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9. 某赛场馆内的地面瓷砖按如图所示(图中每块瓷砖均相同)的方式拼放,则每块瓷砖的长为
45
cm. 答案
9. 解:设瓷砖的长为x(cm),则瓷砖的宽为(60−x)cm.
由图可知,x=3(60−x),
解得x=45.
答:瓷砖的长为45 cm.
由图可知,x=3(60−x),
解得x=45.
答:瓷砖的长为45 cm.
解析
【分析】
首先观察图形提炼两个等量关系：1.竖向方向，1块瓷砖的长加1块瓷砖的宽等于总高度60cm；2.1块瓷砖的长等于3块瓷砖的宽。我们可以设瓷砖的长为x cm，先用第一个等量关系表示出瓷砖的宽，再代入第二个等量关系列一元一次方程，求解即可得到瓷砖的长。
【解析】
解：设每块瓷砖的长为x cm，则瓷砖的宽为(60−x) cm。
根据图形中长和宽的数量关系列方程：
$x = 3(60−x)$
展开得：$x = 180 − 3x$
移项合并同类项得：$4x = 180$
解得：$x = 45$
【答案】
45
【知识点】
一元一次方程应用；图形等量分析
【点评】
本题属于方程与几何结合的基础题型，解题关键是从图形中准确找到长、宽的数量关系，将几何问题转化为代数方程问题求解。
【难度系数】
0.7
首先观察图形提炼两个等量关系：1.竖向方向，1块瓷砖的长加1块瓷砖的宽等于总高度60cm；2.1块瓷砖的长等于3块瓷砖的宽。我们可以设瓷砖的长为x cm，先用第一个等量关系表示出瓷砖的宽，再代入第二个等量关系列一元一次方程，求解即可得到瓷砖的长。
【解析】
解：设每块瓷砖的长为x cm，则瓷砖的宽为(60−x) cm。
根据图形中长和宽的数量关系列方程：
$x = 3(60−x)$
展开得：$x = 180 − 3x$
移项合并同类项得：$4x = 180$
解得：$x = 45$
【答案】
45
【知识点】
一元一次方程应用；图形等量分析
【点评】
本题属于方程与几何结合的基础题型，解题关键是从图形中准确找到长、宽的数量关系，将几何问题转化为代数方程问题求解。
【难度系数】
0.7
10.把一块长、宽、高分别为5 cm，3 cm和3 cm的长方体铁块，浸入直径为4 cm的圆柱形玻璃杯中（盛有水且铁块被水浸没），问水面将升高多少厘米（不外溢且π取3.14，精确到0.01 cm）？
答案
10. 解:设水面将升高h(cm),
由题意,得π×$(\frac{4}{2})^2 h$=5×3×3,
解得h≈3.58 cm.
答:水面将升高3.58 cm.
由题意,得π×$(\frac{4}{2})^2 h$=5×3×3,
解得h≈3.58 cm.
答:水面将升高3.58 cm.
解析
【分析】
解题的核心是找准等量关系：铁块完全浸没时，水面升高部分的水的体积等于长方体铁块的体积。首先设水面升高的高度为h，分别根据圆柱体、长方体的体积公式，表示出升高部分水的体积和铁块的体积，再根据两者体积相等列一元一次方程，最后求解方程并按要求精确到0.01即可。
【解析】
设水面将升高$ h \, \mathrm{cm} $，
由题意得，升高部分水的体积等于铁块体积，即：
$ π × (\frac{4}{2})^2 × h = 5 × 3 × 3 $
将$ π = 3.14 $代入得：
$ 3.14 × 4 × h = 45 $
$ 12.56h = 45 $
解得：$ h = \frac{45}{12.56} \approx 3.58 $
【答案】
3.58 cm
【知识点】
等体积变形，一元一次方程应用，体积计算
【点评】
本题是几何与方程结合的常见应用题，解题关键是抓住“浸没物体体积等于排开液体体积”的等量关系，计算时注意满足题目要求的精确度，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
解题的核心是找准等量关系：铁块完全浸没时，水面升高部分的水的体积等于长方体铁块的体积。首先设水面升高的高度为h，分别根据圆柱体、长方体的体积公式，表示出升高部分水的体积和铁块的体积，再根据两者体积相等列一元一次方程，最后求解方程并按要求精确到0.01即可。
【解析】
设水面将升高$ h \, \mathrm{cm} $，
由题意得，升高部分水的体积等于铁块体积，即：
$ π × (\frac{4}{2})^2 × h = 5 × 3 × 3 $
将$ π = 3.14 $代入得：
$ 3.14 × 4 × h = 45 $
$ 12.56h = 45 $
解得：$ h = \frac{45}{12.56} \approx 3.58 $
【答案】
3.58 cm
【知识点】
等体积变形，一元一次方程应用，体积计算
【点评】
本题是几何与方程结合的常见应用题，解题关键是抓住“浸没物体体积等于排开液体体积”的等量关系，计算时注意满足题目要求的精确度，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
11.有A,B两个圆柱形的容器，若A容器的底面积是B容器的底面积的2倍，A容器内的水高为10，B容器是空的且内壁的高为21，若把A容器内的水倒入B容器，问水会不会溢出？若把题目中的“A容器的底面积是B容器的底面积的2倍”改为“A容器的底面直径是B容器的底面直径的2倍”，其他条件不变，则把A容器内的水倒入B容器，水会不会溢出？
答案
11. 解:设B容器的底面积为x,则A容器的容积为2x·10=20x,
B容器的容积为x·21=21x.
