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1. 将铁丝做成的一个长22 cm、宽16 cm的长方形变成一个正方形，那么该正方形的面积为（
A.$256\ \mathrm{cm}^2$
B.$352\ \mathrm{cm}^2$
C.$361\ \mathrm{cm}^2$
D.$400\ \mathrm{cm}^2$
C
）A.$256\ \mathrm{cm}^2$
B.$352\ \mathrm{cm}^2$
C.$361\ \mathrm{cm}^2$
D.$400\ \mathrm{cm}^2$
答案
1.C 【解析】设正方形的边长为x(cm),由题意,得4x=(22+16)×2,解得x=19,
所以正方形的面积为x²=361(cm²).
所以正方形的面积为x²=361(cm²).
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住铁丝变形前后长度不变的特点，即长方形和正方形的周长相等。我们可以先计算出原长方形的周长，该周长即为变形后正方形的周长，再结合正方形周长公式求出边长，最后用正方形面积公式计算面积即可，也可通过设未知数列一元一次方程求解。
【解析】
设正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$。
首先计算长方形的周长：$(22+16)×2=76\ \mathrm{cm}$，由于铁丝长度不变，正方形周长等于长方形周长，因此列方程：
$4x=76$
解得$x=19$
再计算正方形的面积：$x^2=19^2=361\ \mathrm{cm}^2$，因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
周长计算，正方形面积计算，一元一次方程应用
【点评】
本题是基础的图形变形类问题，解题的关键是找准变形前后的不变量（周长），只要熟练掌握长方形、正方形的周长和面积公式，计算细心就能正确解答。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是抓住铁丝变形前后长度不变的特点，即长方形和正方形的周长相等。我们可以先计算出原长方形的周长，该周长即为变形后正方形的周长，再结合正方形周长公式求出边长，最后用正方形面积公式计算面积即可，也可通过设未知数列一元一次方程求解。
【解析】
设正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$。
首先计算长方形的周长：$(22+16)×2=76\ \mathrm{cm}$，由于铁丝长度不变，正方形周长等于长方形周长，因此列方程：
$4x=76$
解得$x=19$
再计算正方形的面积：$x^2=19^2=361\ \mathrm{cm}^2$，因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
周长计算，正方形面积计算，一元一次方程应用
【点评】
本题是基础的图形变形类问题，解题的关键是找准变形前后的不变量（周长），只要熟练掌握长方形、正方形的周长和面积公式，计算细心就能正确解答。
【难度系数】
0.8
2.某钢厂要用含铁量为58%的矿石炼出2 610 kg铁，则需要这种矿石的质量为 （
A.1 096.2 kg
B.1 513.8 kg
C.4 123.8 kg
D.4 500 kg
D
）A.1 096.2 kg
B.1 513.8 kg
C.4 123.8 kg
D.4 500 kg
答案
2.D 【解析】设需要这种矿石的质量为x(kg),由题意,得58%x=2 610,解得x=4 500.
解析
【分析】
这是一道百分率相关的实际应用题，解题首先要明确核心等量关系：矿石的总质量×矿石的含铁率 = 炼出的纯铁质量。我们可以先设出矿石质量为未知数，再根据等量关系列出一元一次方程，求解方程即可得到结果。
【解析】
设需要这种矿石的质量为$x\ \mathrm{kg}$，由题意可知矿石含铁量为58%，炼出的纯铁质量为2610kg，列方程得：
$58\%x=2610$
解方程：
$x=2610÷58\%=2610÷0.58=4500$
即需要这种矿石的质量为4500kg。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；百分率计算
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题核心是准确找到“矿石质量×含铁率=纯铁质量”的等量关系，计算时注意百分数和小数的转换即可。
【难度系数】
0.85
这是一道百分率相关的实际应用题，解题首先要明确核心等量关系：矿石的总质量×矿石的含铁率 = 炼出的纯铁质量。我们可以先设出矿石质量为未知数，再根据等量关系列出一元一次方程，求解方程即可得到结果。
【解析】
设需要这种矿石的质量为$x\ \mathrm{kg}$，由题意可知矿石含铁量为58%，炼出的纯铁质量为2610kg，列方程得：
$58\%x=2610$
解方程：
$x=2610÷58\%=2610÷0.58=4500$
即需要这种矿石的质量为4500kg。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；百分率计算
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题核心是准确找到“矿石质量×含铁率=纯铁质量”的等量关系，计算时注意百分数和小数的转换即可。
【难度系数】
0.85
3. 如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为5 cm，容器内水的高度为6 cm. 把一根半径为1 cm的玻璃棒垂直插入水中，若水不溢出，则容器内的水将升高
$\frac{1}{4}$
cm. 答案
3.$\frac{1}{4}$ 【解析】设容器内的水将升高x(cm),
由题意,得π×5²×6+π×1²(6+x)=π×5²(6+x),
解得x=$\frac{1}{4}$.
