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1. 在半径为 $ R $ 的圆中，$ n^{\circ} $ 的圆心角所对的弧长的计算公式为
$ l = \frac{nπ R}{180} $
。答案
1. $ l = \frac{nπ R}{180} $
2. 如果扇形的半径为 $ R $，圆心角为 $ n^{\circ} $，那么扇形面积的计算公式为
$ S_{扇形} = \frac{nπ R^{2}}{360} $
，用弧长来表示扇形的面积是$ S_{扇形} = \frac{1}{2}lR $
。答案
2. $ S_{扇形} = \frac{nπ R^{2}}{360} $ $ S_{扇形} = \frac{1}{2}lR $
1. 在半径为 $ 3 \mathrm{ cm} $ 的 $ \odot O $ 中，$ 45^{\circ} $ 的圆心角所对的弧长为
$ \frac{3}{4}π \mathrm{ cm} $
。答案
1. $ \frac{3}{4}π \mathrm{ cm} $
2. 已知某扇形的圆心角为 $ 60^{\circ} $，半径为 $ 4 \mathrm{ cm} $，则该扇形的面积为
$ \frac{8}{3}π \mathrm{ cm}^{2} $
。答案
2. $ \frac{8}{3}π \mathrm{ cm}^{2} $
3. 一个扇形的圆心角为 $ 120^{\circ} $，面积为 $ 12π \mathrm{ cm}^2 $，则此扇形的半径为
$ 6 \mathrm{ cm} $
。答案
3. $ 6 \mathrm{ cm} $
4. 如图，阴影部分是两个半径为 $ 1 $ 的扇形，若 $ α = 120^{\circ} $，$ β = 60^{\circ} $，则大扇形与小扇形的面积之差为(
A.$ \dfrac{π}{3} $
B.$ \dfrac{π}{6} $
C.$ \dfrac{5π}{3} $
D.$ \dfrac{5π}{6} $
B
)。A.$ \dfrac{π}{3} $
B.$ \dfrac{π}{6} $
C.$ \dfrac{5π}{3} $
D.$ \dfrac{5π}{6} $
答案
4. B
5. 如图，三个小正方形的边长都为 $ 1 $，则图中阴影部分面积的和是
$ \frac{3π}{8} $
。（结果保留 $ π $）答案
5. $ \frac{3π}{8} $
6. 如图，半圆 $ O $ 的直径 $ AE = 4 $，点 $ B $，$ C $，$ D $ 均在半圆上，若 $ AB = BC $，$ CD = DE $，连接 $ OB $，$ OD $，则图中阴影部分的面积为
$ π $
。答案
6. $ π $
7. 如图，四边形 $ ABCD $ 是 $ \odot O $ 的内接四边形，$ ∠ ABC = 2∠ ADC $，连接 $ OA $，$ OB $，$ OC $，$ AC $，$ OB $ 与 $ AC $ 相交于点 $ E $。
（1）求 $ ∠ OCA $ 的度数；
（2）若 $ ∠ COB = 3∠ AOB $，$ OC = 2\sqrt{3} $，求图中阴影部分的面积（结果保留 $ π $ 和根号）。
（1）求 $ ∠ OCA $ 的度数；
（2）若 $ ∠ COB = 3∠ AOB $，$ OC = 2\sqrt{3} $，求图中阴影部分的面积（结果保留 $ π $ 和根号）。
答案
1. （1）
因为四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形的性质：$∠ ABC+∠ ADC = 180^{\circ}$。
又已知$∠ ABC = 2∠ ADC$，设$∠ ADC=x$，则$2x + x=180^{\circ}$，解得$x = 60^{\circ}$，所以$∠ ADC = 60^{\circ}$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的$2$倍，$∠ AOC=2∠ ADC$，所以$∠ AOC = 120^{\circ}$。
因为$OA = OC$（同圆半径相等），在$△ OAC$中，根据等腰三角形的性质$∠ OAC=∠ OCA$。
再根据三角形内角和定理$∠ OAC+∠ OCA+∠ AOC = 180^{\circ}$，设$∠ OCA=∠ OAC = y$，则$2y+120^{\circ}=180^{\circ}$。
解方程$2y=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$，得$y = 30^{\circ}$，所以$∠ OCA = 30^{\circ}$。
2. （2）
因为$∠ COB = 3∠ AOB$，且$∠ AOC=∠ AOB+∠ COB = 120^{\circ}$，设$∠ AOB = z$，则$z + 3z=120^{\circ}$，解得$z = 30^{\circ}$，所以$∠ COB = 90^{\circ}$。
已知$OC = 2\sqrt{3}$，因为$OB = OC = 2\sqrt{3}$（同圆半径相等）。
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^{2}}{360}$（$n$是圆心角度数，$r$是半径），$S_{扇形COB}=\frac{90π×(2\sqrt{3})^{2}}{360}$。
先计算$(2\sqrt{3})^{2}=12$，则$S_{扇形COB}=\frac{90π×12}{360}=3π$。
根据三角形面积公式$S_{△ COB}=\frac{1}{2}OC· OB$（因为$∠ COB = 90^{\circ}$），$S_{△ COB}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}$。
计算$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}=6$。
所以$S_{阴影}=S_{扇形COB}-S_{△ COB}=3π - 6$。
综上，（1）$∠ OCA = 30^{\circ}$；（2）阴影部分面积为$3π - 6$。
因为四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形的性质：$∠ ABC+∠ ADC = 180^{\circ}$。
又已知$∠ ABC = 2∠ ADC$，设$∠ ADC=x$，则$2x + x=180^{\circ}$，解得$x = 60^{\circ}$，所以$∠ ADC = 60^{\circ}$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的$2$倍，$∠ AOC=2∠ ADC$，所以$∠ AOC = 120^{\circ}$。
因为$OA = OC$（同圆半径相等），在$△ OAC$中，根据等腰三角形的性质$∠ OAC=∠ OCA$。
再根据三角形内角和定理$∠ OAC+∠ OCA+∠ AOC = 180^{\circ}$，设$∠ OCA=∠ OAC = y$，则$2y+120^{\circ}=180^{\circ}$。
解方程$2y=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$，得$y = 30^{\circ}$，所以$∠ OCA = 30^{\circ}$。
2. （2）
因为$∠ COB = 3∠ AOB$，且$∠ AOC=∠ AOB+∠ COB = 120^{\circ}$，设$∠ AOB = z$，则$z + 3z=120^{\circ}$，解得$z = 30^{\circ}$，所以$∠ COB = 90^{\circ}$。
已知$OC = 2\sqrt{3}$，因为$OB = OC = 2\sqrt{3}$（同圆半径相等）。
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^{2}}{360}$（$n$是圆心角度数，$r$是半径），$S_{扇形COB}=\frac{90π×(2\sqrt{3})^{2}}{360}$。
先计算$(2\sqrt{3})^{2}=12$，则$S_{扇形COB}=\frac{90π×12}{360}=3π$。
根据三角形面积公式$S_{△ COB}=\frac{1}{2}OC· OB$（因为$∠ COB = 90^{\circ}$），$S_{△ COB}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}$。
计算$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}=6$。
所以$S_{阴影}=S_{扇形COB}-S_{△ COB}=3π - 6$。
综上，（1）$∠ OCA = 30^{\circ}$；（2）阴影部分面积为$3π - 6$。
