登录
8.如图，$AB=AC$，$AD=AE$，$CD=BE$.求证$∠ DAB=∠ EAC$. 
答案
8.
∵AB=AC,AD=AE,CD=BE,
∴△ADC≌△AEB(SSS).
∴∠CAD=∠BAE,
∴∠DAB=∠EAC.
∵AB=AC,AD=AE,CD=BE,
∴△ADC≌△AEB(SSS).
∴∠CAD=∠BAE,
∴∠DAB=∠EAC.
解析
【分析】
要证明∠DAB=∠EAC，可先证明包含待证角的更大角相等，再通过角的和差推导。观察图形发现，∠CAD和∠BAE分别包含∠DAB和∠EAC，两角分别在△ADC和△AEB中，题目恰好给出了两个三角形三组对应边相等的条件，因此可先通过SSS判定两个三角形全等，再利用全等三角形对应角相等得到∠CAD=∠BAE，最后减去公共角∠BAC即可得到待证结论。
【解析】
证明：
∵AB=AC，AD=AE，CD=BE，
∴△ADC≌△AEB（SSS），
∴∠CAD=∠BAE，
∵∠CAD=∠DAB+∠BAC，∠BAE=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
两边同时减去∠BAC，可得∠DAB=∠EAC。
【答案】
∵AB=AC,AD=AE,CD=BE,
∴△ADC≌△AEB(SSS).
∴∠CAD=∠BAE,
∴∠DAB=∠EAC.
【知识点】
SSS证全等、全等三角形性质、角的和差运算
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题型，解题核心是准确找到对应全等的三角形，结合角的和差关系即可完成推导，侧重考察基础的几何推理能力。
【难度系数】
0.8
要证明∠DAB=∠EAC，可先证明包含待证角的更大角相等，再通过角的和差推导。观察图形发现，∠CAD和∠BAE分别包含∠DAB和∠EAC，两角分别在△ADC和△AEB中，题目恰好给出了两个三角形三组对应边相等的条件，因此可先通过SSS判定两个三角形全等，再利用全等三角形对应角相等得到∠CAD=∠BAE，最后减去公共角∠BAC即可得到待证结论。
【解析】
证明：
∵AB=AC，AD=AE，CD=BE，
∴△ADC≌△AEB（SSS），
∴∠CAD=∠BAE，
∵∠CAD=∠DAB+∠BAC，∠BAE=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
两边同时减去∠BAC，可得∠DAB=∠EAC。
【答案】
∵AB=AC,AD=AE,CD=BE,
∴△ADC≌△AEB(SSS).
∴∠CAD=∠BAE,
∴∠DAB=∠EAC.
【知识点】
SSS证全等、全等三角形性质、角的和差运算
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题型，解题核心是准确找到对应全等的三角形，结合角的和差关系即可完成推导，侧重考察基础的几何推理能力。
【难度系数】
0.8
9.如图，AB=AD，BE=DE，BC=DC，则图中全等三角形有(
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
C
).A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
答案
9.C
解析
【分析】
要找出图中的全等三角形，可结合已知的边相等条件，利用“三边对应相等的两个三角形全等（SSS）”的判定定理，从公共边入手逐一排查：首先找以AE为公共边的三角形，再找以CE为公共边的三角形，最后找以AC为公共边的三角形，分别验证是否满足三边对应相等即可。
【解析】
我们逐个判定全等三角形：
1. 判定$△ ABE ≌ △ ADE$：
已知$AB=AD$，$BE=DE$，且$AE$是两三角形的公共边，即$AE=AE$，根据SSS全等判定定理，可得$△ ABE ≌ △ ADE$。
2. 判定$△ BCE ≌ △ DCE$：
已知$BE=DE$，$BC=DC$，且$CE$是两三角形的公共边，即$CE=CE$，根据SSS全等判定定理，可得$△ BCE ≌ △ DCE$。
3. 判定$△ ABC ≌ △ ADC$：
已知$AB=AD$，$BC=DC$，且$AC$是两三角形的公共边，即$AC=AC$，根据SSS全等判定定理，可得$△ ABC ≌ △ ADC$。
综上，图中共有3对全等三角形。
【答案】
C
【知识点】
1. SSS判定全等
2. 公共边性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题时按顺序寻找含公共边的三角形，结合已知的边相等条件用SSS定理判定即可，注意不要漏数全等组合。
