登录
（1）
点阵图是数学学习的常用工具。
①观察图形，填写表格：
②当$n=258$时，点子个数是()。
（2）
如图，每个图形都是由五边形组成的。第1个图形中有5个黑点，第2个图形中有7个黑点……第5个图形中有()个黑点，第$n$个图形中有()个黑点。
（3）
数一数上面图形中蓝色小正方形的个数，你发现了什么？
这个规律用字母表示：
（4）
如图，有边长为1的正方形卡片若干张，按上图正方形叠放的规律，用式子表示每组图形的周长。
观察图形，填写下表：
（5）用火柴棒按下面的方式搭图形，并按照这样的规律搭下去：
完成下表：
搭第$n$个图形需要多少根火柴棒？
点阵图是数学学习的常用工具。
①观察图形，填写表格：
②当$n=258$时，点子个数是()。
（2）
如图，每个图形都是由五边形组成的。第1个图形中有5个黑点，第2个图形中有7个黑点……第5个图形中有()个黑点，第$n$个图形中有()个黑点。
（3）
数一数上面图形中蓝色小正方形的个数，你发现了什么？
这个规律用字母表示：
（4）
如图，有边长为1的正方形卡片若干张，按上图正方形叠放的规律，用式子表示每组图形的周长。
观察图形，填写下表：
（5）用火柴棒按下面的方式搭图形，并按照这样的规律搭下去：
完成下表：
搭第$n$个图形需要多少根火柴棒？
答案
(1)
①
图形编号④点子个数：$1+4+4+4+4$
图形编号$n$点子个数：$1+4n$
②
$1+4×258=1033$
点子个数是$\boldsymbol{1033}$。
(2)
$5+2×(5-1)=13$
第5个图形中有$\boldsymbol{13}$个黑点，第$n$个图形中有$\boldsymbol{2n+3}$个黑点。
(3)
第1个图形蓝色小正方形有3个，第2个有5个，第3个有7个，蓝色小正方形的个数依次增加2，第几个图形，蓝色小正方形的数量就等于图形序号加图形序号加1的和。
第$n$个图形蓝色小正方形的个数为$n+(n+1)=2n+1$。
(4)
图形编号为$n$时，周长为$4n$。
(5)
图形编号④火柴棒根数：$7+5×(4-1)$
$7+5(n-1)=5n+2$
答：搭第$n$个图形需要$5n+2$根火柴棒。
①
图形编号④点子个数：$1+4+4+4+4$
图形编号$n$点子个数：$1+4n$
②
$1+4×258=1033$
点子个数是$\boldsymbol{1033}$。
(2)
$5+2×(5-1)=13$
第5个图形中有$\boldsymbol{13}$个黑点，第$n$个图形中有$\boldsymbol{2n+3}$个黑点。
(3)
第1个图形蓝色小正方形有3个，第2个有5个，第3个有7个，蓝色小正方形的个数依次增加2，第几个图形，蓝色小正方形的数量就等于图形序号加图形序号加1的和。
第$n$个图形蓝色小正方形的个数为$n+(n+1)=2n+1$。
(4)
图形编号为$n$时，周长为$4n$。
(5)
图形编号④火柴棒根数：$7+5×(4-1)$
$7+5(n-1)=5n+2$
答：搭第$n$个图形需要$5n+2$根火柴棒。
解析
【分析】
这组题目均为图形规律探究类问题，解题思路可分为三步：第一步先数出前几个已知图形对应的数量；第二步对比相邻两个图形的数量差，找到每次固定增加的数值；第三步结合第一个图形的初始数量，推导得出第n个图形的数量表达式，若需要计算特定序号的数值，将对应序号代入表达式计算即可。
【解析】
（1）①观察点阵图：第1个图形点子数为1，往后每个图形都比前一个多4个点子，因此第4个图形的点子数为$1+4+4+4+4$；以此类推，第n个图形比第1个共多了n个4，因此点子数为$1+4n$。
②要求n=258时的点子数，将n=258代入表达式$1+4n$计算：
$1+4×258=1+1032=1033$
（2）观察五边形黑点数量：第1个图形有5个黑点，往后每个图形都比前一个多2个黑点，因此第n个图形的黑点数为$5+2(n-1)=2n+3$；
求第5个图形的黑点数，将n=5代入表达式：$2×5+3=13$
（3）数蓝色小正方形：第1个图形有3个，第2个有5个，第3个有7个，可发现规律：每往后一个图形，蓝色小正方形的数量就增加2个，第几个图形，蓝色小正方形的数量就等于图形序号的2倍加1；用字母表示规律为：第n个图形蓝色小正方形的个数是$2n+1$。
