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1. (1) 如图 1,已知$△ ABC$,以$AB$、$AC$为边向$△ ABC$外作等边三角形$ABD$和等边三角形$ACE$,连接$BE$、$DC$.请你完成图形(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹),并判断$BE$与$DC$的大小关系:$BE$______$DC$.
(2) 如图 2,已知$△ ABC$,以$AB$、$AC$为边向外作正方形$ABFD$和正方形$ACGE$,连接$BE$、$DC$,$BE$与$DC$有什么数量关系?请说明理由.
(3) 运用(1)、(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图 3,要测量池塘两岸相对的两点$B$、$E$的距离.已经测得$∠ ABC=45°$,$∠ CAE=90°$,$AB=BC=100\ \mathrm{m}$,$AC=AE$,求$BE$的长.
(2) 如图 2,已知$△ ABC$,以$AB$、$AC$为边向外作正方形$ABFD$和正方形$ACGE$,连接$BE$、$DC$,$BE$与$DC$有什么数量关系?请说明理由.
(3) 运用(1)、(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图 3,要测量池塘两岸相对的两点$B$、$E$的距离.已经测得$∠ ABC=45°$,$∠ CAE=90°$,$AB=BC=100\ \mathrm{m}$,$AC=AE$,求$BE$的长.
答案
=
; 解：$(1)∵△ABD$和$△ACE$都是等边三角形，$ ∴AD=AB，$$AC=AE，$$∠BAD=∠CAE=60°$$ ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC$$ ∴∠CAD=∠EAB $在$△CAD$与$△EAB$中$ \begin{cases}{AD=AB } \\{∠CAD=∠EAB}\\{AC=AE } \end{cases} $$ ∴ △CAD≌△EAB$$ ∴BE=CD$
$ (2)BE=CD$∵四边形$ABFD$和四边形$ACGE$都是正方形$ ∴AD=AB，$$AC=AE，$$∠BAD=∠CAE=90°$$ ∴∠CAD=∠EAB$$ ∴ △CAD≌△EAB(\mathrm {SAS})$$ ∴BE=CD$$ (3)$过$A$做等腰直角三角形$ABD $$ ∴ ∠BAD=60°$则$AD=AB=100m，$$∠ABD=45°，$$ ∴BD=100\sqrt{2}\ \mathrm {m}，$连接$CD，$由$(2)$可得$BE=CD，$$∠ABC=45°，$$ ∴∠DBC=90°$在三角形$DBC$中，$BC=100m，$$BD=100\sqrt{2}\ \mathrm {m}，$$ ∴CD=100\sqrt{3}\ \mathrm {m}，$$BE=CD=100\sqrt{3}\ \mathrm {m}.$
2. (1)如图 1,在$△ ABC$中,$∠ A=30°,∠ C=90°$.求证:$BC=\frac{1}{2}AB$.
①请补全证明过程.
证明:如图 2.取 AB 的中点 D,连接 CD,则$BD=AD=\frac{1}{2}AB$.
在$△ ABC$中,$∠ C=90°,\therefore$ ______,$CD=BD$.
又$\because ∠ A=30°,\therefore ∠ B=90°-∠ A=60°$.
$\therefore △ BCD$为______三角形,$\therefore BC=BD=\frac{1}{2}AB$.
②请用文字概括①所证明的命题:______.
(2)如图 3,某三个城镇中心 D、E、F 恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处,在三个城镇中心之间铺设通信光缆,以城镇 D 为出发点设计了三种连接方案:
方案 1:$DE+EF$;
方案 2:$DG+EF$;($G$为$EF$的中点)
方案 3:$DO+OE+OF$.($O$为$△ DEF$三边的垂直平分线的交点)
①设$DE=60$,通过计算,比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短;
②不计算,比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短,并说明理由.
①请补全证明过程.
证明:如图 2.取 AB 的中点 D,连接 CD,则$BD=AD=\frac{1}{2}AB$.
在$△ ABC$中,$∠ C=90°,\therefore$ ______,$CD=BD$.
又$\because ∠ A=30°,\therefore ∠ B=90°-∠ A=60°$.
$\therefore △ BCD$为______三角形,$\therefore BC=BD=\frac{1}{2}AB$.
②请用文字概括①所证明的命题:______.
(2)如图 3,某三个城镇中心 D、E、F 恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处,在三个城镇中心之间铺设通信光缆,以城镇 D 为出发点设计了三种连接方案:
方案 1:$DE+EF$;
方案 2:$DG+EF$;($G$为$EF$的中点)
方案 3:$DO+OE+OF$.($O$为$△ DEF$三边的垂直平分线的交点)
①设$DE=60$,通过计算,比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短;
②不计算,比较三种连接方案中铺设的光缆长度的长短,并说明理由.
答案
$ CD=\frac {1}{2}AB$ ; 等边
; 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
; 解：(2)①方案1：$DE + EF = 60 + 60 = 120$。方案2：$∵\triangle DEF$是等边三角形，$∴DF = DE = 60$，$∠EDF = 60°$。$∵G$为$EF$的中点，$∴DG\perp EF$，$EG = GF = 30$，$∠EDG = ∠FDG = 30°$，$∴∠EGD = 90°$，$∴DG = \sqrt {DE^2-EG^2}=\sqrt {60^2-30^2} = 30\sqrt {3}$，$∴DG + EF = 30\sqrt {3}+60$。方案3：如图，延长$DO$交$EF$于点$H$。
$∵O$为$\triangle DEF$三边垂直平分线的交点，$∴OE = OF = OD$。$∵DE = DF$，$∴DH\perp EF$，$EH = FH = 30$，$∠EFO = ∠FEO = 30°$，$∴EO = 2OH$，$∴EH = \sqrt {EO^2-OH^2}=\sqrt {(2OH)^2-OH^2}=\sqrt {3}OH$，$∴OH = 10\sqrt {3}$，$OE = 20\sqrt {3}$，$∴OE + OF + OD = 60\sqrt {3}$。$∵60\sqrt {3}<30\sqrt {3}+60<120$，$∴$方案3最短，方案1最长。②设$DE = EF = DF = a$，计算方法同①。方案1：$DE + EF = 2a$。方案2：$DG + EF=\frac {\sqrt {3}}{2}a + a$。方案3：$DO + OE + OF=\sqrt {3}a$。$∵\sqrt {3}a<\frac {\sqrt {3}}{2}a + a<2a$，$∴$方案3最短，方案1最长。
