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12.在桌上搭有一些大小相同的小立方块，其从正面和从左面看到的形状图如图所示，则要搭出这样的图形至少需要
6
个小立方块，最多需要16
个小立方块。答案
12.6 16
解析
【分析】
要解决这类由两种视图求小立方块个数的问题，首先要明确两种视图对应的几何体特征：主视图反映几何体的列数和每列的最大层数，左视图反映几何体的行数和每行的最大层数。我们分别计算底层和第二层的最少、最多小立方块数量，相加即可得到总个数。首先从主视图可得：几何体共4列，最高2层，只有前2列有第二层；从左视图可得：几何体共3行，最高2层，只有第1、3行有第二层。求最少个数时，尽量让小立方块同时满足行列要求，减少重复放置；求最多个数时，所有符合层要求的行列交叉位置都放置小立方块。
【解析】
1. 分析视图特征：
从正面看：几何体有4列，底层4列均有小立方块，第二层仅第1、2列可放置小立方块；
从左面看：几何体有3行，底层3行均有小立方块，第二层仅第1、3行可放置小立方块。
2. 计算最少需要的小立方块个数：
底层：要覆盖4列、3行，尽量让位置共用，最少放置4个小立方块（保证每列、每行至少1个）；
第二层：要同时满足在第1、2列且在第1、3行，最少放置2个小立方块；
总最少个数：4+2=6。
3. 计算最多需要的小立方块个数：
底层：4列3行的所有交叉位置都可放置，共4×3=12个；
第二层：仅第1、2列和第1、3行的交叉位置可放置，共2×2=4个；
总最多个数：12+4=16。
【答案】
6；16
【知识点】
1. 几何体三视图
2. 主视图的意义
3. 左视图的意义
【点评】
本题考查由两种视图还原几何体的能力，解题关键是理清几何体行、列、层的对应关系，求最少个数时要注意位置共用，求最多个数时要列出所有符合要求的位置，对空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要解决这类由两种视图求小立方块个数的问题，首先要明确两种视图对应的几何体特征：主视图反映几何体的列数和每列的最大层数，左视图反映几何体的行数和每行的最大层数。我们分别计算底层和第二层的最少、最多小立方块数量，相加即可得到总个数。首先从主视图可得：几何体共4列，最高2层，只有前2列有第二层；从左视图可得：几何体共3行，最高2层，只有第1、3行有第二层。求最少个数时，尽量让小立方块同时满足行列要求，减少重复放置；求最多个数时，所有符合层要求的行列交叉位置都放置小立方块。
【解析】
1. 分析视图特征：
从正面看：几何体有4列，底层4列均有小立方块，第二层仅第1、2列可放置小立方块；
从左面看：几何体有3行，底层3行均有小立方块，第二层仅第1、3行可放置小立方块。
2. 计算最少需要的小立方块个数：
底层：要覆盖4列、3行，尽量让位置共用，最少放置4个小立方块（保证每列、每行至少1个）；
第二层：要同时满足在第1、2列且在第1、3行，最少放置2个小立方块；
总最少个数：4+2=6。
3. 计算最多需要的小立方块个数：
底层：4列3行的所有交叉位置都可放置，共4×3=12个；
第二层：仅第1、2列和第1、3行的交叉位置可放置，共2×2=4个；
总最多个数：12+4=16。
【答案】
6；16
【知识点】
1. 几何体三视图
2. 主视图的意义
3. 左视图的意义
【点评】
本题考查由两种视图还原几何体的能力，解题关键是理清几何体行、列、层的对应关系，求最少个数时要注意位置共用，求最多个数时要列出所有符合要求的位置，对空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
13.如图所示的是一个正方体骰子的表面展开图,请根据要求回答问题:
(1)如果1点在上面,3点在左面,那么几点在正面?
(2)如果5点在下面,那么几点在上面?
(1)如果1点在上面,3点在左面,那么几点在正面?
(2)如果5点在下面,那么几点在上面?