【难度系数】
0.8
要找出图中的全等三角形，可结合已知的边相等条件，利用“三边对应相等的两个三角形全等（SSS）”的判定定理，从公共边入手逐一排查：首先找以AE为公共边的三角形，再找以CE为公共边的三角形，最后找以AC为公共边的三角形，分别验证是否满足三边对应相等即可。
【解析】
我们逐个判定全等三角形：
1. 判定$△ ABE ≌ △ ADE$：
已知$AB=AD$，$BE=DE$，且$AE$是两三角形的公共边，即$AE=AE$，根据SSS全等判定定理，可得$△ ABE ≌ △ ADE$。
2. 判定$△ BCE ≌ △ DCE$：
已知$BE=DE$，$BC=DC$，且$CE$是两三角形的公共边，即$CE=CE$，根据SSS全等判定定理，可得$△ BCE ≌ △ DCE$。
3. 判定$△ ABC ≌ △ ADC$：
已知$AB=AD$，$BC=DC$，且$AC$是两三角形的公共边，即$AC=AC$，根据SSS全等判定定理，可得$△ ABC ≌ △ ADC$。
综上，图中共有3对全等三角形。
【答案】
C
【知识点】
1. SSS判定全等
2. 公共边性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题时按顺序寻找含公共边的三角形，结合已知的边相等条件用SSS定理判定即可，注意不要漏数全等组合。
【难度系数】
0.8
10.如图，$AE=BE$，$AC=BD$，$AD=BC$，$∠ O=40°$，$∠ B=25°$，则$∠ BED$的度数是(
A.$60°$
B.$90°$
C.$75°$
D.$85°$
B
).A.$60°$
B.$90°$
C.$75°$
D.$85°$
答案
10.B
解析
【分析】
要求∠BED的度数，首先可利用已知的边相等条件证明三角形全等，得到∠A与∠B相等，再结合三角形内角和定理求出△OAD中∠ADO的度数，进而得到△BED中∠BDE的度数，最后在△BED中利用内角和定理即可求出∠BED的大小。
【解析】
1. 证明△OAD≌△OBC：
已知$AC=BD$，可得$AC+OC=BD+OD$，即$OA=OB$，进一步可得$OA-AC=OB-BD$，即$OC=OD$。
又已知$AD=BC$，结合$OA=OB$、$OC=OD$，根据SSS判定定理可得$△ OAD≌△ OBC$，因此对应角$∠ A=∠ B=25°$。
2. 计算$∠ ADO$的度数：
在$△ OAD$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ADO=180°-∠ O-∠ A=180°-40°-25°=115°$
3. 计算$∠ BDE$的度数：
$∠ ADO$与$∠ BDE$为邻补角，因此：
$∠ BDE=180°-∠ ADO=180°-115°=65°$
4. 计算$∠ BED$的度数：
在$△ BED$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BED=180°-∠ B-∠ BDE=180°-25°-65°=90°$
【答案】
B
【知识点】
三角形全等的判定，三角形内角和定理，邻补角性质
【点评】
本题是全等三角形与三角形内角和的综合应用题，解题的核心是先通过边的关系证明三角形全等，得到对应角相等，再结合内角和、邻补角的性质逐步推导所求角，属于全等三角形应用的常规题型。
【难度系数】
0.7
要求∠BED的度数，首先可利用已知的边相等条件证明三角形全等，得到∠A与∠B相等，再结合三角形内角和定理求出△OAD中∠ADO的度数，进而得到△BED中∠BDE的度数，最后在△BED中利用内角和定理即可求出∠BED的大小。
【解析】
1. 证明△OAD≌△OBC：
已知$AC=BD$，可得$AC+OC=BD+OD$，即$OA=OB$，进一步可得$OA-AC=OB-BD$，即$OC=OD$。
又已知$AD=BC$，结合$OA=OB$、$OC=OD$，根据SSS判定定理可得$△ OAD≌△ OBC$，因此对应角$∠ A=∠ B=25°$。
2. 计算$∠ ADO$的度数：
在$△ OAD$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ADO=180°-∠ O-∠ A=180°-40°-25°=115°$
3. 计算$∠ BDE$的度数：
$∠ ADO$与$∠ BDE$为邻补角，因此：
$∠ BDE=180°-∠ ADO=180°-115°=65°$
4. 计算$∠ BED$的度数：
