登录
1.有下列四种现象:①用两颗钉子把木条固定在墙上;②植树时,只要确定两棵树的位置,就能确定同一行树所在的直线;③从A地到B地架设电线,总是尽可能地沿着线段AB架设;④把弯曲的公路改直,就能缩短路程。其中,可以用“两点之间,线段最短”来解释的现象是（填序号）。
答案
解：
①用两颗钉子把木条固定在墙上，依据的是“两点确定一条直线”；
②植树时，确定两棵树的位置就能确定同一行树所在的直线，依据的是“两点确定一条直线”；
③从A地到B地尽可能沿着线段AB架设电线，是为了让电线的长度最短，可以用“两点之间，线段最短”解释；
④把弯曲的公路改直就能缩短路程，可以用“两点之间，线段最短”解释。
所以符合要求的是③④。
①用两颗钉子把木条固定在墙上，依据的是“两点确定一条直线”；
②植树时，确定两棵树的位置就能确定同一行树所在的直线，依据的是“两点确定一条直线”；
③从A地到B地尽可能沿着线段AB架设电线，是为了让电线的长度最短，可以用“两点之间，线段最短”解释；
④把弯曲的公路改直就能缩短路程，可以用“两点之间，线段最短”解释。
所以符合要求的是③④。
解析
【分析】
解题时首先要明确“两点确定一条直线”和“两点之间，线段最短”两个基本事实的区别：前者用于解释确定直线位置、固定物体的相关现象，后者用于解释缩短路径、减少长度的相关现象。接下来逐一分析四个现象对应的原理，筛选出符合“两点之间，线段最短”的现象即可。
【解析】
①用两颗钉子把木条固定在墙上，依据的是“两点确定一条直线”，不符合要求；
②植树时，确定两棵树的位置就能确定同一行树所在的直线，依据的是“两点确定一条直线”，不符合要求；
③从A地到B地尽可能沿着线段AB架设电线，目的是缩短电线长度，可用“两点之间，线段最短”解释，符合要求；
④把弯曲的公路改直就能缩短路程，可用“两点之间，线段最短”解释，符合要求。
综上，符合要求的是③④。
【答案】
③④
【知识点】
两点之间线段最短；两点确定一条直线
【点评】
本题考查线段和直线的基本事实的实际应用，解题关键是区分两个基本事实的适用场景，结合生活实例理解原理即可快速解题，注意不要混淆两个基本事实的应用范围。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确“两点确定一条直线”和“两点之间，线段最短”两个基本事实的区别：前者用于解释确定直线位置、固定物体的相关现象，后者用于解释缩短路径、减少长度的相关现象。接下来逐一分析四个现象对应的原理，筛选出符合“两点之间，线段最短”的现象即可。
【解析】
①用两颗钉子把木条固定在墙上，依据的是“两点确定一条直线”，不符合要求；
②植树时，确定两棵树的位置就能确定同一行树所在的直线，依据的是“两点确定一条直线”，不符合要求；
③从A地到B地尽可能沿着线段AB架设电线，目的是缩短电线长度，可用“两点之间，线段最短”解释，符合要求；
④把弯曲的公路改直就能缩短路程，可用“两点之间，线段最短”解释，符合要求。
综上，符合要求的是③④。
【答案】
③④
【知识点】
两点之间线段最短；两点确定一条直线
【点评】
本题考查线段和直线的基本事实的实际应用，解题关键是区分两个基本事实的适用场景，结合生活实例理解原理即可快速解题，注意不要混淆两个基本事实的应用范围。
【难度系数】
0.9
2.如图，已知线段$AC=12$，延长线段$CA$至点$B$，使得$AB=\frac{2}{3}AC$，则线段$BC$的长是。
答案
$\boldsymbol{20}$
解析
【分析】
解题时先明确线段的位置关系：点B在CA的延长线上，因此BC的长度为AC与AB的长度之和。首先根据AB与AC的数量关系求出AB的长度，再将AC和AB的长度相加，即可得到BC的长度。
【解析】
已知线段$AC=12$，
由$AB=\frac{2}{3}AC$，代入数值计算得：$AB=\frac{2}{3}×12=8$，
因为点B在CA的延长线上，所以$BC=AC+AB=12+8=20$。
【答案】
$\boldsymbol{20}$
【知识点】
线段的和差计算，线段长度计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查线段和差的应用，解题的关键是理清各线段的位置和数量关系，计算量较小，认真审题即可正确解答。
【难度系数】
0.9
解题时先明确线段的位置关系：点B在CA的延长线上，因此BC的长度为AC与AB的长度之和。首先根据AB与AC的数量关系求出AB的长度，再将AC和AB的长度相加，即可得到BC的长度。
【解析】
已知线段$AC=12$，
由$AB=\frac{2}{3}AC$，代入数值计算得：$AB=\frac{2}{3}×12=8$，
因为点B在CA的延长线上，所以$BC=AC+AB=12+8=20$。
【答案】
$\boldsymbol{20}$
【知识点】
线段的和差计算，线段长度计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查线段和差的应用，解题的关键是理清各线段的位置和数量关系，计算量较小，认真审题即可正确解答。