由题意,得π×5²×6+π×1²(6+x)=π×5²(6+x),
解得x=$\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
这是一道体积变形类的一元一次方程应用题，解题关键是找准等量关系。插入玻璃棒后，容器内的总体积（原有水的体积+玻璃棒浸入水中部分的体积）等于水面升高后容器对应高度的体积。我们设水升高的高度为$ x \, \mathrm{cm} $，分别表示出各部分体积：原有水的体积是容器底面积乘原水高，玻璃棒浸入水中的高度为原水高加升高的高度即$ (6+x) \, \mathrm{cm} $，对应体积为玻璃棒底面积乘浸入高度；升高后总体积为容器底面积乘$ (6+x) \, \mathrm{cm} $，根据等量关系列方程求解即可。
【解析】
设容器内的水将升高$ x \, \mathrm{cm} $，根据体积等量关系列方程：
$π × 5^2 × 6 + π × 1^2 × (6 + x) = π × 5^2 × (6 + x)$
两边同时除以$ π $化简得：
$25× 6 + 6 + x = 25×(6+x)$
计算整理得：
$156 + x = 150 + 25x$
移项合并同类项得：
$24x = 6$
解得：
$x = \frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
一元一次方程应用，圆柱体积计算，等体积变形
【点评】
本题是典型的体积变形类应用题，解题核心是准确梳理各部分体积的等量关系，需要注意玻璃棒浸入水中的高度是升高后的总水面高度，避免误将浸入高度当作原水高导致出错。
【难度系数】
0.6
这是一道体积变形类的一元一次方程应用题，解题关键是找准等量关系。插入玻璃棒后，容器内的总体积（原有水的体积+玻璃棒浸入水中部分的体积）等于水面升高后容器对应高度的体积。我们设水升高的高度为$ x \, \mathrm{cm} $，分别表示出各部分体积：原有水的体积是容器底面积乘原水高，玻璃棒浸入水中的高度为原水高加升高的高度即$ (6+x) \, \mathrm{cm} $，对应体积为玻璃棒底面积乘浸入高度；升高后总体积为容器底面积乘$ (6+x) \, \mathrm{cm} $，根据等量关系列方程求解即可。
【解析】
设容器内的水将升高$ x \, \mathrm{cm} $，根据体积等量关系列方程：
$π × 5^2 × 6 + π × 1^2 × (6 + x) = π × 5^2 × (6 + x)$
两边同时除以$ π $化简得：
$25× 6 + 6 + x = 25×(6+x)$
计算整理得：
$156 + x = 150 + 25x$
移项合并同类项得：
$24x = 6$
解得：
$x = \frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
一元一次方程应用，圆柱体积计算，等体积变形
【点评】
本题是典型的体积变形类应用题，解题核心是准确梳理各部分体积的等量关系，需要注意玻璃棒浸入水中的高度是升高后的总水面高度，避免误将浸入高度当作原水高导致出错。
【难度系数】
0.6
4. 小圆柱的直径为8 cm，高为6 cm，大圆柱的直径为10 cm，并且它的体积是小圆柱的体积的2.5倍，则大圆柱的高为
9.6
cm.答案
4. 9.6 【解析】设大圆柱的高是x(cm),
由题意,得π×$(\frac{10}{2})^2 x$=π×$(\frac{8}{2})^2$×6×2.5,
解得x=9.6.
由题意,得π×$(\frac{10}{2})^2 x$=π×$(\frac{8}{2})^2$×6×2.5,
解得x=9.6.
