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1. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=6$,$BC=4$,$D$是边$AC$的中点,$E$是边$BC$上一点,连接$BD$,$DE$.将$△ CDE$沿$DE$翻折,点$C$落在$BD$上的点$F$处,则$CE=$
$\frac{3}{2}$
.答案
1. $\frac{3}{2}$ 【点拨】因为$AC=6$,$D$是边$AC$的中点,所以$CD=\frac{1}{2}AC=3$. 因为$∠ACB=90°$,$BC=4$,所以$BD=5$.
因为将$△CDE$沿$DE$翻折,点$C$落在$BD$上的点$F$处,所以$DF=CD=3$,$CE=EF$,$∠EFD=∠ACB=90°$.
所以$BF=BD-DF=2$,$∠BFE=90°$. 设$CE=x$,则$EF=x$,$BE=BC-CE=4-x$. 在$\mathrm{Rt}△BFE$中,由勾股定理,得$(4-x)^2=x^2+2^2$,解得$x=\frac{3}{2}$,所以$CE=\frac{3}{2}$.
因为将$△CDE$沿$DE$翻折,点$C$落在$BD$上的点$F$处,所以$DF=CD=3$,$CE=EF$,$∠EFD=∠ACB=90°$.
所以$BF=BD-DF=2$,$∠BFE=90°$. 设$CE=x$,则$EF=x$,$BE=BC-CE=4-x$. 在$\mathrm{Rt}△BFE$中,由勾股定理,得$(4-x)^2=x^2+2^2$,解得$x=\frac{3}{2}$,所以$CE=\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
本题是折叠类求线段长的问题，解题思路如下：第一步，先根据中点定义求出CD的长度，再在Rt△BCD中利用勾股定理求出斜边BD的长度；第二步，结合折叠的性质，得到相等的边（DF=CD、CE=EF）和相等的角（∠EFD=∠C=90°），进而求出BF的长度，明确△BEF为直角三角形；第三步，设CE的长为x，用含x的式子表示出BE、EF的长度，在Rt△BEF中利用勾股定理列方程求解，即可得到CE的长度。
【解析】
解：
∵AC=6，D是AC的中点，
∴$CD = \frac{1}{2}AC = 3$。
在Rt△BCD中，∠ACB=90°，BC=4，CD=3，
由勾股定理得：$BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。
∵将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，
∴DF=CD=3，CE=EF，∠EFD=∠ACB=90°，
∴$BF = BD - DF = 5 - 3 = 2$，∠BFE=180°-∠EFD=90°。
设CE=x，则EF=x，$BE = BC - CE = 4 - x$，
在Rt△BFE中，由勾股定理得：$BE^2 = EF^2 + BF^2$，
即$(4-x)^2 = x^2 + 2^2$，
展开得：$16 - 8x + x^2 = x^2 + 4$，
化简得：$8x = 12$，
解得：$x = \frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，线段中点定义
【点评】
本题是典型的折叠几何计算问题，核心是利用折叠的性质转化相等的边和角，再结合勾股定理构造方程求解，体现了几何中数形结合、方程思想的应用，熟练掌握该方法可快速解决同类折叠求线段长的问题。
【难度系数】
0.7
本题是折叠类求线段长的问题，解题思路如下：第一步，先根据中点定义求出CD的长度，再在Rt△BCD中利用勾股定理求出斜边BD的长度；第二步，结合折叠的性质，得到相等的边（DF=CD、CE=EF）和相等的角（∠EFD=∠C=90°），进而求出BF的长度，明确△BEF为直角三角形；第三步，设CE的长为x，用含x的式子表示出BE、EF的长度，在Rt△BEF中利用勾股定理列方程求解，即可得到CE的长度。
【解析】
解：
∵AC=6，D是AC的中点，
∴$CD = \frac{1}{2}AC = 3$。
在Rt△BCD中，∠ACB=90°，BC=4，CD=3，
由勾股定理得：$BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。
∵将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，
∴DF=CD=3，CE=EF，∠EFD=∠ACB=90°，
∴$BF = BD - DF = 5 - 3 = 2$，∠BFE=180°-∠EFD=90°。
设CE=x，则EF=x，$BE = BC - CE = 4 - x$，
在Rt△BFE中，由勾股定理得：$BE^2 = EF^2 + BF^2$，