在$△ BED$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BED=180°-∠ B-∠ BDE=180°-25°-65°=90°$
【答案】
B
【知识点】
三角形全等的判定，三角形内角和定理，邻补角性质
【点评】
本题是全等三角形与三角形内角和的综合应用题，解题的核心是先通过边的关系证明三角形全等，得到对应角相等，再结合内角和、邻补角的性质逐步推导所求角，属于全等三角形应用的常规题型。
【难度系数】
0.7
11.如图，$△ ABC$的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形。在网格中画与$△ ABC$全等（$△ ABC$除外）的格点三角形，最多可以画（
A.5个
B.9个
C.10个
D.15个
D
）。A.5个
B.9个
C.10个
D.15个
答案
11.D
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先，格点三角形全等可通过SSS判定，所以先借助勾股定理算出△ABC的三边长，明确待找三角形的边长特征；接着在整个3×3网格中，分类统计所有符合该边长特征的格点三角形总数量；最后减去原△ABC本身，即可得到符合要求的三角形数量，统计时要按不同方向、位置分类，避免重复或遗漏。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算△ABC的三边长：
$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
根据全等三角形的SSS判定规则，我们需要找三边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$、$\sqrt{5}$的格点三角形。
在3×3的方格网格中，统计可得满足该边长条件的格点三角形共有16个，排除题目给出的△ABC本身，剩余数量为$16-1=15$个。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，全等三角形判定，格点图形计数
【点评】
本题综合考查了勾股定理的应用、全等三角形的判定以及分类计数的思想，解题时要注意有序统计，避免漏数或重复计数，同时不要忘记排除原三角形本身。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先，格点三角形全等可通过SSS判定，所以先借助勾股定理算出△ABC的三边长，明确待找三角形的边长特征；接着在整个3×3网格中，分类统计所有符合该边长特征的格点三角形总数量；最后减去原△ABC本身，即可得到符合要求的三角形数量，统计时要按不同方向、位置分类，避免重复或遗漏。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算△ABC的三边长：
$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
根据全等三角形的SSS判定规则，我们需要找三边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$、$\sqrt{5}$的格点三角形。
在3×3的方格网格中，统计可得满足该边长条件的格点三角形共有16个，排除题目给出的△ABC本身，剩余数量为$16-1=15$个。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，全等三角形判定，格点图形计数
【点评】
本题综合考查了勾股定理的应用、全等三角形的判定以及分类计数的思想，解题时要注意有序统计，避免漏数或重复计数，同时不要忘记排除原三角形本身。
【难度系数】
0.5
12.如图,已知$AB=AC$,$AD=AE$,$BD=CE$,且$B$,$D$,$E$三点共线.
(1)如图①,点$B$在线段$DE$上,求证$∠ DAE=∠ BAC$.
(2)如图②,点$B$在线段$ED$的延长线上,猜想$∠ 1$,$∠ 2$,$∠ 3$之间的数量关系并证明.
(3)若点$B$在线段$DE$的延长线上(点$A$,$D$,$E$按逆时针排列),请将备用图补充完整,直接写出$∠ ADE$与$∠ AEC$之间的数量关系.
(1)如图①,点$B$在线段$DE$上,求证$∠ DAE=∠ BAC$.
(2)如图②,点$B$在线段$ED$的延长线上,猜想$∠ 1$,$∠ 2$,$∠ 3$之间的数量关系并证明.
(3)若点$B$在线段$DE$的延长线上(点$A$,$D$,$E$按逆时针排列),请将备用图补充完整,直接写出$∠ ADE$与$∠ AEC$之间的数量关系.
