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1.如图，$∠ B=∠ E=90°$，$AB=DE$，$AC=DF$，则$△ ABC ≌ △ DEF$的理由是(
A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.HL
D
).A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.HL
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先观察两个三角形的角特征，已知∠B和∠E都是90°，可确定△ABC和△DEF都是直角三角形；再梳理已知边的条件：一组直角边AB=DE，一组斜边AC=DF。回忆三角形全等的判定规则，普通三角形的SAS需要两边夹一角，ASA、AAS需要两组角相等，均不符合本题条件，而直角三角形特有的HL定理（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）刚好匹配已知条件，由此可选出正确答案。
【解析】
∵ $∠ B=∠ E=90°$，
∴ $△ ABC$和$△ DEF$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中：
$\begin{cases}AB=DE(\mathrm{已知})\\AC=DF(\mathrm{已知})\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL})$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. HL定理
2. 直角三角形全等判定
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先识别出两个三角形是直角三角形，再结合已知的边对应相等的条件匹配对应的全等判定定理即可，要注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察两个三角形的角特征，已知∠B和∠E都是90°，可确定△ABC和△DEF都是直角三角形；再梳理已知边的条件：一组直角边AB=DE，一组斜边AC=DF。回忆三角形全等的判定规则，普通三角形的SAS需要两边夹一角，ASA、AAS需要两组角相等，均不符合本题条件，而直角三角形特有的HL定理（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）刚好匹配已知条件，由此可选出正确答案。
【解析】
∵ $∠ B=∠ E=90°$，
∴ $△ ABC$和$△ DEF$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中：
$\begin{cases}AB=DE(\mathrm{已知})\\AC=DF(\mathrm{已知})\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL})$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. HL定理
2. 直角三角形全等判定
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先识别出两个三角形是直角三角形，再结合已知的边对应相等的条件匹配对应的全等判定定理即可，要注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.9
2.如图,在$△ ABC$中,$CD ⊥ AB$,垂足为D,若要根据“HL”判定$△ ACD ≌ △ BCD$,还需添加的条件是(
A.$AC=BC$
B.$AD=BD$
C.$∠ A=∠ B$
D.$∠ ACD=∠ BCD$
A
).A.$AC=BC$
B.$AD=BD$
C.$∠ A=∠ B$
D.$∠ ACD=∠ BCD$
答案
2.A
解析
【分析】
首先明确“HL”判定定理的内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，该定理仅适用于直角三角形的全等判定。本题中CD⊥AB，可得△ACD和△BCD均为直角三角形，且二者有公共直角边CD，已满足一条直角边对应相等的条件，要使用HL判定全等，只需补充斜边相等或者另一条直角边相等的条件，再结合选项逐一筛选即可。
【解析】
已知CD⊥AB，因此∠ADC=∠BDC=90°，即△ACD和△BCD都是直角三角形，且两个三角形有公共边CD，即CD=CD。
对各选项逐一分析：
A选项：若添加AC=BC，此时Rt△ACD和Rt△BCD中，斜边AC=BC，直角边CD=CD，符合HL的判定条件，可判定两个三角形全等，符合题意；
B选项：若添加AD=BD，结合CD=CD、∠ADC=∠BDC=90°，是用SAS判定全等，不属于HL判定，不符合题意；
C选项：若添加∠A=∠B，结合∠ADC=∠BDC、CD=CD，是用AAS判定全等，不属于HL判定，不符合题意；
D选项：若添加∠ACD=∠BCD，结合CD=CD、∠ADC=∠BDC，是用ASA判定全等，不属于HL判定，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
HL判定定理；全等三角形的判定；直角三角形的定义
【点评】