因为21x＞20x,所以水不会溢出.
由题意得,A容器的底面积是B容器的底面积的4倍.
设B容器的底面积为y,则A容器容积的为4y·10=40y,
B容器容积为y·21=21y.
因为40y＞21y,所以水会溢出.
B容器的容积为x·21=21x.
因为21x＞20x,所以水不会溢出.
由题意得,A容器的底面积是B容器的底面积的4倍.
设B容器的底面积为y,则A容器容积的为4y·10=40y,
B容器容积为y·21=21y.
因为40y＞21y,所以水会溢出.
解析
【分析】
解决这道题的核心是抓住“水的体积在倒入前后保持不变”这一关键点，解题思路为：先计算A容器中水的体积，再计算B容器的最大容积，通过比较两者的大小判断水是否溢出。第一问直接给出了A、B的底面积倍数关系，可直接代入计算；第二问给出的是直径倍数关系，需要先根据圆的面积与直径的平方成正比的规律，推导出两者的底面积倍数关系，再进行体积计算和比较。
【解析】
解：①原条件下：
设B容器的底面积为$ x $，则A容器的底面积为$ 2x $。
A容器内水的体积：$ V_{\mathrm{水}} = S_A · h_{\mathrm{水}} = 2x × 10 = 20x $
B容器的最大容积：$ V_{\mathrm{B}} = S_B · h_{\mathrm{B}} = x × 21 = 21x $
因为$ 21x ＞ 20x $（底面积$ x $为正数），即B容器的容积大于水的体积，所以水不会溢出。
②修改条件后，A容器底面直径是B容器底面直径的2倍：
圆的面积公式为$ S=π r^2 $，直径$ d=2r $，因此面积与直径的平方成正比，A、B容器底面积之比为$ 2^2:1^2=4:1 $，即A容器底面积是B的4倍。
设B容器的底面积为$ y $，则A容器的底面积为$ 4y $。
A容器内水的体积：$ V_{\mathrm{水}}' = S_A' · h_{\mathrm{水}} = 4y × 10 = 40y $
B容器的最大容积：$ V_{\mathrm{B}}' = S_B · h_{\mathrm{B}} = y × 21 = 21y $
因为$ 40y ＞ 21y $，即水的体积大于B容器的容积，所以水会溢出。
【答案】
原条件下水不会溢出；改为“A容器的底面直径是B容器的底面直径的2倍”后，水会溢出。
【知识点】
圆柱体积计算，圆的面积与直径的关系，等积变形
【点评】
本题重点考察体积变形中的等积思想，解题时需明确水的体积是不变量，易错点是混淆直径比和底面积的比例关系，只要理清圆的面积与直径的平方成正比的规律，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是抓住“水的体积在倒入前后保持不变”这一关键点，解题思路为：先计算A容器中水的体积，再计算B容器的最大容积，通过比较两者的大小判断水是否溢出。第一问直接给出了A、B的底面积倍数关系，可直接代入计算；第二问给出的是直径倍数关系，需要先根据圆的面积与直径的平方成正比的规律，推导出两者的底面积倍数关系，再进行体积计算和比较。
【解析】
解：①原条件下：
设B容器的底面积为$ x $，则A容器的底面积为$ 2x $。
A容器内水的体积：$ V_{\mathrm{水}} = S_A · h_{\mathrm{水}} = 2x × 10 = 20x $
B容器的最大容积：$ V_{\mathrm{B}} = S_B · h_{\mathrm{B}} = x × 21 = 21x $
因为$ 21x ＞ 20x $（底面积$ x $为正数），即B容器的容积大于水的体积，所以水不会溢出。
②修改条件后，A容器底面直径是B容器底面直径的2倍：
圆的面积公式为$ S=π r^2 $，直径$ d=2r $，因此面积与直径的平方成正比，A、B容器底面积之比为$ 2^2:1^2=4:1 $，即A容器底面积是B的4倍。
设B容器的底面积为$ y $，则A容器的底面积为$ 4y $。
