登录
9.如图所示的是按一定规律排列的一组数据，任意圈出$3×3$个数。
(1)计算:$(-4)+18+(-32)=$
(2)再任意圈出$3×3$个数，(1)中的结论还成立吗？
(1)计算:$(-4)+18+(-32)=$
-18
，$(-28)+18+(-8)=$-18
。你能得出什么结论？(2)再任意圈出$3×3$个数，(1)中的结论还成立吗？
答案
9.解:(1)-18 -18 结论:对角线上三个数之和是中间数的相反数。
(2)如图，圈出3×3个数，26+(-40)+54=40，30+(-40)+50=40，(1)中的结论仍然成立。(答案不唯一)
[图1]
(第9题)
(2)如图，圈出3×3个数，26+(-40)+54=40，30+(-40)+50=40，(1)中的结论仍然成立。(答案不唯一)
[图1]
(第9题)
解析
【分析】
1. 解决第(1)问时，先根据有理数加减运算的法则，分别计算给出的两组对角线上三个数的和，再观察计算结果与3×3方框中间数的关系，总结出对应结论。
2. 解决第(2)问时，先重新选取一组3×3的数，分别计算该组两条对角线上三个数的和，再和该组的中间数对比，即可验证结论是否成立。
【解析】
(1) 计算第一个算式：
$(-4)+18+(-32)=14-32=-18$
计算第二个算式：
$(-28)+18+(-8)=-36+18=-18$
观察可知，该3×3方框的中间数是18，两个对角线上三个数的和均为-18，恰好是中间数的相反数。
结论：任意圈出的3×3个数中，对角线上三个数的和是中间数的相反数。
(2) 重新圈出第三、四、五行第1、2、3列的9个数：26、-28、30、38、-40、42、50、-52、54，该组的中间数为-40。
计算第一条对角线的和：$26+(-40)+54=40$
计算第二条对角线的和：$30+(-40)+50=40$
所得的和40正好是中间数-40的相反数，因此(1)中的结论仍然成立。（举例不唯一，符合规律即可）
【答案】
(1) $\boldsymbol{-18}$，$\boldsymbol{-18}$；结论：任意圈出的3×3个数中，对角线上三个数的和是中间数的相反数。
(2) 成立，举例验证如上（答案不唯一）。
【知识点】
有理数加减法运算，数字规律探究
【点评】
本题结合数阵考查有理数的加减计算和规律探索能力，解题的关键是准确计算，通过对比计算结果和中间数的关系总结规律，再自主举例验证规律即可。
【难度系数】
0.8
1. 解决第(1)问时，先根据有理数加减运算的法则，分别计算给出的两组对角线上三个数的和，再观察计算结果与3×3方框中间数的关系，总结出对应结论。
2. 解决第(2)问时，先重新选取一组3×3的数，分别计算该组两条对角线上三个数的和，再和该组的中间数对比，即可验证结论是否成立。
【解析】
(1) 计算第一个算式：
$(-4)+18+(-32)=14-32=-18$
计算第二个算式：
$(-28)+18+(-8)=-36+18=-18$
观察可知，该3×3方框的中间数是18，两个对角线上三个数的和均为-18，恰好是中间数的相反数。
结论：任意圈出的3×3个数中，对角线上三个数的和是中间数的相反数。
(2) 重新圈出第三、四、五行第1、2、3列的9个数：26、-28、30、38、-40、42、50、-52、54，该组的中间数为-40。
计算第一条对角线的和：$26+(-40)+54=40$
计算第二条对角线的和：$30+(-40)+50=40$
所得的和40正好是中间数-40的相反数，因此(1)中的结论仍然成立。（举例不唯一，符合规律即可）
【答案】
(1) $\boldsymbol{-18}$，$\boldsymbol{-18}$；结论：任意圈出的3×3个数中，对角线上三个数的和是中间数的相反数。
(2) 成立，举例验证如上（答案不唯一）。
【知识点】
有理数加减法运算，数字规律探究
【点评】
本题结合数阵考查有理数的加减计算和规律探索能力，解题的关键是准确计算，通过对比计算结果和中间数的关系总结规律，再自主举例验证规律即可。
【难度系数】
0.8
10.【数学游戏】小彬和晓丽做抽卡片游戏，游戏规则如下：
(1)每人抽取4张卡片，如果抽到圆圈卡片，那么加上卡片上的数；如果抽到阴影卡片，那么减去卡片上的数。
(2)比较两人所抽4张卡片的计算结果，结果大的为胜者。
小彬抽到了如图①所示的4张卡片：
晓丽抽到了如图②所示的4张卡片：
获胜的是谁？
(1)每人抽取4张卡片，如果抽到圆圈卡片，那么加上卡片上的数；如果抽到阴影卡片，那么减去卡片上的数。
(2)比较两人所抽4张卡片的计算结果，结果大的为胜者。
小彬抽到了如图①所示的4张卡片：
晓丽抽到了如图②所示的4张卡片：
获胜的是谁？
答案
