7. 如图，P 是等腰直角三角形 ABC 外一点，把 BP 绕点 B 按顺时针方向旋转 $90°$ 得到 $BP'$. 已知 $∠ AP'B = 135°$，$P'A:P'C = 1:3$，则 $P'A:PB$ 的值为 （ ）
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

B

8. (1)(2023·南通期末)将点$A(-4,3)$绕着原点顺时针旋转$90°$至点$A'$,则点$A'$的坐标是______;
(2)将点$P(0,\sqrt{2})$绕着原点$O$按逆时针方向旋转$135°$,则其对应点$P'$的坐标是______.

$(3,4)$ ; $(-1,-1)$

9. 如图,在$△ OAB$中,$∠ AOB=60°$,$OA=4$,点$B$的坐标为$(6,0)$,将$△ OAB$绕点$A$逆时针旋转得到$△ CAD$,当点$O$的对应点$C$落在$OB$上时,点$D$的坐标为$\underline{\hspace{5em}}$.

$(7,3\sqrt{3})$

10.（教材 P62 习题 23.1 第 4 题变式）如图，在每个小正方形的边长为 1 个单位长度的网格中，△ABC 的顶点均在格点（网格线的交点）上.
（1）将△ABC 向右平移 5 个单位长度得到△A₁B₁C₁，画出△A₁B₁C₁；
（2）将（1）中的△A₁B₁C₁绕点 C₁ 按逆时针方向旋转 90°得到△A₂B₂C₁，画出△A₂B₂C₁.

11. 将边长为 2 的正方形 OABC 按如图①所示的方式放置，O 为原点.
（1）将正方形 OABC 绕点 O 按逆时针方向旋转 $ 60° $（如图②），求点 A 的坐标；
（2）将图①中的正方形 OABC 绕点 O 按逆时针方向旋转 $ 75° $（如图③），求点 B 的坐标.

第11题

（1）解：由题意，得$AB = AO = 2，$$\angle OAB = 90^{\circ}。$如图①，过点$A$作$AD\perp x$轴于点$D，$则$\angle ADO = 90^{\circ}。$ 因为旋转角为$60^{\circ}，$所以$\angle AOD = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}。$ 所以$AD=\frac{1}{2}AO = 1。$ 所以$DO=\sqrt{AO^{2}-AD^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}。$ 所以点$A$的坐标为$(-\sqrt{3},1)。$ （2）解：如图②，连接$BO，$过点$B$作$BD\perp y$轴于点$D。$ 因为在正方形$OABC$中，$\angle AOB = 45^{\circ}，$又因为旋转角为$75^{\circ}，$所以$\angle BOD = 75^{\circ}-45^{\circ}=30^{\circ}。$ 因为$\angle OAB = 90^{\circ}，$$AB = AO = 2，$所以易得$BO = 2\sqrt{2}。$ 在$Rt\triangle BOD$中，$BD=\frac{1}{2}BO=\sqrt{2}。$ 所以$OD=\sqrt{BO^{2}-BD^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{8 - 2}=\sqrt{6}。$ 所以点$B$的坐标为$(-\sqrt{2},\sqrt{6})。$ ;