1. 计算:
(1)$\frac{1}{x-1}-\frac{3}{x-1}=$ ;
(2)$\frac{a-1}{a}+\frac{1}{a}=$ ;
(3)$\frac{8a}{a-2}+\frac{16}{2-a}=$ .

1. (1)$-\frac{2}{x-1}$ (2)1 (3)8

【分析】
这三道题考查同分母（或可转化为同分母）的分式加减法，解题思路如下：①同分母分式相加减时，遵循“分母不变，分子相加减”的运算规则；③若两个分式的分母互为相反数，可通过提取负号将分母统一为相同形式；③计算完成后需将结果约分化为最简分式或整式。
【解析】
(1) 两个分式为同分母，直接按同分母分式减法法则计算：
$\frac{1}{x-1}-\frac{3}{x-1}=\frac{1-3}{x-1}=\frac{-2}{x-1}=-\frac{2}{x-1}$
(2) 两个分式为同分母，按同分母分式加法法则计算后化简：
$\frac{a-1}{a}+\frac{1}{a}=\frac{(a-1)+1}{a}=\frac{a}{a}=1$
(3) 先将分母$2-a$变形为$-(a-2)$，转化为同分母分式后再运算：
$\frac{8a}{a-2}+\frac{16}{2-a}=\frac{8a}{a-2}-\frac{16}{a-2}=\frac{8a-16}{a-2}=\frac{8(a-2)}{a-2}=8$
【答案】
(1)$-\frac{2}{x-1}$ (2)$1$ (3)$8$
【知识点】
同分母分式加减，分式约分，分式符号法则
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，核心是熟练掌握同分母分式的加减规则，需重点注意分母互为相反数时的符号转化，运算结果要化简为最简形式。
【难度系数】
0.8

2. 计算：
(1)$\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a(a-1)}$；
素养

2. (1)$\frac{1}{a}$ (2)$\frac{1}{a-2}$ (3)$\frac{b}{a-b}$

【分析】
这是异分母分式的减法运算，解题时先找两个分式的最简公分母，再通过通分把异分母分式转化为同分母分式，再按照同分母分式的减法法则计算，最后约分化为最简分式即可。第一步先观察分母：两个分母分别为$a-1$和$a(a-1)$，因此最简公分母是$a(a-1)$；第二步将第一个分式通分，变形为以$a(a-1)$为分母的分式；第三步分子相减后约分得到最终结果。
【解析】
解：两个分式的最简公分母为$a(a-1)$，
$\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a(a-1)}$
$=\frac{a}{a(a-1)} - \frac{1}{a(a-1)}$
$=\frac{a - 1}{a(a - 1)}$
根据分式有意义的条件，$a≠0$且$a≠1$，因此可约去分子分母的公因式$a-1$，
得原式$=\frac{1}{a}$
【答案】
$\frac{1}{a}$
【知识点】
异分母分式加减法、分式通分、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是掌握异分母分式加减的运算步骤，通分时要准确找到最简公分母，约分要注意分母不为0的隐含前提，保证结果为最简分式。
【难度系数】
0.85

1. 计算$\frac{x}{1-x}+\frac{9}{x-1}$时，下列关于第一步变形正确的是().

A.$1-x^2$
B.$\frac{x}{x-1}+\frac{9}{x-1}$
C.$\frac{x}{1-x}+\frac{9}{1-x}$
D.$\frac{x}{1-x}-\frac{9}{1-x}$

1. D

【分析】
本题考查分式加减运算的第一步变形，核心是统一分母。首先观察两个分式的分母1-x和x-1，二者互为相反数，可根据分式的符号法则将两个分式的分母化为相同的1-x，变形时注意符号的变化，再对照选项选出正确答案即可。
【解析】
两个分式的分母分别为$1-x$和$x-1$，满足$x-1=-(1-x)$。根据分式的符号性质：分式的分子、分母同时乘$-1$，分式的值不变，可得：
$\frac{9}{x-1}=\frac{9}{-(1-x)}=-\frac{9}{1-x}$
因此原式第一步变形为：
$\frac{x}{1-x}-\frac{9}{1-x}$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式的符号法则、异分母分式加减
【点评】
本题是分式加减的基础题型，重点考查分母互为相反数时的符号变形，易错点是变换分母时忘记同步改变分子或分式的符号，熟练掌握分式的符号变化规则是解题的关键。
【难度系数】
0.7

2. (广东)计算：$\frac{a}{a-3} - \frac{3}{a-3} =$

2. 1

【分析】
解题时先观察两个分式的特征：两个分式的分母完全相同，属于同分母分式的减法运算。按照运算规则，同分母分式相加减时，分母保持不变，仅把分子相加减，之后对计算得到的分式进行约分，化为最简的整式或分式即可得到最终结果。
【解析】
根据同分母分式的减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，计算如下：
$\begin{aligned}\frac{a}{a-3} - \frac{3}{a-3}&=\frac{a-3}{a-3}\\&=1\quad(a≠3)\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题，核心考查同分母分式的运算规则，运算后注意化简结果为最简形式，熟练掌握运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.9

3. 计算：$\frac{1}{a^2 -1} + \frac{a}{a^2 -1} =$ .