【难度系数】
0.9
3.如图，C是线段AB上一点，M，N分别是线段AC，BC的中点。若AB=16，则线段MN=。
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
【分析】
解题时先结合线段中点的性质，明确中点分线段所得的两条线段长度等于原线段的一半；再观察图形可知线段MN由MC和CN两部分组成，将MC、CN分别用AC、BC表示，再结合AC+BC=AB，即可把MN和已知的AB建立联系，进而求出MN的长度。
【解析】
∵ M是线段AC的中点，
∴ $MC = \frac{1}{2}AC$，
∵ N是线段BC的中点，
∴ $CN = \frac{1}{2}BC$，
由图可知 $MN = MC + CN$，
代入得：
$MN = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AC + BC)$，
又
∵ $AC + BC = AB = 16$，
∴ $MN = \frac{1}{2} × 16 = 8$。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，核心是利用线段中点的性质转化线段长度关系，通过整体代入的思路将未知线段转化为已知线段的相关表达式即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时先结合线段中点的性质，明确中点分线段所得的两条线段长度等于原线段的一半；再观察图形可知线段MN由MC和CN两部分组成，将MC、CN分别用AC、BC表示，再结合AC+BC=AB，即可把MN和已知的AB建立联系，进而求出MN的长度。
【解析】
∵ M是线段AC的中点，
∴ $MC = \frac{1}{2}AC$，
∵ N是线段BC的中点，
∴ $CN = \frac{1}{2}BC$，
由图可知 $MN = MC + CN$，
代入得：
$MN = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AC + BC)$，
又
∵ $AC + BC = AB = 16$，
∴ $MN = \frac{1}{2} × 16 = 8$。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，核心是利用线段中点的性质转化线段长度关系，通过整体代入的思路将未知线段转化为已知线段的相关表达式即可求解。
【难度系数】
0.8
4.已知A,B,C都是直线$ l $上的点，且$ AB=8 \ \mathrm{cm}, BC=5 \ \mathrm{cm} $，那么点A与点C之间的距离为 cm。
答案
解：分两种情况讨论：
1. 当点C在线段AB的延长线上时，
$ AC = AB + BC = 8 + 5 = 13\ \mathrm{cm} $
2. 当点C在线段AB上时，
$ AC = AB - BC = 8 - 5 = 3\ \mathrm{cm} $
综上，点A与点C之间的距离为$\boldsymbol{13}$或$\boldsymbol{3}$ cm。
1. 当点C在线段AB的延长线上时，
$ AC = AB + BC = 8 + 5 = 13\ \mathrm{cm} $
2. 当点C在线段AB上时，
$ AC = AB - BC = 8 - 5 = 3\ \mathrm{cm} $
综上，点A与点C之间的距离为$\boldsymbol{13}$或$\boldsymbol{3}$ cm。
解析
【分析】
已知A、B、C是同一直线上的三点，题目未明确三点的排列顺序，因此需要分情况讨论点C的位置：①点C在线段AB的延长线上，此时AC为AB与BC的和；②点C在线段AB上，此时AC为AB与BC的差，分别计算两种情况的结果即可得到答案。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点C在线段AB的延长线上时，
$AC = AB + BC = 8 + 5 = 13\ \mathrm{cm}$
2. 当点C在线段AB上时，
$AC = AB - BC = 8 - 5 = 3\ \mathrm{cm}$
综上，点A与点C之间的距离为3或13 cm。
【答案】3或13
【知识点】
线段和差计算、分类讨论思想、两点间的距离
【点评】
本题是线段计算的常考题型，易错点是遗漏点C的位置情况导致漏解，解题时要结合题意全面梳理共线点的所有可能位置，分类讨论做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
已知A、B、C是同一直线上的三点，题目未明确三点的排列顺序，因此需要分情况讨论点C的位置：①点C在线段AB的延长线上，此时AC为AB与BC的和；②点C在线段AB上，此时AC为AB与BC的差，分别计算两种情况的结果即可得到答案。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点C在线段AB的延长线上时，
