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9. 已知点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$都在直线$y=2x-1$上，且$x_1＜x_2＜x_3$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为(
A.$y_1＜y_3＜y_2$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_2＜y_1＜y_3$
D.$y_1＜y_2＜y_3$
D
)。A.$y_1＜y_3＜y_2$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_2＜y_1＜y_3$
D.$y_1＜y_2＜y_3$
答案
9.D
解析
【分析】
要判断$y_1,y_2,y_3$的大小关系，首先需明确一次函数的增减性规律：对于一次函数$y=kx+b(k≠0)$，当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。本题先从给定的直线解析式中确定$k$的正负，得到函数增减性后，再结合$x_1＜x_2＜x_3$的条件，即可推出$y$值的大小关系。
【解析】
已知直线解析式为$y=2x-1$，其中$k=2＞0$，因此该一次函数的$y$值随$x$的增大而增大。
又因为题目给出$x_1＜x_2＜x_3$，根据函数的增减性可得：$y_1＜y_2＜y_3$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的增减性
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用，核心是掌握一次函数中$k$的正负与函数增减性的对应关系，无需复杂计算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要判断$y_1,y_2,y_3$的大小关系，首先需明确一次函数的增减性规律：对于一次函数$y=kx+b(k≠0)$，当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。本题先从给定的直线解析式中确定$k$的正负，得到函数增减性后，再结合$x_1＜x_2＜x_3$的条件，即可推出$y$值的大小关系。
【解析】
已知直线解析式为$y=2x-1$，其中$k=2＞0$，因此该一次函数的$y$值随$x$的增大而增大。
又因为题目给出$x_1＜x_2＜x_3$，根据函数的增减性可得：$y_1＜y_2＜y_3$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的增减性
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用，核心是掌握一次函数中$k$的正负与函数增减性的对应关系，无需复杂计算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
10. 由如图所示的计算程序可知，y与x之间的函数图象应为(
D
)。答案
10.D
解析
【分析】
解题时首先需根据给出的计算程序，逐步推导得到y与x的函数关系式，再结合一次函数的图象性质，求出函数与x轴、y轴的交点坐标，最后对照四个选项的图象，找到符合交点特征的选项即可。
【解析】
根据计算程序的运算步骤：
1. 输入x后取相反数得$-x$；
2. 乘2得$-x × 2 = -2x$；
3. 加4得最终结果$y = -2x + 4$，即y与x的函数关系式为$y=-2x+4$。
接下来求该一次函数与坐标轴的交点：
当$x=0$时，$y=4$，即函数与y轴交点为$(0,4)$；
当$y=0$时，代入得$0=-2x+4$，解得$x=2$，即函数与x轴交点为$(2,0)$。
观察选项：只有D选项的直线同时过$(0,4)$和$(2,0)$，符合函数图象特征。
【答案】
D
【知识点】
