1. 已知四边形ABCD内接于$\odot O$，对角线AC与BD垂直相交于点E，点F，G分别为AB，CD的中点，求证：$EF=OG$.

1. 作直径DH,连结CH,
∵ 点 G,O分别为 CD,DH 的中点,$\therefore OG=\frac{1}{2}CH$.
∵ $AC ⊥ BD$,点 F 为 AB 的中点,$\therefore EF=\frac{1}{2}AB$, $∠ DBC+∠ ACB=90°$.
∵ DH 为直径,
∴ $∠ DCH=90°$,
∴ $∠ H+ ∠ HDC = 90°$. 又
∵ $∠ H = ∠ DBC$,
∴ $∠ ACB= ∠ HDC$,$\therefore AB=CH$,$\therefore EF=OG$.

【分析】
要证明EF=OG，可采用等量代换的思路：首先EF是直角△AEB斜边AB的中线，根据直角三角形性质可得$EF=\frac{1}{2}AB$；再构造辅助线直径DH，利用中位线性质可得$OG=\frac{1}{2}CH$，此时只需证明AB=CH即可。接下来结合AC⊥BD、直径所对圆周角为直角的性质，利用同弧所对圆周角相等推导角的等量关系，即可得到AB=CH，从而完成证明。
【解析】
作直径DH，连结CH，
∵ 点G、O分别为CD、DH的中点，
∴ OG是△DCH的中位线，$\displaystyle OG=\frac{1}{2}CH$。
∵ $AC ⊥ BD$，△AEB为直角三角形，点F为AB的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线性质，得$\displaystyle EF=\frac{1}{2}AB$，且$∠ DBC+∠ ACB=90°$。
∵ DH为$\odot O$的直径，
∴ $∠ DCH=90°$，即$∠ H+ ∠ HDC = 90°$。
又
∵ 同弧DC所对的圆周角相等，$∠ H = ∠ DBC$，
∴ 等角的余角相等，得$∠ ACB= ∠ HDC$，
∴ 相等圆周角所对的弦相等，即$AB=CH$，
∴ $\displaystyle EF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CH=OG$，即$EF=OG$。
【答案】
作直径DH,连结CH,
∵ 点 G,O分别为 CD,DH 的中点,$\therefore OG=\frac{1}{2}CH$.
∵ $AC ⊥ BD$,点 F 为 AB 的中点,$\therefore EF=\frac{1}{2}AB$, $∠ DBC+∠ ACB=90°$.
∵ DH 为直径,
∴ $∠ DCH=90°$,
∴ $∠ H+ ∠ HDC = 90°$. 又
∵ $∠ H = ∠ DBC$,
∴ $∠ ACB= ∠ HDC$,$\therefore AB=CH$,$\therefore EF=OG$.
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；三角形中位线定理；圆周角定理
【点评】
本题是圆中线段证明的典型题型，解题核心是通过构造直径辅助线，将待证线段转化为对应弦的一半，再利用圆周角的等量关系证明弦相等，对辅助线构造能力和几何性质综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

2. ★★★ 如图,线段AB,CD是⊙O内的两条平行弦,若∠A=23°,∠B=34°,则∠ODB的度数为 （）

A.9°
B.11°
C.13°
D.15°

2. B

【分析】
解题时先利用圆的半径相等的性质，可知OA=OB、OB=OD，因此△OAB和△OBD均为等腰三角形。首先根据等腰三角形两底角相等，由∠OAB=23°可求出∠OBA的度数，再结合已知的∠ABD=34°，用∠ABD减去∠OBA得到∠OBD的度数，最后根据△OBD等腰，两底角∠OBD和∠ODB相等，即可求出∠ODB的度数，题干给出的平行弦性质可辅助验证角的等量关系，保证推导逻辑正确。
【解析】
∵ OA、OB都是⊙O的半径，
∴ OA=OB，
∴ △OAB为等腰三角形，∠OBA=∠OAB=23°，
已知∠ABD=34°，
∴ ∠OBD=∠ABD - ∠OBA=34°-23°=11°，
又
∵ OB、OD都是⊙O的半径，
∴ OB=OD，
∴ △OBD为等腰三角形，∠ODB=∠OBD=11°。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，圆的半径特征，平行线性质
【点评】
这道题属于圆的基础综合题，需要结合三角形和圆的基础性质推导角的关系，解题时要注意挖掘图中隐含的等腰三角形，梳理清楚角的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7

3. （2025·天津期中）已知AB,CD是$\odot O$的两条平行弦，$AB=16$，$CD=12$，$\odot O$的半径为10，则弦AB与CD的距离为________。
C D
▶▶进一步挑战进阶专题:P55 专题4

3. 2或14

【分析】
解题时首先要注意两条平行弦相对于圆心的位置存在两种情况：在圆心同侧、在圆心异侧，需分类讨论。接下来利用垂径定理：过圆心作弦的垂线，可平分弦，得到两条弦一半的长度，再结合圆的半径，用勾股定理分别求出两条弦到圆心的距离，最后根据两条弦的位置关系计算两者的距离即可。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，直线OE交CD于点F。
∵AB//CD，
∴OF⊥CD。
根据垂径定理可得：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×12=6$。
在$Rt△ AOE$中，OA=10，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
在$Rt△ COF$中，OC=10，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
分两种情况讨论：
①当AB、CD在圆心O的同侧时，AB与CD的距离为$OF-OE=8-6=2$；
②当AB、CD在圆心O的异侧时，AB与CD的距离为$OF+OE=8+6=14$。
综上，弦AB与CD的距离为2或14。
【答案】
2或14
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是圆章节的常见易错题，解题的关键是考虑到平行弦相对于圆心的两种位置关系，避免漏解，结合垂径定理和勾股定理即可顺利求出结果。
【难度系数】
0.6