$AC = AB + BC = 8 + 5 = 13\ \mathrm{cm}$
2. 当点C在线段AB上时，
$AC = AB - BC = 8 - 5 = 3\ \mathrm{cm}$
综上，点A与点C之间的距离为3或13 cm。
【答案】3或13
【知识点】
线段和差计算、分类讨论思想、两点间的距离
【点评】
本题是线段计算的常考题型，易错点是遗漏点C的位置情况导致漏解，解题时要结合题意全面梳理共线点的所有可能位置，分类讨论做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
5.如图，$AB=18\ \mathrm{cm}$，$M$是线段$AB$的中点，点$C$把线段$MB$分成$MC:CB=2:1$的两部分，求线段$AC$的长。
答案
解：
因为M是线段AB的中点，$AB=18\ \mathrm{cm}$，
所以$AM = MB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 18 = 9\ \mathrm{cm}$。
又因为$MC:CB = 2:1$，且$MC + CB = MB$，
所以$MC = \frac{2}{2+1}MB = \frac{2}{3} × 9 = 6\ \mathrm{cm}$。
因此$AC = AM + MC = 9 + 6 = 15\ \mathrm{cm}$。
答：线段$AC$的长为$15\ \mathrm{cm}$。
因为M是线段AB的中点，$AB=18\ \mathrm{cm}$，
所以$AM = MB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 18 = 9\ \mathrm{cm}$。
又因为$MC:CB = 2:1$，且$MC + CB = MB$，
所以$MC = \frac{2}{2+1}MB = \frac{2}{3} × 9 = 6\ \mathrm{cm}$。
因此$AC = AM + MC = 9 + 6 = 15\ \mathrm{cm}$。
答：线段$AC$的长为$15\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
要求线段AC的长度，观察图形可得$AC=AM+MC$，因此需要先分别求出AM和MC的长度：首先利用线段中点的性质，由M是AB中点求出AM、MB的长度；再根据MC和CB的比例关系，结合MB的长度求出MC的长度；最后将AM和MC相加即可得到AC的长。
【解析】
因为M是线段AB的中点，$AB=18\ \mathrm{cm}$，
所以$AM = MB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 18 = 9\ \mathrm{cm}$。
又因为$MC:CB = 2:1$，且$MC + CB = MB$，
所以$MC = \frac{2}{2+1}MB = \frac{2}{3} × 9 = 6\ \mathrm{cm}$。
因此$AC = AM + MC = 9 + 6 = 15\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boxed{15\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差计算；线段的比例分配
【点评】
本题是线段长度计算的基础题型，解题核心是理清各线段之间的位置与数量关系，结合中点性质和比例关系分步推导即可，主要考查对线段相关基础概念的掌握和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
要求线段AC的长度，观察图形可得$AC=AM+MC$，因此需要先分别求出AM和MC的长度：首先利用线段中点的性质，由M是AB中点求出AM、MB的长度；再根据MC和CB的比例关系，结合MB的长度求出MC的长度；最后将AM和MC相加即可得到AC的长。
【解析】
因为M是线段AB的中点，$AB=18\ \mathrm{cm}$，
所以$AM = MB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 18 = 9\ \mathrm{cm}$。
又因为$MC:CB = 2:1$，且$MC + CB = MB$，
所以$MC = \frac{2}{2+1}MB = \frac{2}{3} × 9 = 6\ \mathrm{cm}$。
因此$AC = AM + MC = 9 + 6 = 15\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boxed{15\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差计算；线段的比例分配
【点评】