本题重点考查对HL判定定理的掌握，解题时要注意HL仅适用于直角三角形的全等判定，要区分不同全等判定定理的适用条件，避免混淆各类判定方法的要求。
【难度系数】
0.8
首先明确“HL”判定定理的内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，该定理仅适用于直角三角形的全等判定。本题中CD⊥AB，可得△ACD和△BCD均为直角三角形，且二者有公共直角边CD，已满足一条直角边对应相等的条件，要使用HL判定全等，只需补充斜边相等或者另一条直角边相等的条件，再结合选项逐一筛选即可。
【解析】
已知CD⊥AB，因此∠ADC=∠BDC=90°，即△ACD和△BCD都是直角三角形，且两个三角形有公共边CD，即CD=CD。
对各选项逐一分析：
A选项：若添加AC=BC，此时Rt△ACD和Rt△BCD中，斜边AC=BC，直角边CD=CD，符合HL的判定条件，可判定两个三角形全等，符合题意；
B选项：若添加AD=BD，结合CD=CD、∠ADC=∠BDC=90°，是用SAS判定全等，不属于HL判定，不符合题意；
C选项：若添加∠A=∠B，结合∠ADC=∠BDC、CD=CD，是用AAS判定全等，不属于HL判定，不符合题意；
D选项：若添加∠ACD=∠BCD，结合CD=CD、∠ADC=∠BDC，是用ASA判定全等，不属于HL判定，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
HL判定定理；全等三角形的判定；直角三角形的定义
【点评】
本题重点考查对HL判定定理的掌握，解题时要注意HL仅适用于直角三角形的全等判定，要区分不同全等判定定理的适用条件，避免混淆各类判定方法的要求。
【难度系数】
0.8
3.如图，$AD⊥BD$，$BC⊥AC$，$AC$，$BD$相交于点$O$，如果$AC=BD$，有下列结论：①$AD=BC$；②$∠DAC=∠CBD$；③$OC=OD$.其中正确的结论是(
A.①②③
B.①②
C.①
D.③
A
).A.①②③
B.①②
C.①
D.③
答案
3.A
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手，确定图中存在两个直角三角形$Rt△ ADB$和$Rt△ BCA$，二者有公共斜边$AB$，结合已知$AC=BD$，可先通过HL定理证明这两个直角三角形全等，得到对应边、对应角相等，即可验证结论①②；再利用已得的边、角相等，证明$△ ADO$与$△ BCO$全等，即可验证结论③。
【解析】
解：$\because AD⊥ BD$，$BC⊥ AC$，$\therefore ∠ D=∠ C=90°$
1. 证$Rt△ ADB≌ Rt△ BCA$：
在$Rt△ ADB$和$Rt△ BCA$中，
$\begin{cases} AB=BA（公共边） \\ BD=AC（已知） \end{cases}$
$\therefore Rt△ ADB≌ Rt△ BCA（HL）$
$\therefore AD=BC$，故①正确；
由全等可得$∠ DAB=∠ CBA$，$∠ DBA=∠ CAB$，
$\therefore ∠ DAB - ∠ CAB = ∠ CBA - ∠ DBA$，即$∠ DAC=∠ CBD$，故②正确；
2. 证$△ ADO≌△ BCO$：
在$△ ADO$和$△ BCO$中，
$\begin{cases} ∠ D=∠ C \\ ∠ DOA=∠ COB（对顶角相等） \\ AD=BC（已证） \end{cases}$
$\therefore △ ADO≌△ BCO（AAS）$
$\therefore OC=OD$，故③正确。
综上，①②③均正确。
【答案】
A
【知识点】
HL判定全等；全等三角形的性质；AAS判定全等
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础综合题，解题的核心是先利用公共边和已知等边证明大直角三角形全等，再以得到的边角为条件证明小三角形全等，即可逐一验证所有结论，考查了对全等判定定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的垂直条件入手，确定图中存在两个直角三角形$Rt△ ADB$和$Rt△ BCA$，二者有公共斜边$AB$，结合已知$AC=BD$，可先通过HL定理证明这两个直角三角形全等，得到对应边、对应角相等，即可验证结论①②；再利用已得的边、角相等，证明$△ ADO$与$△ BCO$全等，即可验证结论③。
【解析】
解：$\because AD⊥ BD$，$BC⊥ AC$，$\therefore ∠ D=∠ C=90°$
1. 证$Rt△ ADB≌ Rt△ BCA$：
在$Rt△ ADB$和$Rt△ BCA$中，
$\begin{cases} AB=BA（公共边） \\ BD=AC（已知） \end{cases}$
$\therefore Rt△ ADB≌ Rt△ BCA（HL）$
$\therefore AD=BC$，故①正确；
由全等可得$∠ DAB=∠ CBA$，$∠ DBA=∠ CAB$，
$\therefore ∠ DAB - ∠ CAB = ∠ CBA - ∠ DBA$，即$∠ DAC=∠ CBD$，故②正确；
2. 证$△ ADO≌△ BCO$：
在$△ ADO$和$△ BCO$中，
$\begin{cases} ∠ D=∠ C \\ ∠ DOA=∠ COB（对顶角相等） \\ AD=BC（已证） \end{cases}$
$\therefore △ ADO≌△ BCO（AAS）$