一次函数解析式、一次函数图象、一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题结合程序框图考查一次函数的相关知识，需要先根据运算规则推导函数解析式，再结合一次函数图象的交点特征判断对应图象，是一次函数部分的基础综合题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先需根据给出的计算程序，逐步推导得到y与x的函数关系式，再结合一次函数的图象性质，求出函数与x轴、y轴的交点坐标，最后对照四个选项的图象，找到符合交点特征的选项即可。
【解析】
根据计算程序的运算步骤：
1. 输入x后取相反数得$-x$；
2. 乘2得$-x × 2 = -2x$；
3. 加4得最终结果$y = -2x + 4$，即y与x的函数关系式为$y=-2x+4$。
接下来求该一次函数与坐标轴的交点：
当$x=0$时，$y=4$，即函数与y轴交点为$(0,4)$；
当$y=0$时，代入得$0=-2x+4$，解得$x=2$，即函数与x轴交点为$(2,0)$。
观察选项：只有D选项的直线同时过$(0,4)$和$(2,0)$，符合函数图象特征。
【答案】
D
【知识点】
一次函数解析式、一次函数图象、一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题结合程序框图考查一次函数的相关知识，需要先根据运算规则推导函数解析式，再结合一次函数图象的交点特征判断对应图象，是一次函数部分的基础综合题型。
【难度系数】
0.7
11. 在同一平面直角坐标系内，一次函数$y=ax+b$与$y=bx+a$的图象可能是(
B
)。答案
11.B
解析
【分析】
要判断两个一次函数的图象是否匹配，需先明确一次函数$y=kx+c$（$k≠0$）的图象性质：$k$的符号决定直线倾斜方向，$k＞0$时直线经过一、三象限（从左下向右上倾斜），$k＜0$时直线经过二、四象限（从左上向右下倾斜）；$c$的符号决定直线与$y$轴的交点位置，$c＞0$时交点在$y$轴正半轴，$c＜0$时交点在$y$轴负半轴。本题中两个函数的系数$a$、$b$互换，只需逐项验证每个选项中两条直线对应的$a$、$b$符号是否一致即可。
【解析】
对于一次函数$y=ax+b$：斜率为$a$，$y$轴截距为$b$；对于$y=bx+a$：斜率为$b$，$y$轴截距为$a$，逐项分析：
选项A：一条直线斜率为正、截距为正，说明对应$k＞0,c＞0$；另一条直线斜率为负、截距为正，说明对应$k＜0,c＞0$。若前者为$y=ax+b$，则$a＞0,b＞0$，此时$y=bx+a$的斜率$b＞0$，应为上升直线，与选项中下降直线矛盾，排除A。
选项B：上升直线斜率为正、截距为负，说明$k＞0,c＜0$；下降直线斜率为负、截距为正，说明$k＜0,c＞0$。若上升直线为$y=ax+b$，可得$a＞0,b＜0$；此时$y=bx+a$的斜率$b＜0$（符合下降特征），截距$a＞0$（符合交$y$轴正半轴的特征），符号完全一致，符合要求。
选项C：上升直线斜率为正、截距为正，可得对应$k＞0,c＞0$，即$a,b$都为正，此时另一条直线斜率也应为正，但选项中另一条直线斜率为负，矛盾，排除C。
选项D：两条直线斜率均为负，说明$a＜0,b＜0$，则两条直线的截距$b,a$也均为负，都应交于$y$轴负半轴，但选项中有一条直线交于$y$轴正半轴，矛盾，排除D。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与系数的关系
【点评】
本题是一次函数图象的基础典型题，核心考查一次函数中斜率和截距的几何意义，通过逐项排除法即可快速得出答案，解题时要注意两个函数的系数是互换的，需对应准确，避免混淆。
【难度系数】
0.7
要判断两个一次函数的图象是否匹配，需先明确一次函数$y=kx+c$（$k≠0$）的图象性质：$k$的符号决定直线倾斜方向，$k＞0$时直线经过一、三象限（从左下向右上倾斜），$k＜0$时直线经过二、四象限（从左上向右下倾斜）；$c$的符号决定直线与$y$轴的交点位置，$c＞0$时交点在$y$轴正半轴，$c＜0$时交点在$y$轴负半轴。本题中两个函数的系数$a$、$b$互换，只需逐项验证每个选项中两条直线对应的$a$、$b$符号是否一致即可。
【解析】
对于一次函数$y=ax+b$：斜率为$a$，$y$轴截距为$b$；对于$y=bx+a$：斜率为$b$，$y$轴截距为$a$，逐项分析：