3. $\frac{1}{a-1}$

【分析】
本题是分式加法运算题，解题思路清晰明了：首先观察两个分式的分母，发现二者完全相同，属于同分母分式相加，直接遵循同分母分式加法法则计算即可，即分母保持不变，将两个分子相加；接着对计算后得到的分式的分母进行因式分解，$a^2-1$符合平方差公式的特征，可以分解为$(a+1)(a-1)$；最后约去分子和分母的公因式$a+1$，就能得到最简分式结果。
【解析】
解：根据同分母分式加法法则：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1+a}{a^2-1}\\&=\frac{a+1}{(a+1)(a-1)} \quad \mathrm{（利用平方差公式分解分母）}\\&=\frac{1}{a-1} \quad \mathrm{（约去分子分母公因式$a+1$，$a≠\pm1$）}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{a-1}$
【知识点】
同分母分式加减法则、平方差公式因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式加减的基础常规题，重点考察分式基础运算能力，计算时要注意最终结果必须化为最简分式，同时要注意分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.8

4. 计算：$\frac{a}{b} - \frac{b}{a} - \frac{a^2 + b^2}{ab} = \_\_\_\_\_\_$
(2)$\frac{1}{a+2} + \frac{4}{a^2 -4}$；
(3)$\frac{2ab}{a^2 - b^2} - \frac{b}{a + b}$；
分层评价

4. $-\frac{2b}{a}$

【分析】
这是异分母分式的减法运算，解题思路如下：首先确定各分式分母的最简公分母为$ab$，将三个分式通分化为同分母分式；再按照同分母分式加减法则，分母不变，分子相加减；运算时注意去括号的符号变化，最后对结果约分得到最简分式。
【解析】
解：原式的最简公分母为$ab$，先对各分式通分：
$\frac{a}{b}=\frac{a· a}{b· a}=\frac{a^2}{ab}$，$\frac{b}{a}=\frac{b· b}{a· b}=\frac{b^2}{ab}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a^2}{ab}-\frac{b^2}{ab}-\frac{a^2+b^2}{ab}\\&=\frac{a^2 - b^2 - (a^2 + b^2)}{ab}\\&=\frac{a^2 - b^2 - a^2 - b^2}{ab}\\&=\frac{-2b^2}{ab}\\&=-\frac{2b}{a}\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{2b}{a}$
【知识点】
异分母分式加减，分式约分，去括号法则
【点评】
本题属于分式加减的基础运算题，解题核心是准确找到最简公分母完成通分，运算过程中要格外注意去括号的符号变化，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.8

5. 先化简，再求值：$\dfrac{a}{a+3} - \dfrac{6}{a^2 -9} + \dfrac{2}{a-3}$，其中$a=-6$。

5. 解：原式 = $\frac{a(a-3)}{(a+3)(a-3)} - \frac{6}{(a+3)(a-3)} + \frac{2(a+3)}{(a+3)(a-3)} = \frac{a^2 -3a -6 +2a +6}{(a+3)(a-3)} = \frac{a(a-1)}{(a+3)(a-3)}$.
当$a=-6$时，原式=$\frac{(-6)×(-6-1)}{(-6+3)×(-6-3)}=\frac{14}{9}$.

【分析】
本题属于分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步先对分母进行因式分解，确定各个分式的最简公分母；第二步将异分母分式通分转化为同分母分式，按照同分母分式加减法则对分子进行合并化简，计算时注意不要弄错符号；第三步将给定的a的值代入化简后的式子，计算出最终结果即可。
【解析】
首先对分母因式分解可得$a^2-9=(a+3)(a-3)$，因此三个分式的最简公分母为$(a+3)(a-3)$。
通分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a(a-3)}{(a+3)(a-3)} - \frac{6}{(a+3)(a-3)} + \frac{2(a+3)}{(a+3)(a-3)} \\&=\frac{a(a-3) - 6 + 2(a+3)}{(a+3)(a-3)} \\&=\frac{a^2 - 3a - 6 + 2a + 6}{(a+3)(a-3)} \\&=\frac{a^2 - a}{(a+3)(a-3)} \\&=\frac{a(a-1)}{(a+3)(a-3)}\end{aligned}$
将$a=-6$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(-6)×(-6-1)}{(-6+3)×(-6-3)} \\&=\frac{(-6)×(-7)}{(-3)×(-9)} \\&=\frac{42}{27}=\frac{14}{9}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{14}{9}$
【知识点】
1.分式的加减运算 2.平方差公式因式分解 3.代数式求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，重点考查异分母分式加减的运算规则，解题时要注意通分的正确性，分子加减运算时要注意符号处理，代入数值计算时要遵循运算顺序，避免因符号或计算失误丢分。
【难度系数】
0.7