答案
13.解:(1)如果1点在上面,3点在左面,那么2点在正面。
(2)如果5点在下面,那么2点在上面。
(2)如果5点在下面,那么2点在上面。
解析
【分析】
解决这道题的核心是先明确正方体展开图中相对的面，用到正方体展开图“相间、Z端是对面”的判断规律。首先观察该展开图属于“一四一”型，先找出所有相对面：中间横向的4个面中，间隔1个的面互为相对面，上下单独的两个面互为相对面。得到相对面后，再结合题目给出的已知面的位置，通过空间想象或相对面的性质推导所求面的点数。
【解析】
首先识别各面的点数，再判断相对面：
1. 中间一行四个面从左到右依次是6点、3点、1点、4点，根据相间为相对面，可得：6点和1点相对，3点和4点相对；
2. 最上方是5点，最下方是2点，二者互为相对面。
(1) 已知1点在上面，则其相对面6点在下面；3点在左面，则其相对面4点在右面。剩余的相邻面为2点和5点，结合展开图折叠后的位置关系，可推出此时正面是2点。
(2) 互为相对面的两个面位置相反，一个在上则另一个在下，已知5点在下面，其相对面是2点，因此2点在上面。
【答案】
(1)如果1点在上面,3点在左面,那么2点在正面。
(2)如果5点在下面,那么2点在上面。
【知识点】
正方体展开图相对面判断、正方体展开图折叠
【点评】
本题重点考查空间想象能力，掌握正方体展开图相对面的判断规律是快速解题的关键，能帮助学生建立立体图形和平面展开图之间的联系。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是先明确正方体展开图中相对的面，用到正方体展开图“相间、Z端是对面”的判断规律。首先观察该展开图属于“一四一”型，先找出所有相对面：中间横向的4个面中，间隔1个的面互为相对面，上下单独的两个面互为相对面。得到相对面后，再结合题目给出的已知面的位置，通过空间想象或相对面的性质推导所求面的点数。
【解析】
首先识别各面的点数，再判断相对面：
1. 中间一行四个面从左到右依次是6点、3点、1点、4点，根据相间为相对面，可得：6点和1点相对，3点和4点相对；
2. 最上方是5点，最下方是2点，二者互为相对面。
(1) 已知1点在上面，则其相对面6点在下面；3点在左面，则其相对面4点在右面。剩余的相邻面为2点和5点，结合展开图折叠后的位置关系，可推出此时正面是2点。
(2) 互为相对面的两个面位置相反，一个在上则另一个在下，已知5点在下面，其相对面是2点，因此2点在上面。
【答案】
(1)如果1点在上面,3点在左面,那么2点在正面。
(2)如果5点在下面,那么2点在上面。
【知识点】
正方体展开图相对面判断、正方体展开图折叠
【点评】
本题重点考查空间想象能力，掌握正方体展开图相对面的判断规律是快速解题的关键，能帮助学生建立立体图形和平面展开图之间的联系。
【难度系数】
0.7
14.画出如图所示的几何体从正面、左面以及上面看到的形状图。
答案
解：
绘制得到的三个方向的形状图特征如下：
1. 从正面看到的形状图：为一个完整的长方形，所有轮廓线均为实线。
2. 从左面看到的形状图：下边缘为水平线段，左右两条边缘为竖直线段，右侧竖边长度大于左侧竖边长度，上边缘为一条从左低向右高延伸的平滑上凸曲线，整体为曲边直角梯形样式。
3. 从上面看到的形状图：为一个完整的长方形，所有轮廓线均为实线。
（按上述特征规范绘制出对应图形即可）
绘制得到的三个方向的形状图特征如下：
1. 从正面看到的形状图：为一个完整的长方形，所有轮廓线均为实线。
2. 从左面看到的形状图：下边缘为水平线段，左右两条边缘为竖直线段，右侧竖边长度大于左侧竖边长度，上边缘为一条从左低向右高延伸的平滑上凸曲线，整体为曲边直角梯形样式。
3. 从上面看到的形状图：为一个完整的长方形，所有轮廓线均为实线。
（按上述特征规范绘制出对应图形即可）
解析
【分析】
解决这类三视图绘制问题，首先要明确三个观察方向：正面即题干标注的箭头方向，左面是从几何体左侧向右观察，上面是从几何体上方向下观察。其次要遵循三视图绘制原则：仅画出观察时可见的轮廓线，可见轮廓用实线绘制。接下来逐个分析各方向的可见轮廓：①正面观察时，几何体朝向正面的面是完整矩形，顶部弧面在正面方向无轮廓变化，因此看到的是完整矩形；②左面观察时，可见左侧短竖棱、右侧长竖棱、底部水平棱，顶部可见的弧形边缘从左低向右高延伸，因此组成曲边梯形；③上面观察时，俯视看到的几何体顶部外轮廓为完整矩形。
【解析】
根据三视图的观察规则，分别绘制三个方向的形状图：
1. 正面视图：观察到的所有可见轮廓组成完整长方形，所有线条均为实线。