选项A：一条直线斜率为正、截距为正，说明对应$k＞0,c＞0$；另一条直线斜率为负、截距为正，说明对应$k＜0,c＞0$。若前者为$y=ax+b$，则$a＞0,b＞0$，此时$y=bx+a$的斜率$b＞0$，应为上升直线，与选项中下降直线矛盾，排除A。
选项B：上升直线斜率为正、截距为负，说明$k＞0,c＜0$；下降直线斜率为负、截距为正，说明$k＜0,c＞0$。若上升直线为$y=ax+b$，可得$a＞0,b＜0$；此时$y=bx+a$的斜率$b＜0$（符合下降特征），截距$a＞0$（符合交$y$轴正半轴的特征），符号完全一致，符合要求。
选项C：上升直线斜率为正、截距为正，可得对应$k＞0,c＞0$，即$a,b$都为正，此时另一条直线斜率也应为正，但选项中另一条直线斜率为负，矛盾，排除C。
选项D：两条直线斜率均为负，说明$a＜0,b＜0$，则两条直线的截距$b,a$也均为负，都应交于$y$轴负半轴，但选项中有一条直线交于$y$轴正半轴，矛盾，排除D。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与系数的关系
【点评】
本题是一次函数图象的基础典型题，核心考查一次函数中斜率和截距的几何意义，通过逐项排除法即可快速得出答案，解题时要注意两个函数的系数是互换的，需对应准确，避免混淆。
【难度系数】
0.7
12. 一次函数 $y=(k-3)x^{|k|-2}+2$ 的图象不经过（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）。A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
12.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要根据一次函数的定义求出参数k的取值，再代入得到具体的一次函数解析式，最后根据一次函数的图象与性质判断图象不经过的象限。解题步骤如下：第一步回忆一次函数的定义特征：自变量的次数为1，且一次项系数不为0，据此列方程和不等式求k；第二步代入k得到函数式，结合k、b的正负判断图象经过的象限即可。
【解析】
∵ 函数$y=(k-3)x^{|k|-2}+2$是一次函数
∴ 满足两个条件：
1. 自变量x的次数为1，即$|k|-2=1$，解得$|k|=3$，即$k=3$或$k=-3$
2. 一次项系数不为0，即$k-3≠0$，解得$k≠3$
综上可得$k=-3$
将$k=-3$代入原函数，得解析式为：
$y=(-3-3)x+2=-6x+2$
在一次函数$y=-6x+2$中，$k=-6＜0$，$b=2＞0$
根据一次函数图象性质：当$k＜0$，$b＞0$时，函数图象经过第一、二、四象限
∴ 该函数图象不经过第三象限
【答案】
C
【知识点】
一次函数的定义；一次函数的图象与性质
【点评】
本题核心考查一次函数的定义和图象性质，解题的关键是牢记一次函数对自变量次数和系数的要求，再结合k、b的符号快速判断图象经过的象限，是对基础知识点应用的考查。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要根据一次函数的定义求出参数k的取值，再代入得到具体的一次函数解析式，最后根据一次函数的图象与性质判断图象不经过的象限。解题步骤如下：第一步回忆一次函数的定义特征：自变量的次数为1，且一次项系数不为0，据此列方程和不等式求k；第二步代入k得到函数式，结合k、b的正负判断图象经过的象限即可。
【解析】
∵ 函数$y=(k-3)x^{|k|-2}+2$是一次函数
∴ 满足两个条件：
1. 自变量x的次数为1，即$|k|-2=1$，解得$|k|=3$，即$k=3$或$k=-3$
2. 一次项系数不为0，即$k-3≠0$，解得$k≠3$
综上可得$k=-3$
将$k=-3$代入原函数，得解析式为：
$y=(-3-3)x+2=-6x+2$
在一次函数$y=-6x+2$中，$k=-6＜0$，$b=2＞0$
根据一次函数图象性质：当$k＜0$，$b＞0$时，函数图象经过第一、二、四象限
∴ 该函数图象不经过第三象限
【答案】
C
【知识点】
一次函数的定义；一次函数的图象与性质
【点评】
本题核心考查一次函数的定义和图象性质，解题的关键是牢记一次函数对自变量次数和系数的要求，再结合k、b的符号快速判断图象经过的象限，是对基础知识点应用的考查。
