三、解答题
1. 如图8，点G,E在BC上，BG=CE，AB=DC，AE=DG. 求证:∠B=∠C.

1. 提示:证△ABE≌△DCG.

【分析】
要证明∠B=∠C，观察图形发现∠B和∠C分别属于△ABE和△DCG，可通过证明两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等的性质推导结论。首先根据已知BG=CE，结合线段和的性质，两边同时加公共线段GE，可得BE=CG，再结合题目给出的AB=DC、AE=DG的条件，刚好满足三边对应相等的全等判定依据，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ BG=CE（已知）
∴ BG+GE=CE+GE，即BE=CG
在△ABE和△DCG中：
$\{\begin{array}{l}AB=DC（已知）\\AE=DG（已知）\\BE=CG（已证）\end{array} $
∴ △ABE≌△DCG（SSS）
∴ ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
【答案】
∠B=∠C，得证
【知识点】
1. SSS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 线段等量代换
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，核心是通过线段的等量代换得到全等判定需要的边相等条件，再结合已知边的关系用SSS判定三角形全等，进而得到对应角相等，能够较好地考查学生对全等判定定理和性质的基础应用能力。
【难度系数】
0.8

2. 如图9，AB=AD，DC=BC，∠B与∠D相等吗？为什么？

2. 相等. 提示:连接AC,证△ACD≌△ACB.

【分析】
要判断∠B和∠D是否相等，可通过证明两角所在的三角形全等求解，全等三角形的对应角相等。已知AB=AD、DC=BC，若连接AC，可得△ABC和△ADC的公共边AC，此时两个三角形满足三边对应相等的全等判定条件，即可证明全等，进而得到两角相等。
【解析】
解：∠B与∠D相等，理由如下：
连接辅助线AC，
在$△ ABC$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}AB=AD \quad (\mathrm{已知}), \\BC=DC \quad (\mathrm{已知}), \\AC=AC \quad (\mathrm{公共边相等}),\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADC \ (\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ B=∠ D$（全等三角形的对应角相等）。
【答案】
相等，连接AC，通过SSS可证$△ ACD ≌ △ ACB$，根据全等三角形对应角相等可得$∠ B=∠ D$。
【知识点】
SSS判定三角形全等，全等三角形的性质，辅助线构造
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用，解题核心是通过添加辅助线得到公共边，利用SSS判定定理证明三角形全等，进而推导对应角相等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8

3. 如图10,已知AB=AC,AD=AE,BD=CE,且点B,D,E在同一条直线上.求证:∠3=∠1+∠2.

3. 证明:在△ADB和△AEC中，$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AE, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴ △ADB≌△AEC(SSS) ,
∴ ∠ABD=∠2, ∠BAD=∠1. 又
∵ ∠3=∠ABD+∠BAD,
∴ ∠3=∠1+∠2.

【分析】
要证明∠3=∠1+∠2，首先观察∠3是△ABD的外角，根据三角形外角性质可知∠3=∠ABD+∠BAD，因此只需证明∠ABD=∠2、∠BAD=∠1即可。已知条件给出了AB=AC、AD=AE、BD=CE三组边对应相等，符合SSS全等判定条件，可先证明△ADB≌△AEC，利用全等三角形对应角相等得到所需的等角，再通过等量代换即可得出结论。
【解析】
证明：在△ADB和△AEC中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AE, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴ △ADB≌△AEC（SSS），
∴ ∠ABD=∠2，∠BAD=∠1，
又
∵ ∠3是△ABD的外角，根据三角形外角性质可得∠3=∠ABD+∠BAD，
∴ ∠3=∠1+∠2。
【答案】
∠3=∠1+∠2
【知识点】
SSS证全等，全等三角形对应角相等，三角形外角性质
【点评】
本题是全等三角形与三角形外角性质的综合基础题，解题核心是先利用三组对应边相等证明三角形全等，得到对应角相等后结合外角性质完成等量代换，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8

4. 如图11，A为BE上一点，D为AF上一点，C为ED延长线上的一点，AB=AD，AE=AF，AF⊥BE.
(1)猜想BF与DE有什么数量关系，并说明理由；
(2)若CB=CD，∠ABC=110°，求∠ACD的大小.

4. (1)$BF=DE$,理由如下:$\because AF⊥ BE,\therefore ∠ BAF=∠ DAE=90°$. 在$△ ABF$与$△ ADE$中，$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠ BAF = ∠ DAE, \\ AF = AE, \end{cases}$ $\therefore △ ABF≌ △ ADE(\mathrm{SAS}) , \therefore BF=DE$. (2)在$△ ABC$与$△ ADC$中，$\begin{cases} AB=AD, \\ AC=AC, \\ BC=DC, \end{cases}$ $\therefore △ ABC≌ △ ADC(\mathrm{SSS}) , \therefore ∠ ABC=∠ ADC=110°, ∠ BAC=∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAF=45° , \therefore ∠ ACD=180°-∠ ADC-∠ DAC=25°$.

【分析】
(1)要判断两条线段的数量关系，通常可通过证明线段所在的三角形全等得到对应边相等。观察图形可知BF在△ABF中，DE在△ADE中，题目已给出AB=AD、AF=AE，结合AF⊥BE可得两个三角形的夹角均为直角，满足SAS全等判定条件，可证两三角形全等，进而得到BF与DE的数量关系。
(2)要求∠ACD的度数，可将其放入三角形中利用内角和求解。已知CB=CD、AB=AD，AC为公共边，可通过SSS判定△ABC≌△ADC，得到对应角∠ADC=∠ABC、∠DAC=∠BAC，结合AF⊥BE可求出∠DAC的度数，最后用三角形内角和即可算出∠ACD的大小。
【解析】
(1) $BF=DE$，理由如下：
$\because AF⊥ BE$，$\therefore ∠ BAF=∠ DAE=90°$。
在$△ ABF$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}AB=AD, \\∠ BAF = ∠ DAE, \\AF = AE,\end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ ADE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BF=DE$。
(2) 在$△ ABC$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}AB=AD, \\AC=AC, \\BC=DC,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADC(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ADC=110°$，$∠ BAC=∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAF=\frac{1}{2}×90°=45°$，
根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ACD=180°-∠ ADC-∠ DAC=180°-110°-45°=25°$。
【答案】
(1) $BF=DE$，理由见上述解析；(2) $∠ ACD=25°$
【知识点】
SAS全等判定，SSS全等判定，三角形内角和定理
【点评】
本题侧重考查三角形全等的判定及性质的应用，解题的核心是根据已知条件找准全等三角形，利用全等性质实现边角关系的转化，是全等三角形应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7