例1 如图,已知AB比AC长2 cm,BC的垂直平分线交AB于D,交BC于E,△ACD的周长是14 cm,求AB和AC的长.
【请你解答】

解：
∵ DE是BC的垂直平分线，
∴ DB = DC。
∵ △ACD的周长为14 cm，
∴ AD + DC + AC = 14 cm，
将DC替换为DB，得AD + DB + AC = 14 cm，
即 AB + AC = 14 cm。
又∵ AB - AC = 2 cm，
联立得方程组：
$\begin{cases} AB + AC = 14 \\ AB - AC = 2 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} AB = 8\ \mathrm{cm} \\ AC = 6\ \mathrm{cm} \end{cases}$
答：AB的长为8 cm，AC的长为6 cm。

【分析】
解题时首先观察图形条件，看到DE是BC的垂直平分线，优先回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得DB=DC。接下来分析△ACD的周长，其周长为AD+DC+AC，利用DB=DC进行等量代换，可将周长转化为AD+DB+AC，而AD+DB就是AB的长度，因此得到AB+AC=14cm。再结合题目给出的AB比AC长2cm的条件，即可得到关于AB、AC的二元一次方程组，解方程组就能求出两条线段的长度。
【解析】
∵ DE是BC的垂直平分线，
∴ DB = DC。
∵ △ACD的周长为14 cm，
∴ AD + DC + AC = 14 cm，
将DC替换为DB，得AD + DB + AC = 14 cm，
即 AB + AC = 14 cm。
又
∵ AB - AC = 2 cm，
联立得方程组：
$\begin{cases} AB + AC = 14 \\ AB - AC = 2 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} AB = 8\ \mathrm{cm} \\ AC = 6\ \mathrm{cm} \end{cases}$
【答案】
AB的长为8 cm，AC的长为6 cm。
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质 2.三角形周长计算 3.二元一次方程组的应用
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题的核心是通过等量代换将三角形周长转化为两条待求线段的和，再结合已知的线段差建立方程求解，能很好地考查学生对基础性质的掌握和转化思想的运用。
【难度系数】
0.8

例2 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC交AC的延长线于点N，且BM=CN.求证:点D在线段BC的垂直平分线上.
【思路导析】欲证点D在线段BC的垂直平分线上，需证明点D到B，C两点的距离相等，因此需要连接BD，CD.
【请你证明】

互动探究 探究解题规律 总结方法技巧

证明：连接BD，CD。
∵ AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴ DM = DN（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∠DMB = ∠DNC = 90°。
在△BMD和△CND中，
$\{\begin{array}{l}DM = DN \\∠DMB = ∠DNC \\BM = CN\end{array} $
∴ △BMD ≌ △CND（SAS）。
∴ BD = CD。
∴ 点D在线段BC的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。

【分析】
要证明点D在线段BC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理，只需证明BD=CD即可。因此先连接BD、CD，再结合已知条件推导三角形全等：首先AD是∠BAC的角平分线，且DM⊥AB、DN⊥AC，根据角平分线的性质可得DM=DN，又已知BM=CN，且∠DMB和∠DNC都是直角，满足SAS全等的条件，证明△BMD≌△CND后即可得到BD=CD，从而得证。
【解析】
证明：连接BD，CD。
∵ AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴ DM = DN（角平分线上的点到角两边的距离相等），∠DMB = ∠DNC = 90°。
在△BMD和△CND中，
$\{\begin{array}{l}DM = DN \\∠DMB = ∠DNC \\BM = CN\end{array} $
∴ △BMD ≌ △CND（SAS）。
∴ BD = CD。
∴ 点D在线段BC的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
【答案】
证明：连接BD，CD。
∵ AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴ DM = DN（角平分线上的点到角两边的距离相等），∠DMB = ∠DNC = 90°。
在△BMD和△CND中，
$\{\begin{array}{l}DM = DN \\∠DMB = ∠DNC \\BM = CN\end{array} $
∴ △BMD ≌ △CND（SAS）。
∴ BD = CD。
∴ 点D在线段BC的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
【知识点】
1. 角平分线的性质 2. 全等三角形的判定与性质 3. 线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是明确待证结论对应的判定定理，通过添加辅助线构造全等三角形，将已知条件转化为线段相等的结论，需熟练掌握各定理的适用条件，灵活运用。
【难度系数】
0.7

例3 如图,校园内有两条路OA,OB,在交叉口附近有两块宣传牌C,D,学校准备在这附近安装一盏路灯,要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远,并且到两条路的距离也一样远,请你帮忙画出灯柱的位置P,并说明理由.

【思路导析】到宣传牌C和D的距离相等,则灯柱应在线段CD的垂直平分线上;到路OA,OB的距离相等,则灯柱应在路OA,OB夹角的平分线上,那么灯柱的位置应在这两条直线的交点处.
【示范解答】灯柱的位置P在$∠ AOB$的平分线OE与线段CD的垂直平分线的交点处,如图.理由如下:
∵点P在$∠ AOB$的平分线上,
∴点P到$∠ AOB$的两边OA,OB的距离一样远.
∵点P在线段CD的垂直平分线上,
∴点P到点C和到点D的距离相等.
∴点P符合题意.

【方法总结】解答作图选点性问题的方法:若要找到离某两个点的距离相等的点,一般在这两点所连线段的垂直平分线上去找;若要找到与某两条不平行的直线的距离相等的点,则一般在这两条直线相交所成的角的平分线上去找.

解：
作法：
① 作∠AOB的平分线OE；
② 连接点C、D，作线段CD的垂直平分线；
③ 上述两条直线的交点即为所求的灯柱位置P。
理由如下：
∵点P在∠AOB的平分线上，
∴点P到∠AOB的两边OA，OB的距离相等。
∵点P在线段CD的垂直平分线上，
∴点P到点C和点D的距离相等。
∴点P同时满足到两块宣传牌距离相等、到两条路的距离相等的要求，即为符合题意的灯柱位置。

【分析】
解题时需先拆解题目的两个要求，对应到对应的几何性质：第一，要求灯柱位置P到宣传牌C、D的距离相等，根据线段垂直平分线的判定，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此P必在CD的垂直平分线上；第二，要求P到两条路OA、OB的距离相等，根据角平分线的判定，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，因此P必在∠AOB的角平分线上。同时满足两个条件的点为两条线的交点，因此只需依次作出这两条线，取交点即可得到所求的P点。
【解析】
作法：
① 作∠AOB的平分线OE；
② 连接点C、D，作线段CD的垂直平分线；
③ 上述两条直线的交点即为所求的灯柱位置P。
理由：
∵点P在∠AOB的平分线上，
∴点P到∠AOB的两边OA，OB的距离相等。
∵点P在线段CD的垂直平分线上，
∴点P到点C和点D的距离相等。
∴点P同时满足到两块宣传牌距离相等、到两条路的距离相等的要求，即为符合题意的灯柱位置。
【答案】
作法：① 作∠AOB的平分线OE；② 连接点C、D，作线段CD的垂直平分线；③ 两条直线的交点即为所求位置P。理由：点P在∠AOB的平分线上，故到OA、OB距离相等；点P在线段CD的垂直平分线上，故到C、D距离相等，因此P符合要求。
【知识点】
角平分线的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、尺规作图
【点评】
这道题是几何性质在实际场景中的应用，核心是将实际选址需求转化为几何条件，分别对应角平分线和线段垂直平分线的相关结论，找到两个条件的公共交点即可解决问题，熟练掌握基础几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8