【难度系数】
0.7
13. 已知直线 $y=(1-3k)x+2k-1$。
(1)当k为何值时，直线过原点？
(2)当k为何值时，直线与y轴的交点坐标是$(0,-2)$？
(3)当k为何值时，直线与x轴交于点$(\frac{3}{4},0)$？
(4)当k为何值时，该直线与直线 $y=-3x-5$平行？
(1)当k为何值时，直线过原点？
(2)当k为何值时，直线与y轴的交点坐标是$(0,-2)$？
(3)当k为何值时，直线与x轴交于点$(\frac{3}{4},0)$？
(4)当k为何值时，该直线与直线 $y=-3x-5$平行？
答案
13.解:(1)当 $2k-1=0$ 时,$k=\frac{1}{2}$,此时直线过原点。
(2)当 $x=0$ 时,$y=-2$,即 $2k-1=-2$,解得 $k=-\frac{1}{2}$,此时直线与 $y$ 轴的交点坐标是$(0,-2)$。
(3)当 $x=\frac{3}{4}$ 时,$y=0$,即 $0=\frac{3}{4}(1-3k)+2k-1$,解得$k=-1$,此时直线与 $x$ 轴交于点$(\frac{3}{4},0)$。
(4)当 $1-3k=-3$,且 $2k-1≠-5$,即 $k=\frac{4}{3}$ 时,该直线与直线 $y=-3x-5$ 平行。
(2)当 $x=0$ 时,$y=-2$,即 $2k-1=-2$,解得 $k=-\frac{1}{2}$,此时直线与 $y$ 轴的交点坐标是$(0,-2)$。
(3)当 $x=\frac{3}{4}$ 时,$y=0$,即 $0=\frac{3}{4}(1-3k)+2k-1$,解得$k=-1$,此时直线与 $x$ 轴交于点$(\frac{3}{4},0)$。
(4)当 $1-3k=-3$,且 $2k-1≠-5$,即 $k=\frac{4}{3}$ 时,该直线与直线 $y=-3x-5$ 平行。
解析
【分析】
本题围绕一次函数的基础性质设问，各小问解题思路如下：
(1) 直线过原点意味着点(0,0)在直线上，将x=0、y=0代入解析式，可得常数项为0，列方程求解即可；
(2) 直线与y轴交点为(0,-2)，即x=0时y=-2，代入解析式可得常数项等于-2，列方程求解；
(3) 直线过点$(\frac{3}{4},0)$，直接把该点的横、纵坐标代入直线解析式，得到关于k的一元一次方程，解方程即可；
(4) 两条直线平行的条件是：一次项系数相等，且常数项不相等（避免两直线重合），据此列等式和不等式求解即可。
【解析】
解：(1) 若直线过原点，则x=0时y=0，代入解析式得：
$2k-1=0$
解得$k=\frac{1}{2}$。
(2) 若直线与y轴交点为(0,-2)，则x=0时y=-2，代入解析式得：
$2k-1=-2$
解得$k=-\frac{1}{2}$。
(3) 若直线与x轴交于$(\frac{3}{4},0)$，将$x=\frac{3}{4},y=0$代入解析式得：
$0=\frac{3}{4}(1-3k)+2k-1$
去括号：$0=\frac{3}{4}-\frac{9}{4}k+2k-1$
合并同类项：$0=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}k$
解得$k=-1$。
(4) 若直线与$y=-3x-5$平行，需满足一次项系数相等、常数项不相等：
即$\begin{cases}1-3k=-3\\2k-1≠-5\end{cases}$
解$1-3k=-3$得$k=\frac{4}{3}$，代入验证$2×\frac{4}{3}-1=\frac{5}{3}≠-5$，符合要求，故$k=\frac{4}{3}$。
【答案】
(1)$k=\frac{1}{2}$；(2)$k=-\frac{1}{2}$；(3)$k=-1$；(4)$k=\frac{4}{3}$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；两直线平行的条件
【点评】
本题属于一次函数基础题型，解题核心是掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，牢记两直线平行的判定规则，计算时注意符号问题即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题围绕一次函数的基础性质设问，各小问解题思路如下：
