一、选择题
1. 方程 $(x + 1)(x - 3) = 5$ 的根是()。
A.$x_1 = 1$，$x_2 = -3$
B.$x_1 = 4$，$x_2 = -2$
C.$x_1 = -1$，$x_2 = 3$
D.$x_1 = -4$，$x_2 = 2$

1. B

展开方程左边：$(x + 1)(x - 3) = x^2 - 2x - 3$，原方程化为$x^2 - 2x - 3 = 5$，移项得$x^2 - 2x - 8 = 0$，因式分解为$(x - 4)(x + 2) = 0$，解得$x_1 = 4$，$x_2 = -2$。B

2. 方程 $x(x + 1) = 3(x + 1)$ 的根是()。

A.$x = -1$
B.$x = 3$
C.$x_1 = 3$，$x_2 = -1$
D.$x_1 = 0$，$x_2 = -1$

2. C

$x(x + 1) = 3(x + 1)$
$x(x + 1) - 3(x + 1) = 0$
$(x + 1)(x - 3) = 0$
$x + 1 = 0$或$x - 3 = 0$
$x_1 = -1$，$x_2 = 3$
C

3. 解方程 $2(5x - 1)^2 = 3(5x - 1)$ 的最简便的方法是()。

A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法

3. D

【分析】
要判断最简便的解方程方法，需先分析方程的结构特点：方程左右两边都含有公因式$(5x - 1)$。我们可以对比各方法的适用场景：直接开平方法适用于形如$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的方程；配方法需将方程整理为完全平方式，步骤较多；公式法需先把方程化为一般式，再代入求根公式计算，计算量较大；而因式分解法针对有公因式或能因式分解的方程，步骤更简洁。对于本题，移项后提取公因式即可快速分解求解，因此最简便的是因式分解法。
【解析】
观察方程$2(5x - 1)^2 = 3(5x - 1)$，其结构特点是两边都含有因式$(5x - 1)$：
1. 移项得：$2(5x - 1)^2 - 3(5x - 1) = 0$；
2. 提取公因式$(5x - 1)$，可得：$(5x - 1)[2(5x - 1) - 3] = 0$；
3. 化简后可直接得到方程的解，步骤简洁高效。
对比其他方法：
直接开平方法：方程右边不是常数，不满足直接开平方的条件；
配方法：需要先展开方程再配方，操作步骤繁琐；
公式法：需将方程化为一般式后代入求根公式，计算量较大。
因此最简便的方法是因式分解法，选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解方程，一元二次方程解法选择
【点评】
本题考查一元二次方程解法的选择，解题核心是根据方程的结构特征，优先选择步骤最少、计算最简便的方法。当方程两边含有相同因式时，因式分解法通常是最优选择。
【难度系数】
0.8

二、填空题
4. 方程 $(\sqrt{3}x - 2)(\sqrt{5}x + \sqrt{3}) = 0$ 的根为。

4. $ x _ { 1 } = \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } $，$ x _ { 2 } = - \frac { \sqrt { 15 } } { 5 } $

【分析】
要解这个方程，我们可以利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的零乘积原理，将原一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解这两个方程，最后对结果进行分母有理化处理，即可得到方程的根。
【解析】
根据零乘积原理，若$(\sqrt{3}x - 2)(\sqrt{5}x + \sqrt{3}) = 0$，则：
1. 令$\sqrt{3}x - 2 = 0$，
移项得：$\sqrt{3}x = 2$，
两边同时除以$\sqrt{3}$并分母有理化：
$x = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} × \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$；
2. 令$\sqrt{5}x + \sqrt{3} = 0$，
移项得：$\sqrt{5}x = -\sqrt{3}$，
两边同时除以$\sqrt{5}$并分母有理化：
$x = \frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{-\sqrt{3} × \sqrt{5}}{\sqrt{5} × \sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{15}}{5}$。
【答案】
$x _ { 1 } = \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } $，$ x _ { 2 } = - \frac { \sqrt { 15 } } { 5 } $
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、分母有理化
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程，核心是利用零乘积原理将高次方程降为低次方程求解，同时需掌握分母有理化的方法，确保结果化为最简二次根式形式，题目注重基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8

5. 关于 $x$ 的一元二次方程 $(m + 2)x^2 + x - m^2 - 5m - 6 = 0$ 有一个根为 $0$，则 $m =$。

5. $-3$

解：将$x=0$代入方程$(m + 2)x^2 + x - m^2 - 5m - 6 = 0$，得：
$-m^2 - 5m - 6 = 0$
即$m^2 + 5m + 6 = 0$
因式分解得$(m + 2)(m + 3) = 0$
解得$m_1 = -2$，$m_2 = -3$
因为方程是一元二次方程，所以$m + 2 ≠ 0$，即$m ≠ -2$
所以$m = -3$
$-3$

6. 已知 $xy ＞ 0$，且 $x^2 - 2xy - 3y^2 = 0$，则 $\frac{x}{y} =$。

6. $3$

设$\frac{x}{y} = k$，则$x = ky$。
将$x = ky$代入$x^2 - 2xy - 3y^2 = 0$，得：
$(ky)^2 - 2(ky)y - 3y^2 = 0$
$k^2y^2 - 2ky^2 - 3y^2 = 0$
因为$xy ＞ 0$，所以$y ≠ 0$，等式两边同时除以$y^2$：
$k^2 - 2k - 3 = 0$
因式分解得$(k - 3)(k + 1) = 0$
解得$k = 3$或$k = -1$
又因为$xy ＞ 0$，所以$x$与$y$同号，即$k = \frac{x}{y} ＞ 0$，故$k = -1$舍去。
所以$\frac{x}{y} = 3$

三、解答题
7. 用因式分解法解下列方程：
(1) $5x^2 = 4x$；
(2) $x^2 + x - 42 = 0$；
(3) $3x^2 + 8x - 3 = 0$；
(4) $3(x - 2)^2 + x(2 - x) = 0$。

7. (1) $ x _ { 1 } = \frac { 4 } { 5 } $，$ x _ { 2 } = 0 $ (2) $ x _ { 1 } = - 7 $，$ x _ { 2 } = 6 $ (3) $ x _ { 1 } = \frac { 1 } { 3 } $，$ x _ { 2 } = - 3 $ (4) $ x _ { 1 } = 3 $，$ x _ { 2 } = 2 $

(1) $5x^2 - 4x = 0$，$x(5x - 4) = 0$，$x = 0$或$5x - 4 = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = \frac{4}{5}$；
(2) $(x + 7)(x - 6) = 0$，$x + 7 = 0$或$x - 6 = 0$，解得$x_1 = -7$，$x_2 = 6$；
(3) $(3x - 1)(x + 3) = 0$，$3x - 1 = 0$或$x + 3 = 0$，解得$x_1 = \frac{1}{3}$，$x_2 = -3$；
(4) $3(x - 2)^2 - x(x - 2) = 0$，$(x - 2)(3(x - 2) - x) = 0$，$(x - 2)(2x - 6) = 0$，$x - 2 = 0$或$2x - 6 = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = 3$。