠DAB = ∠DAE + ∠BAC - ∠EAC = 120° - ∠EAC
所以∠DAB + ∠EAC = 120°
(4)
∠AOD + ∠BOC = α + β