10.解:小彬的结果是$-(-\frac{1}{2})+(-\frac{3}{2})-(-5)+4=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+5+4=8$。
晓丽的结果是$(-\frac{1}{3})-(-\frac{7}{6})-0+5=-\frac{1}{3}+\frac{7}{6}-0+5=5\frac{5}{6}$。
因为$8＞5\frac{5}{6}$，所以小彬获胜。
晓丽的结果是$(-\frac{1}{3})-(-\frac{7}{6})-0+5=-\frac{1}{3}+\frac{7}{6}-0+5=5\frac{5}{6}$。
因为$8＞5\frac{5}{6}$，所以小彬获胜。
解析
【分析】
解题时首先要明确游戏规则：抽到圆圈卡片则加上卡片上的数，抽到阴影卡片则减去卡片上的数。第一步先根据两人抽到的卡片，分别列出对应的有理数加减混合运算式；第二步依据有理数减法法则，把所有减法运算转化为加法运算，再依次计算出两人的最终结果；第三步比较两个结果的大小，结果更大的一方为获胜者。
【解析】
先计算小彬的计算结果：
根据规则列出算式：$-(-\frac{1}{2})+(-\frac{3}{2})-(-5)+4$
根据有理数减法法则化简得：$\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+5+4$
先计算分数部分：$\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-1$
再计算整体结果：$-1+5+4=8$，即小彬的计算结果为8。
再计算晓丽的计算结果：
根据规则列出算式：$(-\frac{1}{3})-(-\frac{7}{6})-0+5$
根据有理数减法法则化简得：$-\frac{1}{3}+\frac{7}{6}-0+5$
通分计算分数部分：$-\frac{2}{6}+\frac{7}{6}=\frac{5}{6}$
再计算整体结果：$5+\frac{5}{6}=5\frac{5}{6}$，即晓丽的计算结果为$5\frac{5}{6}$。
比较两人结果：$8＞5\frac{5}{6}$，小彬的计算结果更大。
【答案】
小彬获胜
【知识点】
1. 有理数加减混合运算
2. 有理数大小比较
3. 实际问题列式计算
【点评】
本题结合趣味游戏场景考查有理数的相关运算，解题关键是准确理解规则正确列出算式，计算过程中要重点注意去括号时的符号变化，避免因符号处理错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确游戏规则：抽到圆圈卡片则加上卡片上的数，抽到阴影卡片则减去卡片上的数。第一步先根据两人抽到的卡片，分别列出对应的有理数加减混合运算式；第二步依据有理数减法法则，把所有减法运算转化为加法运算，再依次计算出两人的最终结果；第三步比较两个结果的大小，结果更大的一方为获胜者。
【解析】
先计算小彬的计算结果：
根据规则列出算式：$-(-\frac{1}{2})+(-\frac{3}{2})-(-5)+4$
根据有理数减法法则化简得：$\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+5+4$
先计算分数部分：$\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-1$
再计算整体结果：$-1+5+4=8$，即小彬的计算结果为8。
再计算晓丽的计算结果：
根据规则列出算式：$(-\frac{1}{3})-(-\frac{7}{6})-0+5$
根据有理数减法法则化简得：$-\frac{1}{3}+\frac{7}{6}-0+5$
通分计算分数部分：$-\frac{2}{6}+\frac{7}{6}=\frac{5}{6}$
再计算整体结果：$5+\frac{5}{6}=5\frac{5}{6}$，即晓丽的计算结果为$5\frac{5}{6}$。
比较两人结果：$8＞5\frac{5}{6}$，小彬的计算结果更大。
【答案】
小彬获胜
【知识点】
1. 有理数加减混合运算
2. 有理数大小比较
3. 实际问题列式计算
【点评】
本题结合趣味游戏场景考查有理数的相关运算，解题关键是准确理解规则正确列出算式，计算过程中要重点注意去括号时的符号变化，避免因符号处理错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
