6.（跨学科）照相机成像应用了一个重要原理，用公式$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}(v≠f)$表示，其中$f$表示照相机镜头的焦距，$u$表示物体到镜头的距离，$v$表示胶片（像）到镜头的距离. 已知$f$，$v$，则$u=$.

6. $\frac{fv}{v-f}$

【分析】
本题需要将$f$、$v$看作已知数，把$u$当作未知数，对给出的分式公式进行变形求解。解题思路为：首先将含$u$的项单独移到等式的一侧，再对另一侧的分式通分做加减运算，最后结合$v≠f$的条件取倒数，即可得到$u$的表达式。
【解析】
已知公式 $\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}\ (v≠f)$，求解$u$的步骤如下：
1. 移项，将不含$u$的项移到等式左侧，得：
$\frac{1}{u} = \frac{1}{f} - \frac{1}{v}$
2. 对右侧的分式通分，最简公分母为$fv$，计算得：
$\frac{1}{u} = \frac{v}{fv} - \frac{f}{fv} = \frac{v - f}{fv}$
3. 因$v≠f$，右侧分式分母不为0，等式两边同时取倒数，得：
$u = \frac{fv}{v - f}$
【答案】
$\frac{fv}{v-f}$
【知识点】
分式的加减运算；公式变形；倒数运算
【点评】
本题属于跨学科融合的基础题，结合物理照相机成像原理考查分式的基本运算，核心是掌握分式通分、加减的规则和公式变形的方法，计算时注意不要把分子分母的顺序写反。
【难度系数】
0.9

7. 若$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1(a+b≠0)$，则$\frac{a+ab}{a+b}$的值为

7. 2

【分析】
本题无法直接求出a、b的具体数值，因此考虑用整体代入的方法求解：第一步先处理已知的分式等式，利用分式的基本性质，给等式两边同乘最简公分母ab，消去分母得到a、b与ab的整式关系；第二步将得到的整式关系整体代入所求的分式中，合并同类项后，结合题目给出的a+b≠0的条件约分，即可得到结果。
【解析】
已知$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$，由分式有意义的条件得$a≠0$，$b≠0$，给等式两边同时乘$ab$得：
$2b + a = ab$
将$ab = a + 2b$代入$\frac{a+ab}{a+b}$得：
$\begin{aligned}\frac{a+ab}{a+b}&=\frac{a+(a+2b)}{a+b}\\&=\frac{2a+2b}{a+b}\\&=\frac{2(a+b)}{a+b}\end{aligned}$
$\because a+b≠0$，$\therefore$约分后得$\frac{a+ab}{a+b}=2$
【答案】
2
【知识点】
分式的基本性质，整体代入求值，分式约分
【点评】
本题重点考查分式运算中的整体代入思想，解题核心是将已知分式等式转化为整式关系后代入化简，熟练掌握分式的基本性质是解决这类代数式求值问题的基础。
【难度系数】
0.7

8. 甲、乙两人进行3 km跑步训练. 甲的速度是2v km/h；乙前1 km的速度是v km/h，后2 km的速度是3v km/h. 乙到达终点需要多长时间？谁用时少？少多少？

8. 解：乙用时$\frac{1}{v}+\frac{2}{3v}=\frac{5}{3v}$(h)，甲用时$\frac{3}{2v}$ h，$\because \frac{5}{3v}-\frac{3}{2v}=\frac{1}{6v}＞0$，$\therefore$甲用时少. 答：乙到达终点需要$\frac{5}{3v}$ h；甲用时少，少$\frac{1}{6v}$ h.

【分析】
解题时先结合行程问题核心公式“时间=路程÷速度”思考：①求乙的总用时：乙的跑步路程分为两段，可分别计算两段路程的用时再相加，计算过程需要用到分式加法运算；②求甲的总用时：甲为匀速运动，直接用总路程除以甲的速度即可得到甲的用时；③比较两人用时长短：采用作差法，将两个分式通分计算差值，结合速度v为正数的隐含条件判断差值正负，即可得到谁用时更少，以及少用的时长。
【解析】
1. 计算乙到达终点的总用时：
乙前1km的速度为$v\ \mathrm{km/h}$，该段用时为$\frac{1}{v}\ \mathrm{h}$；后2km的速度为$3v\ \mathrm{km/h}$，该段用时为$\frac{2}{3v}\ \mathrm{h}$。
总用时为两段时间之和：
$\frac{1}{v}+\frac{2}{3v}=\frac{3}{3v}+\frac{2}{3v}=\frac{5}{3v}\ (\mathrm{h})$
2. 计算甲到达终点的总用时：
甲总路程为3km，速度为$2v\ \mathrm{km/h}$，总用时为：
$\frac{3}{2v}\ (\mathrm{h})$
3. 比较两人用时并计算差值：
对两个时间作差：
$\frac{5}{3v}-\frac{3}{2v}=\frac{10}{6v}-\frac{9}{6v}=\frac{1}{6v}$
由于速度$v＞0$，因此$\frac{1}{6v}＞0$，即乙的用时比甲多，甲用时更少，少的时长为$\frac{1}{6v}\ \mathrm{h}$。
【答案】
乙到达终点需要$\frac{5}{3v}\ \mathrm{h}$；甲用时少，少$\frac{1}{6v}\ \mathrm{h}$。
【知识点】
1. 分式的加减运算
2. 行程问题基本公式
3. 作差法比较大小
【点评】
本题结合常见的行程场景考察分式加减的实际应用，解题时需注意分段计算乙的用时，熟练掌握分式通分的运算规则，同时利用速度为正数的隐含条件判断差值的正负即可顺利求解，能有效巩固分式加减的运算能力。
【难度系数】
0.7

9. 先阅读材料，再解答问题.
已知$\frac{3x - 4}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}$，求A，B的值.
解：将等式的右边通分并相加，
得 $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} = \frac{A(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)} + \frac{B(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{(A + B)x - (2A + B)}{(x - 1)(x - 2)}$，
∴ $\begin{cases} A + B = 3, \\ -(2A + B) = -4, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} A = 1, \\ B = 2. \end{cases}$
∴ $A = 1$，$B = 2$.
(1) 已知$\frac{11x}{(x + 6)(4 - 3x)} = \frac{A}{x + 6} + \frac{B}{4 - 3x}$，求A，B的值；
(2) 计算：$\frac{1}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{1}{(x + 1)(x + 3)} + \frac{1}{(x + 3)(x + 5)} + \dots + \frac{1}{(x + 9)(x + 11)}$.

