11. 在学习阿基米德原理时，除了用实验的方式进行研究，还可以通过理论的方式进行研究，请你完成下列任务。
第一步：建立模型——选取浸没在液体中的长方体进行研究，如图 10-2-6 所示；
第二步：理论推导——利用浮力产生的原因推导阿基米德原理。
请写出推导过程。推导过程中所用物理量需要设定（可在图 10-2-6 中标出）。

解：设长方体的底面积为S、高为h，液体密度为$\rho_{液}$，长方体上表面所处深度为$h_{1}$，下表面所处深度为$h_{2}$。
由浮力产生的原因：$F_{浮}=F_{向上}-F_{向下}$
根据$p=\rho gh$和F=pS可得：
$ F_{向上}=p_{2}S=\rho_{液}gh_{2}S$
$ F_{向下}=p_{1}S=\rho_{液}gh_{1}S$
则$F_{浮}=\rho_{液}gh_{2}S-\rho_{液}gh_{1}S=\rho_{液}gS(h_{2}-h_{1})=\rho_{液}gV_{排}$
又因为$G_{排}=m_{排}g=\rho_{液}V_{排}g$，所以$F_{浮}=G_{排}$

【解析】
设长方体的底面积为$S$、高为$h$，液体密度为$\rho_{液}$，长方体上表面所处深度为$h_{1}$，下表面所处深度为$h_{2}$。
根据浮力产生的原因：$F_{浮}=F_{向上}-F_{向下}$
由液体压强公式$p=\rho gh$和压力公式$F=pS$可得：
$F_{向上}=p_{2}S=\rho_{液}gh_{2}S$
$F_{向下}=p_{1}S=\rho_{液}gh_{1}S$
则$F_{浮}=\rho_{液}gh_{2}S-\rho_{液}gh_{1}S=\rho_{液}gS(h_{2}-h_{1})=\rho_{液}gV_{排}$
又因为排开液体的重力$G_{排}=m_{排}g=\rho_{液}V_{排}g$，所以$F_{浮}=G_{排}$。
【答案】
$F_{浮}=G_{排}$
【知识点】
浮力产生原因、液体压强公式、阿基米德原理
【点评】
本题通过理论推导阿基米德原理，整合了浮力产生原因、液体压强公式等知识，考查对物理规律的综合运用能力，帮助理解阿基米德原理的本质。
【难度系数】
0.6

12. 在测量浮力的实验中，小明用弹簧测力计、烧杯、水、金属块 A、盐水以及不吸水的细线等器材完成了如图 10-2-7 所示的实验(水的密度用$\rho_{\mathrm{水}}$表示)。

(1)金属块 A 浸没在水中受到的浮力$F=$(用$F_{1}$、$F_{2}$表示)；
(2)推导出盐水的密度表达式$\rho_{\mathrm{盐水}}=$(用$F_{1}$、$F_{2}$、$F_{3}$、$\rho_{\mathrm{水}}$表示)。

$F_{1}-F_{2}$
$\frac{F_{1}-F_{3}}{F_{1}-F_{2}}\rho_{水}$

【解析】
(1) 根据称重法测浮力的原理，金属块在空气中时弹簧测力计示数为$F_{1}$（即金属块重力$G=F_{1}$），浸没在水中时示数为$F_{2}$，则浸没在水中受到的浮力$F=F_{1}-F_{2}$。
(2) 金属块浸没在盐水中时，受到的浮力$F_{\mathrm{盐}}=F_{1}-F_{3}$；
由阿基米德原理，金属块浸没在水中时：$F_{1}-F_{2}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排}}$，可得金属块的体积$V=V_{\mathrm{排}}=\frac{F_{1}-F_{2}}{\rho_{\mathrm{水}}g}$；
金属块浸没在盐水中时，$F_{1}-F_{3}=\rho_{\mathrm{盐水}}gV$，将$V=\frac{F_{1}-F_{2}}{\rho_{\mathrm{水}}g}$代入，整理得$\rho_{\mathrm{盐水}}=\frac{F_{1}-F_{3}}{F_{1}-F_{2}}\rho_{\mathrm{水}}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{F_{1}-F_{2}}$
(2) $\boldsymbol{\frac{F_{1}-F_{3}}{F_{1}-F_{2}}\rho_{水}}$
【知识点】
称重法测浮力、阿基米德原理
【点评】
本题考查称重法测浮力与阿基米德原理的综合应用，需理解浸没时物体体积与排开液体体积的关系，掌握公式的推导过程。
【难度系数】
0.6