（4）观察叠放正方形的周长：第1个图形周长为4，第2个为8，第3个为12，往后每个图形的周长都比前一个多4，因此第n个图形的周长为$4n$。
（5）观察火柴棒数量：第1个图形用7根火柴棒，往后每个图形都比前一个多5根火柴棒，因此第4个图形的火柴棒根数为$7+5×(4-1)=22$；第n个图形的火柴棒根数为$7+5(n-1)=5n+2$。
【答案】
(1)①图形编号④点子个数：$1+4+4+4+4$；图形编号$n$点子个数：$1+4n$
②$\boldsymbol{1033}$
(2)第5个图形中有$\boldsymbol{13}$个黑点，第$n$个图形中有$\boldsymbol{2n+3}$个黑点
(3)蓝色小正方形的个数依次增加2，第几个图形，蓝色小正方形的数量等于图形序号的2倍加1；$\boldsymbol{2n+1}$
(4)图形编号为$n$时，周长为$\boldsymbol{4n}$
(5)图形编号④火柴棒根数：22；搭第$n$个图形需要$\boldsymbol{5n+2}$根火柴棒
【知识点】
图形找规律、用字母表示数、代数式求值
【点评】
这类规律探究题是代数应用的基础题型，解题核心是先找到相邻图形对应数量的固定增量，再结合初始图形的数量推导通用公式，熟练掌握方法后可以快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
这组题目均为图形规律探究类问题，解题思路可分为三步：第一步先数出前几个已知图形对应的数量；第二步对比相邻两个图形的数量差，找到每次固定增加的数值；第三步结合第一个图形的初始数量，推导得出第n个图形的数量表达式，若需要计算特定序号的数值，将对应序号代入表达式计算即可。
【解析】
（1）①观察点阵图：第1个图形点子数为1，往后每个图形都比前一个多4个点子，因此第4个图形的点子数为$1+4+4+4+4$；以此类推，第n个图形比第1个共多了n个4，因此点子数为$1+4n$。
②要求n=258时的点子数，将n=258代入表达式$1+4n$计算：
$1+4×258=1+1032=1033$
（2）观察五边形黑点数量：第1个图形有5个黑点，往后每个图形都比前一个多2个黑点，因此第n个图形的黑点数为$5+2(n-1)=2n+3$；
求第5个图形的黑点数，将n=5代入表达式：$2×5+3=13$
（3）数蓝色小正方形：第1个图形有3个，第2个有5个，第3个有7个，可发现规律：每往后一个图形，蓝色小正方形的数量就增加2个，第几个图形，蓝色小正方形的数量就等于图形序号的2倍加1；用字母表示规律为：第n个图形蓝色小正方形的个数是$2n+1$。
（4）观察叠放正方形的周长：第1个图形周长为4，第2个为8，第3个为12，往后每个图形的周长都比前一个多4，因此第n个图形的周长为$4n$。
（5）观察火柴棒数量：第1个图形用7根火柴棒，往后每个图形都比前一个多5根火柴棒，因此第4个图形的火柴棒根数为$7+5×(4-1)=22$；第n个图形的火柴棒根数为$7+5(n-1)=5n+2$。
【答案】
(1)①图形编号④点子个数：$1+4+4+4+4$；图形编号$n$点子个数：$1+4n$
②$\boldsymbol{1033}$
(2)第5个图形中有$\boldsymbol{13}$个黑点，第$n$个图形中有$\boldsymbol{2n+3}$个黑点
(3)蓝色小正方形的个数依次增加2，第几个图形，蓝色小正方形的数量等于图形序号的2倍加1；$\boldsymbol{2n+1}$
(4)图形编号为$n$时，周长为$\boldsymbol{4n}$
(5)图形编号④火柴棒根数：22；搭第$n$个图形需要$\boldsymbol{5n+2}$根火柴棒
【知识点】
图形找规律、用字母表示数、代数式求值
【点评】
这类规律探究题是代数应用的基础题型，解题核心是先找到相邻图形对应数量的固定增量，再结合初始图形的数量推导通用公式，熟练掌握方法后可以快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