$\therefore OC=OD$，故③正确。
综上，①②③均正确。
【答案】
A
【知识点】
HL判定全等；全等三角形的性质；AAS判定全等
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础综合题，解题的核心是先利用公共边和已知等边证明大直角三角形全等，再以得到的边角为条件证明小三角形全等，即可逐一验证所有结论，考查了对全等判定定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
4.如图，点E，B，F，C在同一条直线上，若∠D=∠A=90°，EB=FC，AB=DF，则△ABC≌
△DFE
，全等的根据是HL
。答案
4.△DFE HL
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，已知两个三角形都有直角，均为直角三角形，可优先考虑直角三角形全等的判定方法。首先处理边的等量关系：已知EB=FC，两条线段同时加上公共线段BF，可推出斜边EF=BC；再结合已知的直角边AB=DF，即可根据直角三角形全等的特殊判定定理证明两个三角形全等。
【解析】
∵ EB=FC，
∴ EB+BF=FC+BF，即EF=BC。
又
∵ ∠A=∠D=90°，
∴ △ABC和△DFE都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△DFE中，
$\{\begin{array}{l}BC=EF \\AB=DF\end{array} $
∴ Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）。
【答案】
△DFE；HL
【知识点】
HL判定定理，线段和差计算，直角三角形定义
【点评】
本题属于基础类全等判定题，解题核心是先通过线段和差得到相等的斜边，再结合已知的直角边相等，运用HL定理判定直角三角形全等，需要注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件，已知两个三角形都有直角，均为直角三角形，可优先考虑直角三角形全等的判定方法。首先处理边的等量关系：已知EB=FC，两条线段同时加上公共线段BF，可推出斜边EF=BC；再结合已知的直角边AB=DF，即可根据直角三角形全等的特殊判定定理证明两个三角形全等。
【解析】
∵ EB=FC，
∴ EB+BF=FC+BF，即EF=BC。
又
∵ ∠A=∠D=90°，
∴ △ABC和△DFE都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△DFE中，
$\{\begin{array}{l}BC=EF \\AB=DF\end{array} $
∴ Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）。
【答案】
△DFE；HL
【知识点】
HL判定定理，线段和差计算，直角三角形定义
【点评】
本题属于基础类全等判定题，解题核心是先通过线段和差得到相等的斜边，再结合已知的直角边相等，运用HL定理判定直角三角形全等，需要注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.8
5.有下列条件:①已知一条直角边及其对角;②已知两个锐角;③已知两直角边;④已知一条直角边和斜边.其中,不能作出唯一直角三角形的是
②
(填写序号).答案
5.②
解析
【分析】
要判断能否作出唯一的直角三角形，本质是判断给定条件是否满足直角三角形全等的判定定理：若满足判定定理，就能作出唯一的直角三角形，反之则不能。我们只需结合三角形全等、直角三角形全等的判定规则，逐个分析4个条件即可得出结论。
【解析】
我们对每个条件逐一分析：
1. 条件①：已知一条直角边及其对角，再加上直角三角形固定的直角相等，满足全等判定的AAS（两角及其中一角的对边相等），可判定直角三角形全等，因此能作出唯一直角三角形；
2. 条件②：已知两个锐角，仅能确定三角形的形状，无法确定三角形的大小，可得到无数个相似的直角三角形，不满足任何全等判定条件，因此不能作出唯一直角三角形；
3. 条件③：已知两直角边，两边的夹角为直角，满足全等判定的SAS（两边及其夹角相等），可判定直角三角形全等，因此能作出唯一直角三角形；
4. 条件④：已知一条直角边和斜边，满足直角三角形特有的全等判定HL（斜边、直角边定理），可判定直角三角形全等，因此能作出唯一直角三角形。
综上，不能作出唯一直角三角形的是②。
【答案】
②
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定
2. 全等三角形的判定
【点评】
本题将“作唯一三角形”的问题转化为全等判定的问题，解题时要注意仅有角相等的条件只能确定三角形形状，无法确定大小，不能得到唯一的三角形，牢记全等判定定理是解题关键。
【难度系数】
0.8
要判断能否作出唯一的直角三角形，本质是判断给定条件是否满足直角三角形全等的判定定理：若满足判定定理，就能作出唯一的直角三角形，反之则不能。我们只需结合三角形全等、直角三角形全等的判定规则，逐个分析4个条件即可得出结论。
【解析】
我们对每个条件逐一分析：
1. 条件①：已知一条直角边及其对角，再加上直角三角形固定的直角相等，满足全等判定的AAS（两角及其中一角的对边相等），可判定直角三角形全等，因此能作出唯一直角三角形；
2. 条件②：已知两个锐角，仅能确定三角形的形状，无法确定三角形的大小，可得到无数个相似的直角三角形，不满足任何全等判定条件，因此不能作出唯一直角三角形；
