6. 设 $n$ 为正整数，试说明：$5^{2}×3^{2n + 1}×2^{n}-6^{2}×3^{n}×6^{n}$ 能被 $13$ 整除。

要说明$5^{2}×3^{2n + 1}×2^{n}-6^{2}×3^{n}×6^{n}$能被13整除，步骤如下：
1. 化简第一项：
$5^{2}×3^{2n + 1}×2^{n}=25×3×3^{2n}×2^{n}=75×(3^{2})^{n}×2^{n}=75×9^{n}×2^{n}=75×(9×2)^{n}=75×18^{n}$。
2. 化简第二项：
$6^{2}×3^{n}×6^{n}=36×3^{n}×6^{n}=36×(3×6)^{n}=36×18^{n}$。
3. 原式变形为：
$75×18^{n}-36×18^{n}=18^{n}×(75 - 36)=18^{n}×39$。
4. 因$39=13×3$，故原式$=18^{n}×13×3$。
由于$n$为正整数，$18^{n}×3$是整数，所以原式是13的整数倍，即能被13整除。
结论：该式能被13整除。

7. 已知 $a ＞ b ＞ c$，$M = a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a$，$N = ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}$，试判断 $M$ 与 $N$ 的大小关系。

$M - N = a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a - ab^{2} - bc^{2} - ca^{2}$
$= a^{2}(b - c) + a(c^{2} - b^{2}) + bc(b - c)$
$= a^{2}(b - c) - a(b^{2} - c^{2}) + bc(b - c)$
$= a^{2}(b - c) - a(b + c)(b - c) + bc(b - c)$
$= (b - c)(a^{2} - a(b + c) + bc)$
$= (b - c)(a^{2} - ab - ac + bc)$
$= (b - c)(a(a - b) - c(a - b))$
$= (b - c)(a - b)(a - c)$
因为$a ＞ b ＞ c$，
所以$b - c ＞ 0$，$a - b ＞ 0$，$a - c ＞ 0$，
所以$(b - c)(a - b)(a - c) ＞ 0$，
即$M - N ＞ 0$，
所以$M ＞ N$。

8. 如图所示，将一张长方形纸板按图中的虚线裁剪成 $16$ 块，其中①、②、③都剪成边长为 $a$ 的大正方形，④、⑤、⑥都剪成边长为 $b$ 的小正方形，剩下的都剪成长、宽分别为 $a$，$b$ 的小长方形。
(1) 先观察图形，再分解因式：$3a^{2}+10ab + 3b^{2}=$。
(2) 若每块小长方形的面积为 $10\mathrm{cm}^{2}$，六块正方形的面积之和为 $87\mathrm{cm}^{2}$，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和。

(1) $(3a + b)(a + 3b)$；(2) $84\mathrm{cm}$

(1) $(3a + b)(a + 3b)$
(2) 由题意得：$ab = 10$，$3a^2 + 3b^2 = 87$，则$a^2 + b^2 = 29$。
$\because (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 29 + 20 = 49$，$\therefore a + b = 7$（$a,b＞0$）。
$\because (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 29 - 20 = 9$，$\therefore a - b = 3$（$a ＞ b$）。
联立$\begin{cases}a + b = 7 \\ a - b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 5 \\ b = 2\end{cases}$。
长方形纸板长为$3a + b = 17\mathrm{cm}$，宽为$a + 3b = 11\mathrm{cm}$。
横向虚线3条，总长$3 × 11 = 33\mathrm{cm}$；纵向虚线3条，总长$3 × 17 = 51\mathrm{cm}$。
所有裁剪线长度之和为$33 + 51 = 84\mathrm{cm}$。