9. (1)将等式的右边通分并相加，得$\frac{A}{x+6}+\frac{B}{4-3x}=\frac{A(4-3x)}{(x+6)(4-3x)}+\frac{B(x+6)}{(x+6)(4-3x)}=\frac{(-3A+B)x+(4A+6B)}{(x+6)(4-3x)}$，
$\therefore \begin{cases} -3A+B=11, \\ 4A+6B=0, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} A=-3, \\ B=2. \end{cases}$ $\therefore A=-3, B=2.$
(2) 设$\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$，则
$\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{B(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{(A+B)x+(A-B)}{(x-1)(x+1)}$. $\therefore \begin{cases} A+B=0, \\ A-B=1, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} A=\frac{1}{2}, \\ B=-\frac{1}{2}. \end{cases}$
$\therefore \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{2(x-1)} - \frac{1}{2(x+1)}$. 同理，$\frac{1}{(x+1)(x+3)} = \frac{1}{2(x+1)} - \frac{1}{2(x+3)}$，$\frac{1}{(x+3)(x+5)} = \frac{1}{2(x+3)} - \frac{1}{2(x+5)}$，…，$\frac{1}{(x+9)(x+11)} = \frac{1}{2(x+9)} - \frac{1}{2(x+11)}$. $\therefore$ 原式 = $\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{2(x+1)}+\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{2(x+3)}+\frac{1}{2(x+3)}-\frac{1}{2(x+5)}+\dots + \frac{1}{2(x+9)}-\frac{1}{2(x+11)} = \frac{1}{2(x-1)} - \frac{1}{2(x+11)} = \frac{6}{(x-1)(x+11)}$.

【分析】
(1) 第一问可类比题干给出的方法求解：先将等式右侧的两个分式通分相加，得到与左侧分母相同的分式，由于相等的分式分母相同时分子必然相等，因此将右侧分子合并同类项后，与左侧分子的对应项系数相等，据此列出二元一次方程组，解方程组即可求出A、B的值。
(2) 第二问是分式连加运算，直接通分计算量过大，可借鉴题干的待定系数法，先将每一个分母为两个差值为2的一次式乘积的分式，拆分为两个分式的差，拆分后中间的相邻项可相互抵消，仅剩下首尾两项，再对剩余两项通分化简即可得到结果。
【解析】
(1) 将等式右边通分并相加，得
$\frac{A}{x+6}+\frac{B}{4-3x}=\frac{A(4-3x)}{(x+6)(4-3x)}+\frac{B(x+6)}{(x+6)(4-3x)}=\frac{(-3A+B)x+(4A+6B)}{(x+6)(4-3x)}$
由左右两边分式相等、分母相同，可得分子对应系数相等，即
$\begin{cases} -3A+B=11 \\ 4A+6B=0 \end{cases}$
将第二个方程化简为$2A+3B=0$，得$A=-\frac{3}{2}B$，代入第一个方程：
$-3×(-\frac{3}{2}B)+B=11$，解得$B=2$，则$A=-\frac{3}{2}×2=-3$。
(2) 先对各项裂项，以$\frac{1}{(x-1)(x+1)}$为例：
设$\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$，将右侧通分相加得：
$\frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{(A+B)x+(A-B)}{(x-1)(x+1)}$
对比分子系数可得$\begin{cases} A+B=0 \\ A-B=1 \end{cases}$，解得$\begin{cases} A=\frac{1}{2} \\ B=-\frac{1}{2} \end{cases}$
因此$\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{2(x-1)} - \frac{1}{2(x+1)}$
同理可得其余项的拆分形式：
$\frac{1}{(x+1)(x+3)} = \frac{1}{2(x+1)} - \frac{1}{2(x+3)}$，$\frac{1}{(x+3)(x+5)} = \frac{1}{2(x+3)} - \frac{1}{2(x+5)}$，……，$\frac{1}{(x+9)(x+11)} = \frac{1}{2(x+9)} - \frac{1}{2(x+11)}$
代入原式后中间项全部抵消：
原式$=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{2(x+1)}+\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{2(x+3)}+\dots + \frac{1}{2(x+9)}-\frac{1}{2(x+11)}$
$=\frac{1}{2(x-1)} - \frac{1}{2(x+11)}$
通分化简得：
$=\frac{(x+11)-(x-1)}{2(x-1)(x+11)}=\frac{12}{2(x-1)(x+11)}=\frac{6}{(x-1)(x+11)}$
【答案】
(1) $A=-3$，$B=2$；
(2) $\frac{6}{(x-1)(x+11)}$
【知识点】
分式的加减运算，待定系数法，裂项相消法
【点评】
本题属于分式运算的创新应用类题目，先通过示例掌握待定系数法拆分分式的方法，再将方法迁移到分式连加运算中，利用裂项相消简化计算，解题核心是理解相等分式的分子系数对应相等的性质，准确找到裂项规律，能有效锻炼学生的类比迁移能力和运算化简能力。
【难度系数】
0.6