答案
12.(1)在△ABD和△ACE中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AE, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SSS).
∴∠DAB=∠EAC.
∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE.
即∠DAE=∠BAC.
(2)在△ABD和△ACE中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AE, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SSS).
∴∠BAD=∠1,∠ABD=∠2.
∵∠3=∠BAD+∠ABD,
∴∠3=∠1+∠2.
(3)如图,
,∠ADE=∠AEC.理由如下:在△ABD和△ACE中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AE, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SSS).
∴∠ADE=∠AEC.
解析
【分析】
本题三小问均围绕三角形全等的判定与性质展开解题。(1)要证∠DAE=∠BAC，可先利用题目给出的三组边相等的条件，通过SSS判定证明△ABD≌△ACE，得到对应角∠DAB=∠EAC，再给两个相等的角同时加公共角∠BAE，即可推导出结论；(2)探究角的数量关系时，同样先证△ABD≌△ACE，将∠1、∠2转化为△ABD的两个内角，再结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可得到三个角的数量关系；(3)先按题意补全图形，仍然通过SSS证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形对应角相等的性质直接得到∠ADE与∠AEC的关系即可。
【解析】
(1) 证明：
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AE, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE（SSS），
∴∠DAB=∠EAC，
∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE，
即∠DAE=∠BAC。
(2) 猜想$∠3=∠1+∠2$，证明如下：
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AE, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE（SSS），
∴∠BAD=∠1，∠ABD=∠2，
∵∠3是△ABD的外角，
∴∠3=∠BAD+∠ABD，
代入得$∠3=∠1+∠2$。
(3) 补全图形如下：
数量关系推导：
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AE, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE（SSS），
∴∠ADE=∠AEC。
【答案】
(1) 已证$∠DAE=∠BAC$；
(2) $\boldsymbol{∠3=∠1+∠2}$；
(3) 补图，$\boldsymbol{∠ADE=∠AEC}$。
【知识点】
SSS证三角形全等、全等三角形的性质、三角形外角性质
【点评】
本题是全等三角形的典型应用类题目，三个小问层层递进，解题核心是熟练运用SSS判定定理证明三角形全等，再结合角的和差关系、外角性质推导角的等量关系，解题时要注意找准全等三角形的对应边与对应角。
【难度系数】
0.7
本题三小问均围绕三角形全等的判定与性质展开解题。(1)要证∠DAE=∠BAC，可先利用题目给出的三组边相等的条件，通过SSS判定证明△ABD≌△ACE，得到对应角∠DAB=∠EAC，再给两个相等的角同时加公共角∠BAE，即可推导出结论；(2)探究角的数量关系时，同样先证△ABD≌△ACE，将∠1、∠2转化为△ABD的两个内角，再结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可得到三个角的数量关系；(3)先按题意补全图形，仍然通过SSS证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形对应角相等的性质直接得到∠ADE与∠AEC的关系即可。
【解析】
(1) 证明：
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AE, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE（SSS），
∴∠DAB=∠EAC，
∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE，
即∠DAE=∠BAC。
(2) 猜想$∠3=∠1+∠2$，证明如下：
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AE, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE（SSS），
∴∠BAD=∠1，∠ABD=∠2，
∵∠3是△ABD的外角，
∴∠3=∠BAD+∠ABD，
代入得$∠3=∠1+∠2$。
(3) 补全图形如下：
数量关系推导：
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AE, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE（SSS），
∴∠ADE=∠AEC。
【答案】
(1) 已证$∠DAE=∠BAC$；
(2) $\boldsymbol{∠3=∠1+∠2}$；
(3) 补图
，$\boldsymbol{∠ADE=∠AEC}$。【知识点】
SSS证三角形全等、全等三角形的性质、三角形外角性质
【点评】
本题是全等三角形的典型应用类题目，三个小问层层递进，解题核心是熟练运用SSS判定定理证明三角形全等，再结合角的和差关系、外角性质推导角的等量关系，解题时要注意找准全等三角形的对应边与对应角。
【难度系数】
0.7