解析
【分析】
本题属于体积相关的方程应用题，解题首先要明确圆柱体积计算公式：圆柱体积=底面积×高=π×(半径)²×高。题目给出的核心等量关系为大圆柱体积=2.5×小圆柱体积，我们可以设大圆柱的高为未知数，分别代入公式表示两个圆柱的体积，列一元一次方程求解即可，计算过程中π可直接约去，能简化运算。
【解析】
解：设大圆柱的高为$x$ cm。
根据题意和圆柱体积公式列方程：
$π×(\frac{10}{2})^2 · x = 2.5 × π×(\frac{8}{2})^2 × 6$
化简得：$25πx=2.5×16×6π$
两边同时除以$π$得：$25x=240$
解得：$x=9.6$
【答案】
9.6
【知识点】
圆柱体积计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题解题关键是找准体积的倍数等量关系，注意要将直径转换为半径代入体积公式，计算时先约去公共项$π$可降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.8
本题属于体积相关的方程应用题，解题首先要明确圆柱体积计算公式：圆柱体积=底面积×高=π×(半径)²×高。题目给出的核心等量关系为大圆柱体积=2.5×小圆柱体积，我们可以设大圆柱的高为未知数，分别代入公式表示两个圆柱的体积，列一元一次方程求解即可，计算过程中π可直接约去，能简化运算。
【解析】
解：设大圆柱的高为$x$ cm。
根据题意和圆柱体积公式列方程：
$π×(\frac{10}{2})^2 · x = 2.5 × π×(\frac{8}{2})^2 × 6$
化简得：$25πx=2.5×16×6π$
两边同时除以$π$得：$25x=240$
解得：$x=9.6$
【答案】
9.6
【知识点】
圆柱体积计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题解题关键是找准体积的倍数等量关系，注意要将直径转换为半径代入体积公式，计算时先约去公共项$π$可降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.8
5.将一个底面直径为40 mm的圆柱体杯子装满水，再将水倒入一个底面积为1 320 mm²，高为80 mm的长方体铁盒中，要将铁盒装满，圆柱体杯子的高至少为
88
mm（π取3）。（第3题）答案
5. 88
解析
【分析】
这是一道等体积变形的应用题，解题核心是抓住“水的体积不变”这一不变量：将圆柱杯子里的水倒入长方体铁盒并装满，说明圆柱体杯子里水的体积等于长方体铁盒的容积。我们可以先分别写出圆柱体积和长方体体积的计算公式，再根据体积相等列等式，最后求解得到圆柱体杯子的最小高度。解题时要注意先把圆柱底面直径转换成半径再计算底面积，π题目已经给出取值为3，直接代入即可。
【解析】
设圆柱体杯子的高至少为$h$ mm。
1. 计算圆柱底面半径：$r = 40÷2 = 20\ \mathrm{mm}$
2. 计算长方体铁盒的容积（即水的体积）：
$V_{\mathrm{长方体}} = \mathrm{底面积}×\mathrm{高} = 1320×80 = 105600\ \mathrm{mm}^3$
3. 根据水的体积相等，结合圆柱体积公式$V_{\mathrm{圆柱}}=π r^2 h$列等式：
$3×20^2× h = 105600$
4. 化简求解：
$3×400× h = 105600$
$1200h = 105600$
$h = 105600÷1200 = 88$
【答案】
88
【知识点】
等体积变形问题、圆柱体体积计算、长方体体积计算
【点评】
本题是典型的体积转换类应用题，解题关键是准确找到不变量（水的体积），结合常见立体图形的体积公式列式计算即可，计算时注意不要误将直径当作半径代入圆柱底面积公式，避免不必要的计算错误。
【难度系数】
0.7
这是一道等体积变形的应用题，解题核心是抓住“水的体积不变”这一不变量：将圆柱杯子里的水倒入长方体铁盒并装满，说明圆柱体杯子里水的体积等于长方体铁盒的容积。我们可以先分别写出圆柱体积和长方体体积的计算公式，再根据体积相等列等式，最后求解得到圆柱体杯子的最小高度。解题时要注意先把圆柱底面直径转换成半径再计算底面积，π题目已经给出取值为3，直接代入即可。
【解析】
设圆柱体杯子的高至少为$h$ mm。
1. 计算圆柱底面半径：$r = 40÷2 = 20\ \mathrm{mm}$
2. 计算长方体铁盒的容积（即水的体积）：
$V_{\mathrm{长方体}} = \mathrm{底面积}×\mathrm{高} = 1320×80 = 105600\ \mathrm{mm}^3$
3. 根据水的体积相等，结合圆柱体积公式$V_{\mathrm{圆柱}}=π r^2 h$列等式：
$3×20^2× h = 105600$
4. 化简求解：
$3×400× h = 105600$
$1200h = 105600$
$h = 105600÷1200 = 88$
【答案】
88
【知识点】
等体积变形问题、圆柱体体积计算、长方体体积计算
【点评】
本题是典型的体积转换类应用题，解题关键是准确找到不变量（水的体积），结合常见立体图形的体积公式列式计算即可，计算时注意不要误将直径当作半径代入圆柱底面积公式，避免不必要的计算错误。
【难度系数】
0.7
6.如图,将正方形纸片剪去一个宽为2 cm的长条后,再从剩下的纸片中剪去一个宽为3 cm的长条,如果剪剩下的长条周长为14 cm,那么原正方形边长是多少厘米？
答案
6. 解:设原正方形的边长为x(cm),
由题意,得2(x−2+x−3)=14,
解得x=6.