A容器内水的体积：$ V_{\mathrm{水}}' = S_A' · h_{\mathrm{水}} = 4y × 10 = 40y $
B容器的最大容积：$ V_{\mathrm{B}}' = S_B · h_{\mathrm{B}} = y × 21 = 21y $
因为$ 40y ＞ 21y $，即水的体积大于B容器的容积，所以水会溢出。
【答案】
原条件下水不会溢出；改为“A容器的底面直径是B容器的底面直径的2倍”后，水会溢出。
【知识点】
圆柱体积计算，圆的面积与直径的关系，等积变形
【点评】
本题重点考察体积变形中的等积思想，解题时需明确水的体积是不变量，易错点是混淆直径比和底面积的比例关系，只要理清圆的面积与直径的平方成正比的规律，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
12.一个长32 cm、宽16 cm、高1 cm的长方体铁块切割掉80个棱长为1 cm的立方体后（切割时无损耗），剩下的部分能锻造出多少个棱长为6 cm的立方体？
答案
12. 解:设剩下的部分能锻造出x个棱长为6 cm的立方体,
由题意,得80×1³+6³x=32×16×1,解得x=2.
答:剩下的部分能锻造出2个棱长为6 cm的立方体.
由题意,得80×1³+6³x=32×16×1,解得x=2.
答:剩下的部分能锻造出2个棱长为6 cm的立方体.
解析
【分析】
这是等体积变形类应用题，解题核心是抓住切割、锻造过程中总体积不变的规律。首先明确等量关系：原长方体铁块的总体积=切割掉的80个棱长1cm立方体的总体积+锻造出的所有棱长6cm立方体的总体积。我们设能锻造出x个棱长6cm的立方体，分别计算各部分体积代入等量关系列方程求解即可，注意结果要符合实际意义。
【解析】
解：设剩下的部分能锻造出x个棱长为6 cm的立方体。
根据锻造前后总体积不变，可列方程：
$80×1^3 + 6^3 x = 32×16×1$
计算得：$80 + 216x = 512$
移项得：$216x = 512 - 80$
$216x = 432$
解得：$x = 2$，符合实际意义。
答：剩下的部分能锻造出2个棱长为6 cm的立方体。
【答案】
剩下的部分能锻造出2个棱长为6 cm的立方体。
【知识点】
一元一次方程的应用，等体积变形，正方体与长方体体积计算
【点评】
本题解题关键是找准体积不变的等量关系，需要准确掌握长方体、正方体的体积计算公式，计算时注意运算准确性，最终结果要符合实际要求，必须为非负整数。
【难度系数】
0.8
这是等体积变形类应用题，解题核心是抓住切割、锻造过程中总体积不变的规律。首先明确等量关系：原长方体铁块的总体积=切割掉的80个棱长1cm立方体的总体积+锻造出的所有棱长6cm立方体的总体积。我们设能锻造出x个棱长6cm的立方体，分别计算各部分体积代入等量关系列方程求解即可，注意结果要符合实际意义。
【解析】
解：设剩下的部分能锻造出x个棱长为6 cm的立方体。
根据锻造前后总体积不变，可列方程：
$80×1^3 + 6^3 x = 32×16×1$
计算得：$80 + 216x = 512$
移项得：$216x = 512 - 80$
$216x = 432$
解得：$x = 2$，符合实际意义。
答：剩下的部分能锻造出2个棱长为6 cm的立方体。
【答案】
剩下的部分能锻造出2个棱长为6 cm的立方体。
【知识点】
一元一次方程的应用，等体积变形，正方体与长方体体积计算
【点评】
本题解题关键是找准体积不变的等量关系，需要准确掌握长方体、正方体的体积计算公式，计算时注意运算准确性，最终结果要符合实际要求，必须为非负整数。
【难度系数】
0.8
13. 某地实施农村义务教育学校营养计划——“蛋奶工程”，为该地农村小学免费提供营养餐.已知每份营养餐的标准是质量为 300 g，蛋白质含量为 8%，包括一盒牛奶、一包饼干和一个鸡蛋.已知牛奶的蛋白质含量为 5%，饼干的蛋白质含量为 12.5%，鸡蛋的蛋白质含量为 15%，一个鸡蛋的质量为 60 g.
