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1.一个长方形的周长为30 cm，这个长方形的长减少1 cm，宽增加2 cm就可成为一个正方形，设长方形的长为x cm，可列方程为 （）
A.$x+1=(15-x)-2$
B.$x+1=(30-x)-2$
C.$x-1=(15-x)+2$
D.$x-1=(30-x)+2$
A.$x+1=(15-x)-2$
B.$x+1=(30-x)-2$
C.$x-1=(15-x)+2$
D.$x-1=(30-x)+2$
答案
C
解析
已知长方形周长为30 cm，长为$x$ cm，由长方形周长公式可得长与宽的和为$30÷2=15$ cm，因此长方形的宽为$(15-x)$ cm。根据长减少1 cm、宽增加2 cm后变为正方形，正方形边长相等，可列方程：$x-1=(15-x)+2$。
2.用一个棱长为20 cm的立方体容器(已装满水)向一个长、宽、高分别是50 cm、10 cm和8 cm的长方体铁盒内倒水，当铁盒内装满水时，立方体容器中水的高度下降了 ()
A.5 cm
B.10 cm
C.15 cm
D.20 cm
A.5 cm
B.10 cm
C.15 cm
D.20 cm
答案
B
解析
设立方体容器中水的高度下降了$x\ \mathrm{cm}$，根据倒出的水的体积等于长方体铁盒的容积，列方程：$20×20× x = 50×10×8$，化简得$400x=4000$，解得$x=10$，即立方体容器中水的高度下降了10 cm。
3.要锻造一个直径为8 cm、高为4 cm的圆柱形毛坯，至少应截取直径为4 cm的圆钢的长为 cm.
答案
解：设至少应截取直径为4 cm的圆钢的长为x cm。
根据锻造前后圆柱体积相等，列方程得：
$π × (\dfrac{4}{2})^2 · x = π × (\dfrac{8}{2})^2 × 4$
化简得：
$4π x = 64π$
两边同时除以$4π$，得：
$x = 16$
答：至少应截取直径为4 cm的圆钢的长为16 cm。
根据锻造前后圆柱体积相等，列方程得：
$π × (\dfrac{4}{2})^2 · x = π × (\dfrac{8}{2})^2 × 4$
化简得：
$4π x = 64π$
两边同时除以$4π$，得：
$x = 16$
答：至少应截取直径为4 cm的圆钢的长为16 cm。
4.如图，小明将一张正方形纸片剪去一个宽为3 cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为4 cm的长条，两次剪下的长条面积正好相等，求原正方形的面积.
答案
解：设原正方形的边长为$ x \, \mathrm{cm} $。
根据题意，第一次剪下的长条面积为$ 3x \, \mathrm{cm}^2 $，第二次剪下的长条的长为$ (x-3) \, \mathrm{cm} $，面积为$ 4(x-3) \, \mathrm{cm}^2 $。
由两次剪下的长条面积相等，列方程：
$ 3x = 4(x-3) $
解方程：
$ 3x = 4x - 12 $
$ x = 12 $
原正方形的面积为$ 12^2 = 144 \, \mathrm{cm}^2 $。
答：原正方形的面积为$ 144 \, \mathrm{cm}^2 $。
根据题意，第一次剪下的长条面积为$ 3x \, \mathrm{cm}^2 $，第二次剪下的长条的长为$ (x-3) \, \mathrm{cm} $，面积为$ 4(x-3) \, \mathrm{cm}^2 $。
由两次剪下的长条面积相等，列方程：
$ 3x = 4(x-3) $
解方程：
$ 3x = 4x - 12 $
$ x = 12 $
原正方形的面积为$ 12^2 = 144 \, \mathrm{cm}^2 $。
答：原正方形的面积为$ 144 \, \mathrm{cm}^2 $。
5.将一个长为 32 cm、宽为 16 cm、高为 1 cm 的长方体铁块切割掉 80 个棱长为 1 cm 的立方体后(切割时无损耗),剩下的部分能锻造出多少个棱长为 6 cm 的立方体？
答案
解：设剩下的部分能锻造出x个棱长为6 cm的立方体。
根据锻造前后体积相等列方程：
$32×16×1 - 80×1^3 = 6^3 · x$
化简计算：
$512 - 80 = 216x$
$432 = 216x$
解得：
$x=2$
答：剩下的部分能锻造出2个棱长为6 cm的立方体。
根据锻造前后体积相等列方程：
$32×16×1 - 80×1^3 = 6^3 · x$
化简计算：
$512 - 80 = 216x$
$432 = 216x$
解得：
$x=2$
答：剩下的部分能锻造出2个棱长为6 cm的立方体。