答:原正方形的边长是6厘米.
由题意,得2(x−2+x−3)=14,
解得x=6.
答:原正方形的边长是6厘米.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以先设原正方形的边长为未知数，再分析两次剪长条后剩余图形的尺寸：第一次剪去宽2cm的长条后，剩余部分是长为原正方形边长、宽为(原边长-2)的长方形；第二次剪去宽3cm的长条后，最终剩余的长方形长为(x-2)cm，宽为(x-3)cm。我们以“剩余长条周长为14cm”为条件，结合长方形周长公式建立方程求解即可。
【解析】
解：设原正方形的边长为x cm。
两次裁剪后剩余长方形的长为(x-2)cm，宽为(x-3)cm，根据长方形周长公式列方程：
2[(x-2)+(x-3)] = 14
化简得：2(2x-5)=14
两边同除以2得：2x-5=7
移项计算得：2x=12
解得：x=6
答：原正方形的边长是6厘米。
【答案】
6厘米
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 长方形周长计算
3. 图形剪拼分析
【点评】
本题属于几何与方程结合的基础应用题，解题核心是准确梳理裁剪后剩余图形的长、宽，再结合周长公式建立等量关系，思考路径清晰，容易上手。
【难度系数】
0.75
要解决这个问题，我们可以先设原正方形的边长为未知数，再分析两次剪长条后剩余图形的尺寸：第一次剪去宽2cm的长条后，剩余部分是长为原正方形边长、宽为(原边长-2)的长方形；第二次剪去宽3cm的长条后，最终剩余的长方形长为(x-2)cm，宽为(x-3)cm。我们以“剩余长条周长为14cm”为条件，结合长方形周长公式建立方程求解即可。
【解析】
解：设原正方形的边长为x cm。
两次裁剪后剩余长方形的长为(x-2)cm，宽为(x-3)cm，根据长方形周长公式列方程：
2[(x-2)+(x-3)] = 14
化简得：2(2x-5)=14
两边同除以2得：2x-5=7
移项计算得：2x=12
解得：x=6
答：原正方形的边长是6厘米。
【答案】
6厘米
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 长方形周长计算
3. 图形剪拼分析
【点评】
本题属于几何与方程结合的基础应用题，解题核心是准确梳理裁剪后剩余图形的长、宽，再结合周长公式建立等量关系，思考路径清晰，容易上手。
【难度系数】
0.75
7.一书架能放厚为9.8 cm的词典60本，现在准备放厚为1.4 cm的教科书，问能放教科书多少本？
答案
7. 解:设能放x本教科书,
由题意,得1.4x=9.8×60,
解得x=420.
答:能放教科书420本.
由题意,得1.4x=9.8×60,
解得x=420.
答:能放教科书420本.