(1)一个鸡蛋中含蛋白质的质量为多少克？
(2)每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为多少克？
(1)一个鸡蛋中含蛋白质的质量为多少克？
(2)每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为多少克？
答案
13. 解:(1)由题意,得60×15%=9(g).
答:一个鸡蛋中含蛋白质的质量为9 g.
(2)设每份营养餐中牛奶的质量为x(g),则饼干的质量为(300−60−x)g.
由题意,得5%x+12.5%(300−60−x)+60×15%=300×8%,
解得x=200,
所以300−60−x=40.
答:每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为200 g和40 g.
答:一个鸡蛋中含蛋白质的质量为9 g.
(2)设每份营养餐中牛奶的质量为x(g),则饼干的质量为(300−60−x)g.
由题意,得5%x+12.5%(300−60−x)+60×15%=300×8%,
解得x=200,
所以300−60−x=40.
答:每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为200 g和40 g.
解析
【分析】
(1) 第一问求鸡蛋中的蛋白质质量，已知鸡蛋总质量和蛋白质占比，直接利用“部分质量=总质量×对应占比”的公式计算即可，属于基础的百分数乘法应用。
(2) 第二问是一元一次方程的实际应用，首先明确核心等量关系：整份营养餐的蛋白质总质量=牛奶蛋白质质量+饼干蛋白质质量+鸡蛋蛋白质质量。设牛奶质量为x g，结合营养餐总质量、鸡蛋质量即可用含x的式子表示饼干的质量，再将各部分蛋白质含量代入等量关系列方程，求解得到牛奶质量后就能进一步算出饼干质量。
【解析】
(1) 已知鸡蛋质量为60g，蛋白质含量为15%，因此鸡蛋中蛋白质质量为：
$60×15\%=9$（g）
(2) 设每份营养餐中牛奶的质量为x g，则饼干的质量为$(300-60-x)=(240-x)$g。
根据题意，营养餐总蛋白质含量为$300×8\%$，可列方程：
$5\%x + 12.5\%(240-x) + 9 = 300×8\%$
计算得：$0.05x + 30 - 0.125x +9 =24$
整理得：$39-0.075x=24$
移项求解得：$0.075x=15$，$x=200$
因此饼干质量为：$300-60-200=40$（g）
答：(1)一个鸡蛋中含蛋白质的质量为9g；(2)每份营养餐中牛奶质量为200g，饼干质量为40g。
【答案】
(1) 9 g；
(2) 牛奶200 g，饼干40 g
【知识点】
百分数应用，一元一次方程应用，等量关系建模
【点评】
本题结合生活中的营养餐场景命题，第一问考察基础的百分数计算，难度较低；第二问需要准确梳理各部分蛋白质含量的关系，将实际问题转化为方程求解，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力，整体贴合生活，实用性较强。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问求鸡蛋中的蛋白质质量，已知鸡蛋总质量和蛋白质占比，直接利用“部分质量=总质量×对应占比”的公式计算即可，属于基础的百分数乘法应用。
(2) 第二问是一元一次方程的实际应用，首先明确核心等量关系：整份营养餐的蛋白质总质量=牛奶蛋白质质量+饼干蛋白质质量+鸡蛋蛋白质质量。设牛奶质量为x g，结合营养餐总质量、鸡蛋质量即可用含x的式子表示饼干的质量，再将各部分蛋白质含量代入等量关系列方程，求解得到牛奶质量后就能进一步算出饼干质量。
【解析】
(1) 已知鸡蛋质量为60g，蛋白质含量为15%，因此鸡蛋中蛋白质质量为：
$60×15\%=9$（g）
(2) 设每份营养餐中牛奶的质量为x g，则饼干的质量为$(300-60-x)=(240-x)$g。
根据题意，营养餐总蛋白质含量为$300×8\%$，可列方程：
$5\%x + 12.5\%(240-x) + 9 = 300×8\%$
计算得：$0.05x + 30 - 0.125x +9 =24$
整理得：$39-0.075x=24$
移项求解得：$0.075x=15$，$x=200$
因此饼干质量为：$300-60-200=40$（g）
答：(1)一个鸡蛋中含蛋白质的质量为9g；(2)每份营养餐中牛奶质量为200g，饼干质量为40g。
【答案】
(1) 9 g；
(2) 牛奶200 g，饼干40 g
【知识点】
百分数应用，一元一次方程应用，等量关系建模
【点评】
本题结合生活中的营养餐场景命题，第一问考察基础的百分数计算，难度较低；第二问需要准确梳理各部分蛋白质含量的关系，将实际问题转化为方程求解，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力，整体贴合生活，实用性较强。
【难度系数】
0.7