(1) 直线过原点意味着点(0,0)在直线上，将x=0、y=0代入解析式，可得常数项为0，列方程求解即可；
(2) 直线与y轴交点为(0,-2)，即x=0时y=-2，代入解析式可得常数项等于-2，列方程求解；
(3) 直线过点$(\frac{3}{4},0)$，直接把该点的横、纵坐标代入直线解析式，得到关于k的一元一次方程，解方程即可；
(4) 两条直线平行的条件是：一次项系数相等，且常数项不相等（避免两直线重合），据此列等式和不等式求解即可。
【解析】
解：(1) 若直线过原点，则x=0时y=0，代入解析式得：
$2k-1=0$
解得$k=\frac{1}{2}$。
(2) 若直线与y轴交点为(0,-2)，则x=0时y=-2，代入解析式得：
$2k-1=-2$
解得$k=-\frac{1}{2}$。
(3) 若直线与x轴交于$(\frac{3}{4},0)$，将$x=\frac{3}{4},y=0$代入解析式得：
$0=\frac{3}{4}(1-3k)+2k-1$
去括号：$0=\frac{3}{4}-\frac{9}{4}k+2k-1$
合并同类项：$0=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}k$
解得$k=-1$。
(4) 若直线与$y=-3x-5$平行，需满足一次项系数相等、常数项不相等：
即$\begin{cases}1-3k=-3\\2k-1≠-5\end{cases}$
解$1-3k=-3$得$k=\frac{4}{3}$，代入验证$2×\frac{4}{3}-1=\frac{5}{3}≠-5$，符合要求，故$k=\frac{4}{3}$。
【答案】
(1)$k=\frac{1}{2}$；(2)$k=-\frac{1}{2}$；(3)$k=-1$；(4)$k=\frac{4}{3}$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；两直线平行的条件
【点评】
本题属于一次函数基础题型，解题核心是掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，牢记两直线平行的判定规则，计算时注意符号问题即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
14.【综合与实践】阅读下面的材料：
在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义。下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数 $ y = k_1x + b_1 $ 的图象为直线 $ l_1 $，一次函数 $ y = k_2x + b_2 $ 的图象为直线 $ l_2 $，若 $ k_1 = k_2 $，且 $ b_1 ≠ b_2 $，我们就称直线 $ l_1 $ 与直线 $ l_2 $ 互相平行。已知一次函数 $ y = -2x $ 的图象为直线 $ l_1 $，过点 $ P(1,4) $ 且与已知直线 $ l_1 $ 平行的直线为 $ l_2 $。
解答下面的问题：
(1) 求 $ l_2 $ 的函数表达式；
(2) 设直线 $ l_2 $ 分别与 $ y $ 轴、$ x $ 轴交于点 $ A,B $，过坐标原点 $ O $ 作 $ OC ⊥ AB $，垂足为 $ C $，求两平行线 $ l_1 $ 和 $ l_2 $ 之间的距离；
(3) 在(2)的条件下，若 $ Q $ 为线段 $ OA $ 上一动点，求 $ QP + QB $ 的长度的最小值，并求取得最小值时点 $ Q $ 的坐标；
(4) 在(2)的条件下，在 $ x $ 轴上找一点 $ M $，使 $ △ BMP $ 为以 $ PB $ 为腰的等腰三角形，请直接写出点 $ M $ 的坐标。
