1. 如图,铅球的出手点C距地面1 m,出手后的运动路线是抛物线,出手后4 s达到最大高度3 m,求铅球运行路线相应的函数表达式.

解：设铅球运行路线相应的函数表达式为$ h = a(t - 4)^2 + 3 $（$ a ≠ 0 $）。
将点$ C(0,1) $代入表达式，得：
$ 1 = a(0 - 4)^2 + 3 $
解得$ a = -\frac{1}{8} $。
因此，铅球运行路线相应的函数表达式为$ h = -\frac{1}{8}(t - 4)^2 + 3 $（或展开为$ h = -\frac{1}{8}t^2 + t + 1 $）。

2. 如图,某校的围墙上端由一段段相同的拱形栅栏组成,其拱形为抛物线的一部分,栅栏的跨径AB间按相同的间距0.2 m用5根立柱加固,拱高OC为0.6 m.试建立恰当的平面直角坐标系,求抛物线形栅栏相应的二次函数表达式.

解：以点O为原点，OC所在直线为y轴，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系。
由题意，AB的长度为$ 0.2 × 6 = 1.2 \, \mathrm{m} $，则点A的坐标为$ (0.6, 0.6) $，抛物线顶点为$ O(0,0) $。
设抛物线的二次函数表达式为$ y = ax^2 $（$ a ≠ 0 $），
将$ A(0.6, 0.6) $代入表达式：
$ 0.6 = a × (0.6)^2 $，
解得$ a = \frac{5}{3} $。
故抛物线形栅栏相应的二次函数表达式为$ \boldsymbol{y = \frac{5}{3}x^2} $。

3. 如图,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小都相同.正常水位时,大孔水面宽度$AB=20$ m,顶点M距水面6 m(即$MO=6$ m),小孔顶点N距水面4.5 m(即$NC=4.5$ m).当水位上涨至刚好淹没小孔时,借助平面直角坐标系,求此时大孔的水面宽度EF.

解：
设大孔所在抛物线的解析式为$ y = ax^2 + 6 $。
由题意知，点$ A(-10, 0) $在抛物线上，代入得：
$ 0 = a×(-10)^2 + 6 $
解得$ a = -\frac{3}{50} $，
因此大孔抛物线的解析式为$ y = -\frac{3}{50}x^2 + 6 $。
当水位上涨至淹没小孔时，水面高度为$ 4.5 \, \mathrm{m} $，即$ y = 4.5 $，代入解析式：
$ 4.5 = -\frac{3}{50}x^2 + 6 $
移项得：$ -\frac{3}{50}x^2 = 4.5 - 6 $
即$ -\frac{3}{50}x^2 = -1.5 $
两边同乘$ -\frac{50}{3} $得：$ x^2 = 25 $
解得$ x = \pm 5 $。
所以点$ E(-5, 4.5) $，点$ F(5, 4.5) $，
则$ EF = 5 - (-5) = 10 \, \mathrm{m} $。
答：此时大孔的水面宽度$ EF $为10 m。

4. 一条隧道的截面可近似看作由抛物线形和长方形构成,长方形的长为8 m,宽为2 m,隧道最高点P位于AB的中央且距地面6 m,建立如图所示的平面直角坐标系.
(1) 求该抛物线相应的函数表达式.
(2) 高为4 m、宽为2 m的货车能否安全通过该隧道? 为什么?

解：
(1) 根据题意，得点$ A(0,2) $，$ B(8,2) $，抛物线顶点$ P(4,6) $。
设抛物线的函数表达式为$ y = a(x-4)^2 + 6 $，
将点$ A(0,2) $代入表达式：
$ 2 = a(0-4)^2 + 6 $
解得$ a = -\frac{1}{4} $，
因此，抛物线的函数表达式为$ y = -\frac{1}{4}(x-4)^2 + 6 $（或整理为$ y = -\frac{1}{4}x^2 + 2x + 2 $）。
(2) 当货车高度为4m时，令$ y = 4 $，代入抛物线表达式：
$ 4 = -\frac{1}{4}(x-4)^2 + 6 $
整理得：$ (x-4)^2 = 8 $
解得$ x_1 = 4 + 2\sqrt{2} $，$ x_2 = 4 - 2\sqrt{2} $，
则此时隧道的水平宽度为$ x_1 - x_2 = 4\sqrt{2} \approx 5.66 \, \mathrm{m} $，
因为$ 5.66 ＞ 2 $，所以高为4m、宽为2m的货车能安全通过该隧道。