2. 左面视图：底部为水平线段，左右两侧为竖直线段，右侧竖线长度大于左侧竖线长度，上边缘为从左向右升高的平滑上凸曲线，整体为曲边直角梯形，可见线条均为实线。
3. 上面视图：观察到的所有可见轮廓组成完整长方形，所有线条均为实线。
按照上述特征规范作图即可。
【答案】
1. 从正面看到的形状图：为一个完整的长方形，所有轮廓线均为实线。
2. 从左面看到的形状图：下边缘为水平线段，左右两条边缘为竖直线段，右侧竖边长度大于左侧竖边长度，上边缘为一条从左低向右高延伸的平滑上凸曲线，整体为曲边直角梯形样式。
3. 从上面看到的形状图：为一个完整的长方形，所有轮廓线均为实线。
（按上述特征规范绘制出对应图形即可）
【知识点】
三视图绘制，视图观察方法，几何体三视图
【点评】
本题考查几何体三视图的绘制，解题时要注意准确把握不同观察方向的可见轮廓，尤其要注意特殊曲面在对应视图中的形状表现，避免遗漏或错画轮廓线。
【难度系数】
0.7
解决这类三视图绘制问题，首先要明确三个观察方向：正面即题干标注的箭头方向，左面是从几何体左侧向右观察，上面是从几何体上方向下观察。其次要遵循三视图绘制原则：仅画出观察时可见的轮廓线，可见轮廓用实线绘制。接下来逐个分析各方向的可见轮廓：①正面观察时，几何体朝向正面的面是完整矩形，顶部弧面在正面方向无轮廓变化，因此看到的是完整矩形；②左面观察时，可见左侧短竖棱、右侧长竖棱、底部水平棱，顶部可见的弧形边缘从左低向右高延伸，因此组成曲边梯形；③上面观察时，俯视看到的几何体顶部外轮廓为完整矩形。
【解析】
根据三视图的观察规则，分别绘制三个方向的形状图：
1. 正面视图：观察到的所有可见轮廓组成完整长方形，所有线条均为实线。
2. 左面视图：底部为水平线段，左右两侧为竖直线段，右侧竖线长度大于左侧竖线长度，上边缘为从左向右升高的平滑上凸曲线，整体为曲边直角梯形，可见线条均为实线。
3. 上面视图：观察到的所有可见轮廓组成完整长方形，所有线条均为实线。
按照上述特征规范作图即可。
【答案】
1. 从正面看到的形状图：为一个完整的长方形，所有轮廓线均为实线。
2. 从左面看到的形状图：下边缘为水平线段，左右两条边缘为竖直线段，右侧竖边长度大于左侧竖边长度，上边缘为一条从左低向右高延伸的平滑上凸曲线，整体为曲边直角梯形样式。
3. 从上面看到的形状图：为一个完整的长方形，所有轮廓线均为实线。
（按上述特征规范绘制出对应图形即可）
【知识点】
三视图绘制，视图观察方法，几何体三视图
【点评】
本题考查几何体三视图的绘制，解题时要注意准确把握不同观察方向的可见轮廓，尤其要注意特殊曲面在对应视图中的形状表现，避免遗漏或错画轮廓线。
【难度系数】
0.7
15.如图,某同学在制作正方体模型的时候,在方格纸上画出几个小正方形(图中阴影部分),但是由于疏忽,少画了一个。请你补上一个,使之可以折成正方体。你有几种画法?在图上用阴影注明。
答案
15.解:画图如图所示,共有四种画法。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要熟练掌握正方体展开图的特征：能折叠成正方体的展开图不能出现“田”字格、“凹”字形的结构，常见的正方体展开图有“一四一”“一三二”“三三”“二二二”这几种类型。现在图中已经有5个阴影小正方形，我们只需要逐一排查空白位置，补上一个小正方形后整体符合正方体展开图的要求即可，数出所有符合要求的位置就能得到答案。
【解析】
第一步：明确正方体展开图的判定规则：①不存在“田”字形、“凹”字形结构；②符合常见的几类正方体展开图的结构特征。
第二步：观察现有阴影部分的结构，共有5个小正方形，需要补充1个，我们逐一排查空白位置：
1. 在从上数第1行、左数第2列补阴影，整体属于合法的正方体展开图；
2. 在从上数第1行、左数第3列补阴影，整体属于合法的正方体展开图；
3. 在从上数第1行、左数第4列补阴影，整体属于合法的正方体展开图；
4. 在从上数第3行、左数第6列补阴影，整体属于合法的正方体展开图。
其余位置补上后要么出现“田”字结构，要么无法形成合法展开图，因此共有4种画法。
【答案】
【知识点】
正方体展开图；立体图形折叠
【点评】
本题主要考查正方体展开图的相关知识，解题的关键是熟记正方体展开图的常见类型以及不能折叠成正方体的结构特征，做题时要有序排查，避免漏解或者多解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要熟练掌握正方体展开图的特征：能折叠成正方体的展开图不能出现“田”字格、“凹”字形的结构，常见的正方体展开图有“一四一”“一三二”“三三”“二二二”这几种类型。现在图中已经有5个阴影小正方形，我们只需要逐一排查空白位置，补上一个小正方形后整体符合正方体展开图的要求即可，数出所有符合要求的位置就能得到答案。