3. 条件③：已知两直角边，两边的夹角为直角，满足全等判定的SAS（两边及其夹角相等），可判定直角三角形全等，因此能作出唯一直角三角形；
4. 条件④：已知一条直角边和斜边，满足直角三角形特有的全等判定HL（斜边、直角边定理），可判定直角三角形全等，因此能作出唯一直角三角形。
综上，不能作出唯一直角三角形的是②。
【答案】
②
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定
2. 全等三角形的判定
【点评】
本题将“作唯一三角形”的问题转化为全等判定的问题，解题时要注意仅有角相等的条件只能确定三角形形状，无法确定大小，不能得到唯一的三角形，牢记全等判定定理是解题关键。
【难度系数】
0.8
6.如图,在$△ ABC$中,$∠ B = 90°$,点$D$在$BC$上,$AB = CD$,$AC = DE$,$AB // CE$.求证$DE ⊥ AC$.
答案
6.
∵AB//CE,∠B=90°,∠BCE+∠B=180°,
∴∠BCE=∠B=90°.
又
∵AB=CD,AC=DE,
∴Rt△ABC≌Rt△DCE(HL).
∴∠E=∠BCA,
则∠AFE=∠E+∠ACE=∠BCA+∠ACE=∠BCE=90°.
∴DE⊥AC.
∵AB//CE,∠B=90°,∠BCE+∠B=180°,
∴∠BCE=∠B=90°.
又
∵AB=CD,AC=DE,
∴Rt△ABC≌Rt△DCE(HL).
∴∠E=∠BCA,
则∠AFE=∠E+∠ACE=∠BCA+∠ACE=∠BCE=90°.
∴DE⊥AC.
解析
【分析】
要证明DE⊥AC，核心是证明DE与AC的夹角为90°，即∠AFE=90°。首先利用平行线的性质，结合∠B=90°可推导出∠BCE=90°，得到两个直角三角形Rt△ABC和Rt△DCE；再结合已知的两组对应边相等AB=CD、AC=DE，用HL定理可证明两个直角三角形全等，得到对应角∠E=∠BCA；最后通过角的等量代换，计算得到∠AFE=90°，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵AB//CE，∠B=90°，∠BCE+∠B=180°，
∴∠BCE=∠B=90°，
又
∵AB=CD，AC=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DCE（HL），
∴∠E=∠BCA，
则∠AFE=∠E+∠ACE=∠BCA+∠ACE=∠BCE=90°，
∴DE⊥AC。
【答案】
证明过程如下：
∵AB//CE，∠B=90°，∠BCE+∠B=180°，
∴∠BCE=∠B=90°，
又
∵AB=CD，AC=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DCE（HL），
∴∠E=∠BCA，
则∠AFE=∠E+∠ACE=∠BCA+∠ACE=∠BCE=90°，
∴DE⊥AC。
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 直角三角形全等判定
3. 垂直的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查了平行线、全等三角形、垂直判定的相关知识，解题的突破口是先证明两个直角三角形全等，再通过角的等量代换得到直角，对培养学生的逻辑推理能力有较好的作用。
【难度系数】
0.7
要证明DE⊥AC，核心是证明DE与AC的夹角为90°，即∠AFE=90°。首先利用平行线的性质，结合∠B=90°可推导出∠BCE=90°，得到两个直角三角形Rt△ABC和Rt△DCE；再结合已知的两组对应边相等AB=CD、AC=DE，用HL定理可证明两个直角三角形全等，得到对应角∠E=∠BCA；最后通过角的等量代换，计算得到∠AFE=90°，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵AB//CE，∠B=90°，∠BCE+∠B=180°，
∴∠BCE=∠B=90°，
又
∵AB=CD，AC=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DCE（HL），
∴∠E=∠BCA，
则∠AFE=∠E+∠ACE=∠BCA+∠ACE=∠BCE=90°，
∴DE⊥AC。
【答案】
证明过程如下：
∵AB//CE，∠B=90°，∠BCE+∠B=180°，
∴∠BCE=∠B=90°，
又
∵AB=CD，AC=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DCE（HL），
∴∠E=∠BCA，
则∠AFE=∠E+∠ACE=∠BCA+∠ACE=∠BCE=90°，
∴DE⊥AC。
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 直角三角形全等判定
3. 垂直的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查了平行线、全等三角形、垂直判定的相关知识，解题的突破口是先证明两个直角三角形全等，再通过角的等量代换得到直角，对培养学生的逻辑推理能力有较好的作用。
【难度系数】
0.7
7.如图，AD，AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高.如果AD=AF，AC=AE，求证BC=BE. 