即$(4-x)^2 = x^2 + 2^2$，
展开得：$16 - 8x + x^2 = x^2 + 4$，
化简得：$8x = 12$，
解得：$x = \frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，线段中点定义
【点评】
本题是典型的折叠几何计算问题，核心是利用折叠的性质转化相等的边和角，再结合勾股定理构造方程求解，体现了几何中数形结合、方程思想的应用，熟练掌握该方法可快速解决同类折叠求线段长的问题。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=10$，$BC=6$，点$D$为斜边$AB$的中点，连接$CD$，将$△ BCD$沿$CD$翻折，使点$B$落在点$E$处，点$F$为直角边$AC$上一点，连接$DF$，将$△ ADF$沿$DF$翻折，使点$A$与点$E$重合，则$AF$的长为
$\frac{7}{4}$
。答案
2. $\frac{7}{4}$ 【点拨】因为$∠ACB=90°$,$AB=10$,$BC=6$,所以$AC^2=AB^2-BC^2=64$,所以$AC=8$. 由翻折可知,$∠B=∠DEC$,$∠A=∠DEF$,$CE = BC=6$,$AF=EF$. 因为$∠A+∠B=90°$,所以$∠DEF + ∠DEC = 90°$,即$∠FEC=90°$,所以$EF^2+CE^2=CF^2$. 设$AF=EF=x$,则$CF=AC-AF=8-x$,所以$x^2+6^2=(8-x)^2$,所以$x=\frac{7}{4}$,即$AF=\frac{7}{4}$.
解析
【分析】
解题时首先利用勾股定理求出直角边AC的长度；接着根据翻折的性质，得到翻折前后对应角相等、对应边相等，结合直角三角形两锐角互余的性质，推导出∠FEC=90°，得到直角三角形FEC；最后设AF的长度为x，用含x的式子表示出CF的长度，在Rt△FEC中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=10$，$BC=6$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
由翻折的性质可知：$∠ B=∠ DEC$，$∠ A=∠ DEF$，$CE=BC=6$，$AF=EF$。
∵在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ A+∠ B=90°$，
∴$∠ DEF+∠ DEC=∠ A+∠ B=90°$，即$∠ FEC=90°$，
∴$△FEC$是直角三角形，满足$EF^2+CE^2=CF^2$。
设$AF=EF=x$，则$CF=AC-AF=8-x$，
代入勾股定理得：$x^2+6^2=(8-x)^2$，
展开得：$x^2+36=64-16x+x^2$，
化简得：$16x=28$，
解得：$x=\frac{7}{4}$。
【答案】
$\frac{7}{4}$
【知识点】
勾股定理，折叠的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，将折叠的性质与勾股定理相结合，通过角的转化得到直角三角形，再利用设未知数列方程的方式求解，既考察了几何性质的灵活应用，也体现了方程思想在几何计算中的作用。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用勾股定理求出直角边AC的长度；接着根据翻折的性质，得到翻折前后对应角相等、对应边相等，结合直角三角形两锐角互余的性质，推导出∠FEC=90°，得到直角三角形FEC；最后设AF的长度为x，用含x的式子表示出CF的长度，在Rt△FEC中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=10$，$BC=6$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
由翻折的性质可知：$∠ B=∠ DEC$，$∠ A=∠ DEF$，$CE=BC=6$，$AF=EF$。
∵在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ A+∠ B=90°$，
∴$∠ DEF+∠ DEC=∠ A+∠ B=90°$，即$∠ FEC=90°$，
∴$△FEC$是直角三角形，满足$EF^2+CE^2=CF^2$。
设$AF=EF=x$，则$CF=AC-AF=8-x$，
代入勾股定理得：$x^2+6^2=(8-x)^2$，
展开得：$x^2+36=64-16x+x^2$，
化简得：$16x=28$，
解得：$x=\frac{7}{4}$。
【答案】
$\frac{7}{4}$
【知识点】