解析
【分析】
解答本题的核心是抓住不变量，即书架能够容纳的书籍总厚度是固定的。首先梳理等量关系：所有教科书的总厚度=所有词典的总厚度。我们可以先设能放的教科书数量为未知数，再根据上述等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设能放x本教科书。
由题意得，书架的总容纳厚度固定，因此教科书总厚度等于词典总厚度，列方程：
$1.4x = 9.8 × 60$
先计算右侧乘积：$9.8 × 60 = 588$
方程两边同时除以1.4：$x = 588 ÷ 1.4 = 420$
答：能放教科书420本。
【答案】
420本
【知识点】
一元一次方程应用；总量不变问题
【点评】
本题是典型的不变量类应用题，解题关键是准确找到题目中始终不变的总厚度这一量，进而建立等量关系列式求解，侧重考查学生审题和梳理数量关系的能力。
【难度系数】
0.9
解答本题的核心是抓住不变量，即书架能够容纳的书籍总厚度是固定的。首先梳理等量关系：所有教科书的总厚度=所有词典的总厚度。我们可以先设能放的教科书数量为未知数，再根据上述等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设能放x本教科书。
由题意得，书架的总容纳厚度固定，因此教科书总厚度等于词典总厚度，列方程：
$1.4x = 9.8 × 60$
先计算右侧乘积：$9.8 × 60 = 588$
方程两边同时除以1.4：$x = 588 ÷ 1.4 = 420$
答：能放教科书420本。
【答案】
420本
【知识点】
一元一次方程应用；总量不变问题
【点评】
本题是典型的不变量类应用题，解题关键是准确找到题目中始终不变的总厚度这一量，进而建立等量关系列式求解，侧重考查学生审题和梳理数量关系的能力。
【难度系数】
0.9
8.用直径为200 mm的圆柱体钢材，锻造一个长、宽、高分别为300 mm，200 mm和90 mm的长方体毛坯，问应截取多长的钢材(结果保留π)?
答案
8. 解:设应截取x(mm)长的钢材,
由题意,得π×$(\frac{200}{2})^2 x$=300×200×90,
解得x=$\frac{540}{π}$.
答:应截取$\frac{540}{π}$ mm长的钢材.
由题意,得π×$(\frac{200}{2})^2 x$=300×200×90,
解得x=$\frac{540}{π}$.
答:应截取$\frac{540}{π}$ mm长的钢材.
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住“锻造前后钢材体积不变”这一等量关系：锻造前截取的圆柱体钢材体积与锻造后长方体毛坯的体积完全相等。解题时先设需要截取的钢材长度为未知数，再分别根据圆柱、长方体的体积公式表示出二者体积，依据体积相等列一元一次方程，最后求解方程即可得到答案。
【解析】
解：设应截取$x$ mm长的钢材，
根据锻造前后体积相等，可得：
$π × (\frac{200}{2})^2 x = 300 × 200 × 90$
化简方程：
$π × 100^2 x = 5400000$
$10000π x = 5400000$
解得：$x = \frac{540}{π}$
【答案】
应截取$\frac{540}{π}$ mm长的钢材。
【知识点】
等积变形原理、一元一次方程的应用、几何体体积计算
【点评】
本题是典型的等积变形类应用题，解题关键是找准变形前后不变的量（本题为体积），结合对应的几何体体积公式建立方程求解即可，解题时需注意题目要求结果保留π，不要随意代入π的近似值计算。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是抓住“锻造前后钢材体积不变”这一等量关系：锻造前截取的圆柱体钢材体积与锻造后长方体毛坯的体积完全相等。解题时先设需要截取的钢材长度为未知数，再分别根据圆柱、长方体的体积公式表示出二者体积，依据体积相等列一元一次方程，最后求解方程即可得到答案。
【解析】
解：设应截取$x$ mm长的钢材，
根据锻造前后体积相等，可得：
$π × (\frac{200}{2})^2 x = 300 × 200 × 90$
化简方程：
$π × 100^2 x = 5400000$
$10000π x = 5400000$
解得：$x = \frac{540}{π}$
【答案】
应截取$\frac{540}{π}$ mm长的钢材。
【知识点】
等积变形原理、一元一次方程的应用、几何体体积计算
【点评】
本题是典型的等积变形类应用题，解题关键是找准变形前后不变的量（本题为体积），结合对应的几何体体积公式建立方程求解即可，解题时需注意题目要求结果保留π，不要随意代入π的近似值计算。
【难度系数】
0.8