【解析】
第一步：明确正方体展开图的判定规则：①不存在“田”字形、“凹”字形结构；②符合常见的几类正方体展开图的结构特征。
第二步：观察现有阴影部分的结构，共有5个小正方形，需要补充1个，我们逐一排查空白位置：
1. 在从上数第1行、左数第2列补阴影，整体属于合法的正方体展开图；
2. 在从上数第1行、左数第3列补阴影，整体属于合法的正方体展开图；
3. 在从上数第1行、左数第4列补阴影，整体属于合法的正方体展开图；
4. 在从上数第3行、左数第6列补阴影，整体属于合法的正方体展开图。
其余位置补上后要么出现“田”字结构，要么无法形成合法展开图，因此共有4种画法。
【答案】
【知识点】
正方体展开图；立体图形折叠
【点评】
本题主要考查正方体展开图的相关知识，解题的关键是熟记正方体展开图的常见类型以及不能折叠成正方体的结构特征，做题时要有序排查，避免漏解或者多解。
【难度系数】
0.7
16.如图所示的是从三个不同方向看一个几何体得到的形状图。
(1)写出这个几何体的名称；
(2)画出它的一种表面展开图；
(3)若从正面看，高为6 cm，从上面看，三角形的边长都为4 cm，求这个几何体的侧面积。
(1)写出这个几何体的名称；
(2)画出它的一种表面展开图；
(3)若从正面看，高为6 cm，从上面看，三角形的边长都为4 cm，求这个几何体的侧面积。
答案
16.(1)三棱柱
(2)略
(3)72 cm²
(2)略
(3)72 cm²
解析
【分析】
(1) 判断几何体时，先从俯视图确定底面的形状为三角形，再结合主视图、左视图都是矩形，可知该几何体是底面为三角形的柱体，即三棱柱。
(2) 画表面展开图时，依据三棱柱的结构，它有2个全等的三角形底面和3个矩形侧面，展开后包含这5个面即可，画法不唯一。
(3) 计算侧面积时，先明确三棱柱的3个侧面是完全相同的长方形，长方形的长为几何体的高6cm，宽为底面三角形的边长4cm，先求出1个侧面的面积，再乘3就能得到总侧面积。
【解析】
(1) 由三视图特征：俯视图为三角形，主视图和左视图均为矩形，可得该几何体是三棱柱。
(2) 表面展开图由2个全等的三角形和3个矩形连接组成，画图即可（画法不唯一）。
(3) 该三棱柱的侧面是3个长为6cm、宽为4cm的长方形，
单个侧面面积：$6×4=24(\mathrm{cm}^2)$，
总侧面积：$3×24=72(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1)三棱柱
(2)略
(3)$72\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三视图判断几何体，几何体展开图，三棱柱侧面积计算
【点评】
本题综合考查三视图的识别、几何体展开图的认识和侧面积的计算，核心是掌握常见几何体的三视图特征，侧面积计算时要明确侧面的形状和对应边长。
【难度系数】
0.8
(1) 判断几何体时，先从俯视图确定底面的形状为三角形，再结合主视图、左视图都是矩形，可知该几何体是底面为三角形的柱体，即三棱柱。
(2) 画表面展开图时，依据三棱柱的结构，它有2个全等的三角形底面和3个矩形侧面，展开后包含这5个面即可，画法不唯一。
(3) 计算侧面积时，先明确三棱柱的3个侧面是完全相同的长方形，长方形的长为几何体的高6cm，宽为底面三角形的边长4cm，先求出1个侧面的面积，再乘3就能得到总侧面积。
【解析】
(1) 由三视图特征：俯视图为三角形，主视图和左视图均为矩形，可得该几何体是三棱柱。
(2) 表面展开图由2个全等的三角形和3个矩形连接组成，画图即可（画法不唯一）。
(3) 该三棱柱的侧面是3个长为6cm、宽为4cm的长方形，
单个侧面面积：$6×4=24(\mathrm{cm}^2)$，
总侧面积：$3×24=72(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1)三棱柱
(2)略
(3)$72\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三视图判断几何体，几何体展开图，三棱柱侧面积计算
【点评】
本题综合考查三视图的识别、几何体展开图的认识和侧面积的计算，核心是掌握常见几何体的三视图特征，侧面积计算时要明确侧面的形状和对应边长。
【难度系数】
0.8