勾股定理，折叠的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，将折叠的性质与勾股定理相结合，通过角的转化得到直角三角形，再利用设未知数列方程的方式求解，既考察了几何性质的灵活应用，也体现了方程思想在几何计算中的作用。
【难度系数】
0.6
3. [2026深圳盐田区期中] 如图,在长方形纸片ABCD中,AB=8 cm,AD=4 cm.把纸片沿对角线AC折叠,点B落在点E处,AE交DC于点F,则重叠部分△ACF的面积为 (
A.5 cm²
B.10 cm²
C.15 cm²
D.20 cm²
B
)A.5 cm²
B.10 cm²
C.15 cm²
D.20 cm²
答案
3. B 【点拨】因为四边形$ABCD$是长方形,所以$∠B=∠D=90°$,$BC=AD=4$ cm,$CD=AB=8$ cm,由翻折得$AE=AB=CD=8$ cm,$∠E=∠B=90°$,$CE=BC=AD=4$ cm,所以$∠D=∠E=90°$. 又因为$∠CFE=∠AFD$,所以$△CFE≌△AFD$,所以$EF=DF$,$CF=AF$. 设$CF=AF=x$ cm,则$DF=CD-CF=(8-x)$ cm. 在$\mathrm{Rt}△AFD$中,$AF^2=DF^2+AD^2$,即$x^2=(8-x)^2+4^2$,所以$x=5$,即$CF=5$ cm,所以重叠部分$△ACF$的面积为$\frac{1}{2}AD·CF=\frac{1}{2}×4×5=10(\mathrm{cm}^2)$. 故选B.
解析
【分析】
解决本题首先从折叠的性质入手，折叠前后对应边、对应角均相等，再结合长方形对边相等、四个角为直角的性质，可推导出AF=CF；接下来利用方程思想，设CF的长度为x，用含x的代数式表示出DF的长度，再在直角三角形AFD中用勾股定理列方程求出x的值，最后代入三角形面积公式即可算出重叠部分的面积。
【解析】
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=∠D=90°，BC=AD=4 cm，CD=AB=8 cm。
由翻折的性质可得：AE=AB=8 cm，∠E=∠B=90°，CE=BC=4 cm，
∴∠D=∠E=90°，AD=CE。
在△CFE和△AFD中，
$\{\begin{array}{l}∠ E=∠ D\\ ∠ CFE=∠ AFD\\ CE=AD\end{array} $
∴△CFE≌△AFD（AAS），
∴CF=AF。
设$CF=AF=x$ cm，则$DF=CD-CF=(8-x)$ cm，
在$\mathrm{Rt}△AFD$中，由勾股定理得$AF^2=DF^2+AD^2$，
即$x^2=(8-x)^2+4^2$，
解得$x=5$，即$CF=5$ cm，
∴重叠部分△ACF的面积为$\frac{1}{2}·CF·AD=\frac{1}{2}×5×4=10(\mathrm{cm}^2)$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
长方形的性质；折叠的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，解题核心是结合折叠和图形本身的性质找到相等线段，再利用勾股定理构建方程求解未知量，是几何综合考查的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解决本题首先从折叠的性质入手，折叠前后对应边、对应角均相等，再结合长方形对边相等、四个角为直角的性质，可推导出AF=CF；接下来利用方程思想，设CF的长度为x，用含x的代数式表示出DF的长度，再在直角三角形AFD中用勾股定理列方程求出x的值，最后代入三角形面积公式即可算出重叠部分的面积。
【解析】
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=∠D=90°，BC=AD=4 cm，CD=AB=8 cm。
由翻折的性质可得：AE=AB=8 cm，∠E=∠B=90°，CE=BC=4 cm，
∴∠D=∠E=90°，AD=CE。
在△CFE和△AFD中，
$\{\begin{array}{l}∠ E=∠ D\\ ∠ CFE=∠ AFD\\ CE=AD\end{array} $
∴△CFE≌△AFD（AAS），
∴CF=AF。
设$CF=AF=x$ cm，则$DF=CD-CF=(8-x)$ cm，
在$\mathrm{Rt}△AFD$中，由勾股定理得$AF^2=DF^2+AD^2$，
即$x^2=(8-x)^2+4^2$，
解得$x=5$，即$CF=5$ cm，
∴重叠部分△ACF的面积为$\frac{1}{2}·CF·AD=\frac{1}{2}×5×4=10(\mathrm{cm}^2)$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