在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义。下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数 $ y = k_1x + b_1 $ 的图象为直线 $ l_1 $，一次函数 $ y = k_2x + b_2 $ 的图象为直线 $ l_2 $，若 $ k_1 = k_2 $，且 $ b_1 ≠ b_2 $，我们就称直线 $ l_1 $ 与直线 $ l_2 $ 互相平行。已知一次函数 $ y = -2x $ 的图象为直线 $ l_1 $，过点 $ P(1,4) $ 且与已知直线 $ l_1 $ 平行的直线为 $ l_2 $。
解答下面的问题：
(1) 求 $ l_2 $ 的函数表达式；
(2) 设直线 $ l_2 $ 分别与 $ y $ 轴、$ x $ 轴交于点 $ A,B $，过坐标原点 $ O $ 作 $ OC ⊥ AB $，垂足为 $ C $，求两平行线 $ l_1 $ 和 $ l_2 $ 之间的距离；
(3) 在(2)的条件下，若 $ Q $ 为线段 $ OA $ 上一动点，求 $ QP + QB $ 的长度的最小值，并求取得最小值时点 $ Q $ 的坐标；
(4) 在(2)的条件下，在 $ x $ 轴上找一点 $ M $，使 $ △ BMP $ 为以 $ PB $ 为腰的等腰三角形，请直接写出点 $ M $ 的坐标。
答案
14.解:(1)因为 $l_2// l_1$,
所以设直线 $l_2$ 的函数表达式为
$y=-2x+b(b≠0)$。
把点 $P$ 的坐标$(1,4)$代入，
得 $4=-2+b$,
所以 $b=6$,
所以 $l_2$ 的函数表达式为 $y=-2x+6$。
(2)直线 $l_2$ 分别与 $y$ 轴、$x$ 轴交于点 $A,B$,它们的坐标分别为$(0,6),(3,0)$,所以 $OA=6,OB=3$,则 $AB=3\sqrt{5}$。
因为 $OA· OB=AB· OC$,
所以 $OC=\frac{6\sqrt{5}}{5}$,
即两平行线 $l_1$ 和 $l_2$ 之间的距离为 $\frac{6\sqrt{5}}{5}$。
(3)点 $B$ 关于 $y$ 轴对称的点为 $B'(-3,0)$,连接 $B'P$ 交$y$ 轴于点 $Q$,此时 $QP+QB$ 的长度最小，
所以 $QP+QB$ 的长度的最小值为 $B'P$ 的长度，
易得 $B'P=4\sqrt{2}$。
由 $P(1,4),B'(-3,0)$ 得直线 $B'P$ 的表达式为 $y=x+3$,
所以点 $Q$ 的坐标是$(0,3)$。
(4)点 $M$ 的坐标为$(-1,0)$或$(3+2\sqrt{5},0)$或$(3-2\sqrt{5},0)$。
所以设直线 $l_2$ 的函数表达式为
$y=-2x+b(b≠0)$。
把点 $P$ 的坐标$(1,4)$代入，
得 $4=-2+b$,
所以 $b=6$,
所以 $l_2$ 的函数表达式为 $y=-2x+6$。
(2)直线 $l_2$ 分别与 $y$ 轴、$x$ 轴交于点 $A,B$,它们的坐标分别为$(0,6),(3,0)$,所以 $OA=6,OB=3$,则 $AB=3\sqrt{5}$。
因为 $OA· OB=AB· OC$,
所以 $OC=\frac{6\sqrt{5}}{5}$,
即两平行线 $l_1$ 和 $l_2$ 之间的距离为 $\frac{6\sqrt{5}}{5}$。
(3)点 $B$ 关于 $y$ 轴对称的点为 $B'(-3,0)$,连接 $B'P$ 交$y$ 轴于点 $Q$,此时 $QP+QB$ 的长度最小，
所以 $QP+QB$ 的长度的最小值为 $B'P$ 的长度，
易得 $B'P=4\sqrt{2}$。
由 $P(1,4),B'(-3,0)$ 得直线 $B'P$ 的表达式为 $y=x+3$,
所以点 $Q$ 的坐标是$(0,3)$。
(4)点 $M$ 的坐标为$(-1,0)$或$(3+2\sqrt{5},0)$或$(3-2\sqrt{5},0)$。
解析
【分析】
(1) 根据题目给出的直线平行的定义，互相平行的一次函数图象斜率k相等，因此直线$l_2$的$k$值与$l_1$的$k=-2$相等，先设出$l_2$的解析式，再将点$P(1,4)$代入即可求出未知参数$b$，得到解析式。
(2) 先求出$l_2$与坐标轴的交点$A$、$B$的坐标，得到$OA$、$OB$的长度，用勾股定理计算出$AB$的长。由于$l_1$过原点，两平行线的距离等于原点到$l_2$的垂线段$OC$的长度，利用$△ AOB$的面积的两种计算方式列等式，即可求出$OC$的长度。