本题是线段长度计算的基础题型，解题核心是理清各线段之间的位置与数量关系，结合中点性质和比例关系分步推导即可，主要考查对线段相关基础概念的掌握和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
6. 提升题▶已知线段$AB=14\ \mathrm{cm}$，在直线$AB$上有一点$C$，且$BC=4\ \mathrm{cm}$，$M$是线段$AC$的中点，求线段$AM$的长。
答案
解：分两种情况讨论：
① 当点C在线段AB上时：
$AC = AB - BC = 14 - 4 = 10\ \mathrm{cm}$
∵ M是线段AC的中点
∴ $AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 10 = 5\ \mathrm{cm}$
② 当点C在线段AB的延长线上时：
$AC = AB + BC = 14 + 4 = 18\ \mathrm{cm}$
∵ M是线段AC的中点
∴ $AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 18 = 9\ \mathrm{cm}$
答：线段AM的长为5 cm或9 cm。
① 当点C在线段AB上时：
$AC = AB - BC = 14 - 4 = 10\ \mathrm{cm}$
∵ M是线段AC的中点
∴ $AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 10 = 5\ \mathrm{cm}$
② 当点C在线段AB的延长线上时：
$AC = AB + BC = 14 + 4 = 18\ \mathrm{cm}$
∵ M是线段AC的中点
∴ $AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 18 = 9\ \mathrm{cm}$
答：线段AM的长为5 cm或9 cm。
解析
【分析】
题目中点C在直线AB上，直线可向两端无限延伸，因此点C的位置存在两种可能：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上。解题时需先对两种情况分别讨论，计算对应情况下线段AC的长度，再结合线段中点的性质，即可求出AM的长度，注意不要漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点C在线段AB上时：
$AC = AB - BC = 14 - 4 = 10\ \mathrm{cm}$
∵ M是线段AC的中点
∴ $AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 10 = 5\ \mathrm{cm}$
② 当点C在线段AB的延长线上时：
$AC = AB + BC = 14 + 4 = 18\ \mathrm{cm}$
∵ M是线段AC的中点
∴ $AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 18 = 9\ \mathrm{cm}$
【答案】
5 cm或9 cm
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是线段长度计算的典型题型，易错点是忽略“点在直线上”隐含的多种位置情况，导致漏解。解题时需仔细审题，明确点的位置范围，合理分类讨论后再计算。
【难度系数】
0.6
题目中点C在直线AB上，直线可向两端无限延伸，因此点C的位置存在两种可能：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上。解题时需先对两种情况分别讨论，计算对应情况下线段AC的长度，再结合线段中点的性质，即可求出AM的长度，注意不要漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点C在线段AB上时：
$AC = AB - BC = 14 - 4 = 10\ \mathrm{cm}$
∵ M是线段AC的中点
∴ $AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 10 = 5\ \mathrm{cm}$
② 当点C在线段AB的延长线上时：
$AC = AB + BC = 14 + 4 = 18\ \mathrm{cm}$
∵ M是线段AC的中点
∴ $AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 18 = 9\ \mathrm{cm}$
【答案】
5 cm或9 cm
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是线段长度计算的典型题型，易错点是忽略“点在直线上”隐含的多种位置情况，导致漏解。解题时需仔细审题，明确点的位置范围，合理分类讨论后再计算。
【难度系数】
0.6