11.【数学游戏】将－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7这10个数分别填在如图所示的五角星每两条线的交点处（每个交点处只填写一个数）。将每一条线上的四个数相加共得5个数，分别设为$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$，求$\frac{1}{2}(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)$的值。若交换其中任何两数的位置后，$\frac{1}{2}(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)$的值是否改变？请说明理由。
答案
11.25，不改变，理由略
解析
【分析】
解题时首先观察五角星交点的特征：每个交点都是两条直线的公共交点，因此计算五条直线上的数的总和时，每个交点的数都会被重复计算2次。我们不需要分别求出每条直线上四个数的和，只需先计算给出的10个数的总和，再利用“5个线的总和=10个数总和×2”的关系，就能算出要求的式子的值。交换两数的位置时，10个数的总大小不变，每个数的计算次数也不变，因此结果不会改变。
【解析】
1. 先计算-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7这10个数的和：
$\begin{aligned}&-2+(-1)+0+1+2+3+4+5+6+7\\=&(-2+2)+(-1+1)+0+(3+4+5+6+7)\\=&0+0+0+25\\=&25\end{aligned}$
2. 因为五角星的每个交点同时位于2条直线上，所以将5条线上的和相加时，每个数都被计算了2次，即：
$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 = 2×(\mathrm{10个数的总和})=2×25=50$
因此$\frac{1}{2}(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)=\frac{1}{2}×50=25$。
3. 交换任意两数的位置后，10个数的总和不变，且每个数仍然会被计算2次，因此$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$的和不变，对应的$\frac{1}{2}(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)$的值也不会改变。
【答案】
25，不改变
【知识点】
有理数加法运算，整体思想
【点评】
本题将图形特征和有理数运算结合，解题的关键是观察到交点的重复计数规律，不需要逐个计算每条线的和，用整体法即可快速求解，能有效提升观察能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察五角星交点的特征：每个交点都是两条直线的公共交点，因此计算五条直线上的数的总和时，每个交点的数都会被重复计算2次。我们不需要分别求出每条直线上四个数的和，只需先计算给出的10个数的总和，再利用“5个线的总和=10个数总和×2”的关系，就能算出要求的式子的值。交换两数的位置时，10个数的总大小不变，每个数的计算次数也不变，因此结果不会改变。
【解析】
1. 先计算-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7这10个数的和：
$\begin{aligned}&-2+(-1)+0+1+2+3+4+5+6+7\\=&(-2+2)+(-1+1)+0+(3+4+5+6+7)\\=&0+0+0+25\\=&25\end{aligned}$
2. 因为五角星的每个交点同时位于2条直线上，所以将5条线上的和相加时，每个数都被计算了2次，即：
$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 = 2×(\mathrm{10个数的总和})=2×25=50$
因此$\frac{1}{2}(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)=\frac{1}{2}×50=25$。
3. 交换任意两数的位置后，10个数的总和不变，且每个数仍然会被计算2次，因此$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$的和不变，对应的$\frac{1}{2}(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)$的值也不会改变。
【答案】
25，不改变
【知识点】
有理数加法运算，整体思想
【点评】
本题将图形特征和有理数运算结合，解题的关键是观察到交点的重复计数规律，不需要逐个计算每条线的和，用整体法即可快速求解，能有效提升观察能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.6