(3) 本题属于将军饮马最短路径问题，利用对称性质转化线段长度：找到点$B$关于$y$轴的对称点$B'$，则$QB=QB'$，因此$QP+QB=QP+QB'$，当$B'$、$Q$、$P$三点共线时，和最小，最小值为$B'P$的长度，再求直线$B'P$的解析式，与$y$轴的交点即为点$Q$。
(4) 等腰三角形以$PB$为腰，需分两种情况讨论：① $PB=BM$，先计算$PB$的长度，在$x$轴上找与$B$点距离等于$PB$的点；② $PB=PM$，即$M$到$P$、$B$的距离相等，结合$M$在$x$轴上求解即可，注意不要遗漏解。
【解析】
(1) 因为$l_2// l_1$，所以设直线$l_2$的函数表达式为$y=-2x+b(b≠0)$。把点$P(1,4)$代入解析式，得$4=-2×1+b$，解得$b=6$，因此$l_2$的函数表达式为$y=-2x+6$。
(2) 对于$y=-2x+6$，令$x=0$，得$y=6$，即$A(0,6)$；令$y=0$，得$x=3$，即$B(3,0)$，因此$OA=6$，$OB=3$。由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$。$△ AOB$的面积可表示为$\frac{1}{2}OA· OB$，也可表示为$\frac{1}{2}AB· OC$，因此$OA· OB=AB· OC$，代入得$6×3=3\sqrt{5}· OC$，解得$OC=\frac{6\sqrt{5}}{5}$，即两平行线$l_1$和$l_2$之间的距离为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$。
(3) 取点$B$关于$y$轴的对称点$B'(-3,0)$，连接$B'P$交$y$轴于点$Q$，由对称性质得$QB=QB'$，此时$QP+QB=QP+QB'=B'P$，长度最小。由勾股定理得$B'P=\sqrt{(1+3)^2+(4-0)^2}=4\sqrt{2}$，即$QP+QB$的最小值为$4\sqrt{2}$。设直线$B'P$的解析式为$y=mx+n$，代入$P(1,4)$、$B'(-3,0)$得$\begin{cases}m+n=4\\-3m+n=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=1\\n=3\end{cases}$，因此直线$B'P$的解析式为$y=x+3$，令$x=0$得$y=3$，即点$Q$的坐标为$(0,3)$。
(4) 先计算$PB$的长度：$PB=\sqrt{(1-3)^2+(4-0)^2}=2\sqrt{5}$。分两种情况：① 当$PB=BM$时，$BM=2\sqrt{5}$，因为$B(3,0)$，所以$M$的坐标为$(3+2\sqrt{5},0)$或$(3-2\sqrt{5},0)$；② 当$PB=PM$时，设$M(a,0)$，则$\sqrt{(a-1)^2+(0-4)^2}=2\sqrt{5}$，解得$a=-1$或$a=3$（$a=3$与点$B$重合，舍去），因此$M(-1,0)$。综上，点$M$的坐标为$(-1,0)$或$(3+2\sqrt{5},0)$或$(3-2\sqrt{5},0)$。
【答案】
(1) $y=-2x+6$
(2) $\frac{6\sqrt{5}}{5}$
(3) 最小值为$4\sqrt{2}$，点$Q$坐标为$(0,3)$
(4) $(-1,0)$或$(3+2\sqrt{5},0)$或$(3-2\sqrt{5},0)$
【知识点】
一次函数的性质，最短路径模型，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，结合了直线平行的性质、平行线间距离、最短路径、等腰三角形判定等多个考点，解题时要熟练运用对应的几何模型，分类讨论类问题要注意考虑所有情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 根据题目给出的直线平行的定义，互相平行的一次函数图象斜率k相等，因此直线$l_2$的$k$值与$l_1$的$k=-2$相等，先设出$l_2$的解析式，再将点$P(1,4)$代入即可求出未知参数$b$，得到解析式。