答案
7.
∵AD,AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高,且AD=AF,AC=AE,
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).
∴CD=EF.
∵AD=AF,AB=AB,
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).
∴BD=BF.
∴BD−CD=BF−EF,即BC=BE.
∵AD,AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高,且AD=AF,AC=AE,
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).
∴CD=EF.
∵AD=AF,AB=AB,
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).
∴BD=BF.
∴BD−CD=BF−EF,即BC=BE.
解析
【分析】
要证明BC=BE，观察图形可知BC=BD-CD，BE=BF-EF，因此只需证明BD=BF、CD=EF即可。已知AD、AF分别是两个钝角三角形的高，因此△ADC、△AFE、△ABD、△ABF均为直角三角形，结合给出的AD=AF、AC=AE的条件，可先通过HL定理证明Rt△ADC≌Rt△AFE，得到CD=EF；再利用公共边AB=AB，结合AD=AF证明Rt△ABD≌Rt△ABF，得到BD=BF，最后通过线段差的运算即可推出BC=BE。
【解析】
证明：
∵AD，AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高，
∴∠D=∠F=90°。
在Rt△ADC和Rt△AFE中，
$\{\begin{array}{l}AD=AF\\ AC=AE\end{array} $
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL），
∴CD=EF。
在Rt△ABD和Rt△ABF中，
$\{\begin{array}{l}AD=AF\\ AB=AB\end{array} $
∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL），
∴BD=BF。
∴BD - CD = BF - EF，即BC=BE。
【答案】
BC=BE
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形的性质；线段和差运算
【点评】
本题是利用三角形全等证明线段相等的基础题型，可通过逆向思维从结论倒推所需条件，再结合已知条件正向推导证明，核心是熟练掌握直角三角形全等的HL判定定理和全等三角形对应边相等的性质。
【难度系数】
0.8
要证明BC=BE，观察图形可知BC=BD-CD，BE=BF-EF，因此只需证明BD=BF、CD=EF即可。已知AD、AF分别是两个钝角三角形的高，因此△ADC、△AFE、△ABD、△ABF均为直角三角形，结合给出的AD=AF、AC=AE的条件，可先通过HL定理证明Rt△ADC≌Rt△AFE，得到CD=EF；再利用公共边AB=AB，结合AD=AF证明Rt△ABD≌Rt△ABF，得到BD=BF，最后通过线段差的运算即可推出BC=BE。
【解析】
证明：
∵AD，AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高，
∴∠D=∠F=90°。
在Rt△ADC和Rt△AFE中，
$\{\begin{array}{l}AD=AF\\ AC=AE\end{array} $
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL），
∴CD=EF。
在Rt△ABD和Rt△ABF中，
$\{\begin{array}{l}AD=AF\\ AB=AB\end{array} $
∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL），
∴BD=BF。
∴BD - CD = BF - EF，即BC=BE。
【答案】
BC=BE
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形的性质；线段和差运算
【点评】
本题是利用三角形全等证明线段相等的基础题型，可通过逆向思维从结论倒推所需条件，再结合已知条件正向推导证明，核心是熟练掌握直角三角形全等的HL判定定理和全等三角形对应边相等的性质。
【难度系数】
0.8