(2) 先求出$l_2$与坐标轴的交点$A$、$B$的坐标，得到$OA$、$OB$的长度，用勾股定理计算出$AB$的长。由于$l_1$过原点，两平行线的距离等于原点到$l_2$的垂线段$OC$的长度，利用$△ AOB$的面积的两种计算方式列等式，即可求出$OC$的长度。
(3) 本题属于将军饮马最短路径问题，利用对称性质转化线段长度：找到点$B$关于$y$轴的对称点$B'$，则$QB=QB'$，因此$QP+QB=QP+QB'$，当$B'$、$Q$、$P$三点共线时，和最小，最小值为$B'P$的长度，再求直线$B'P$的解析式，与$y$轴的交点即为点$Q$。
(4) 等腰三角形以$PB$为腰，需分两种情况讨论：① $PB=BM$，先计算$PB$的长度，在$x$轴上找与$B$点距离等于$PB$的点；② $PB=PM$，即$M$到$P$、$B$的距离相等，结合$M$在$x$轴上求解即可，注意不要遗漏解。
【解析】
(1) 因为$l_2// l_1$，所以设直线$l_2$的函数表达式为$y=-2x+b(b≠0)$。把点$P(1,4)$代入解析式，得$4=-2×1+b$，解得$b=6$，因此$l_2$的函数表达式为$y=-2x+6$。
(2) 对于$y=-2x+6$，令$x=0$，得$y=6$，即$A(0,6)$；令$y=0$，得$x=3$，即$B(3,0)$，因此$OA=6$，$OB=3$。由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$。$△ AOB$的面积可表示为$\frac{1}{2}OA· OB$，也可表示为$\frac{1}{2}AB· OC$，因此$OA· OB=AB· OC$，代入得$6×3=3\sqrt{5}· OC$，解得$OC=\frac{6\sqrt{5}}{5}$，即两平行线$l_1$和$l_2$之间的距离为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$。
(3) 取点$B$关于$y$轴的对称点$B'(-3,0)$，连接$B'P$交$y$轴于点$Q$，由对称性质得$QB=QB'$，此时$QP+QB=QP+QB'=B'P$，长度最小。由勾股定理得$B'P=\sqrt{(1+3)^2+(4-0)^2}=4\sqrt{2}$，即$QP+QB$的最小值为$4\sqrt{2}$。设直线$B'P$的解析式为$y=mx+n$，代入$P(1,4)$、$B'(-3,0)$得$\begin{cases}m+n=4\\-3m+n=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=1\\n=3\end{cases}$，因此直线$B'P$的解析式为$y=x+3$，令$x=0$得$y=3$，即点$Q$的坐标为$(0,3)$。
(4) 先计算$PB$的长度：$PB=\sqrt{(1-3)^2+(4-0)^2}=2\sqrt{5}$。分两种情况：① 当$PB=BM$时，$BM=2\sqrt{5}$，因为$B(3,0)$，所以$M$的坐标为$(3+2\sqrt{5},0)$或$(3-2\sqrt{5},0)$；② 当$PB=PM$时，设$M(a,0)$，则$\sqrt{(a-1)^2+(0-4)^2}=2\sqrt{5}$，解得$a=-1$或$a=3$（$a=3$与点$B$重合，舍去），因此$M(-1,0)$。综上，点$M$的坐标为$(-1,0)$或$(3+2\sqrt{5},0)$或$(3-2\sqrt{5},0)$。
【答案】
(1) $y=-2x+6$
(2) $\frac{6\sqrt{5}}{5}$
(3) 最小值为$4\sqrt{2}$，点$Q$坐标为$(0,3)$
(4) $(-1,0)$或$(3+2\sqrt{5},0)$或$(3-2\sqrt{5},0)$
【知识点】
一次函数的性质，最短路径模型，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，结合了直线平行的性质、平行线间距离、最短路径、等腰三角形判定等多个考点，解题时要熟练运用对应的几何模型，分类讨论类问题要注意考虑所有情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