长方形的性质；折叠的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，解题核心是结合折叠和图形本身的性质找到相等线段，再利用勾股定理构建方程求解未知量，是几何综合考查的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
4.如图,在长方形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE所在直线折叠,使点B落在长方形内的点$B'$处,连接$CB'$,则$CB'$的长为
$\frac{18}{5}$
.答案
4. $\frac{18}{5}$ 【点拨】连接$BB'$交$AE$于$H$,易得$BB'⊥AE$,$BB'=2BH$. 因为$BC=6$,点$E$为$BC$的中点,所以$BE=3$. 又因为$AB=4$,所以在$\mathrm{Rt}△ABE$中,$AE^2=AB^2+BE^2=25$,所以$AE=5$,所以易得$BH=\frac{12}{5}$,所以$BB'=2BH=\frac{24}{5}$. 因为$B'E=BE=EC$,所以易得$∠BB'C=90°$,所以根据勾股定理得,$CB'^2=CB^2-BB'^2=(\frac{18}{5})^2$. 所以$CB'=\frac{18}{5}$.
解析
【分析】
本题是长方形中的折叠计算问题，解题思路如下：1. 折叠问题的核心是利用对称性，折叠前后对应边相等、对应点的连线被对称轴垂直平分，因此首先连接$BB'$，可得$AE$垂直平分$BB'$，先求出$BB'$的长度；2. 结合$E$是$BC$中点，可得$B'E=BE=EC$，可推出$△ BB'C$是直角三角形；3. 最后在$\mathrm{Rt}△ BB'C$中用勾股定理求出$CB'$的长度。解题关键是作辅助线$BB'$，将所求线段放到直角三角形中求解。
【解析】
连接$BB'$，交$AE$于点$H$。
由折叠的性质可知，$AB=AB'$，$BE=B'E$，因此$AE$垂直平分$BB'$，即$BB'⊥ AE$，$BB'=2BH$。
$\because BC=6$，点$E$为$BC$的中点，$\therefore BE=EC=3$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB=4$，$BE=3$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
$△ ABE$的面积可表示为$\frac{1}{2}AB· BE=\frac{1}{2}AE· BH$，代入数值计算：
$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× BH$，解得$BH=\frac{12}{5}$，因此$BB'=2BH=\frac{24}{5}$。
$\because B'E=BE=EC$，$\therefore ∠ EB'B=∠ EBB'$，$∠ EB'C=∠ ECB'$。
$\because ∠ EB'B+∠ EBB'+∠ EB'C+∠ ECB'=180°$，
$\therefore 2(∠ EB'B+∠ EB'C)=180°$，即$∠ BB'C=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BB'C$中，由勾股定理得：
$CB'=\sqrt{BC^2-BB'^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\sqrt{36-\frac{576}{25}}=\sqrt{\frac{324}{25}}=\frac{18}{5}$。
【答案】
$\frac{18}{5}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，直角三角形的判定
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，解题的关键是通过连接对应点构造直角三角形，结合折叠的对称性和直角三角形的性质转化已知条件，考查了辅助线构造能力和几何综合运算能力。
【难度系数】
0.6
本题是长方形中的折叠计算问题，解题思路如下：1. 折叠问题的核心是利用对称性，折叠前后对应边相等、对应点的连线被对称轴垂直平分，因此首先连接$BB'$，可得$AE$垂直平分$BB'$，先求出$BB'$的长度；2. 结合$E$是$BC$中点，可得$B'E=BE=EC$，可推出$△ BB'C$是直角三角形；3. 最后在$\mathrm{Rt}△ BB'C$中用勾股定理求出$CB'$的长度。解题关键是作辅助线$BB'$，将所求线段放到直角三角形中求解。
【解析】
连接$BB'$，交$AE$于点$H$。
由折叠的性质可知，$AB=AB'$，$BE=B'E$，因此$AE$垂直平分$BB'$，即$BB'⊥ AE$，$BB'=2BH$。
$\because BC=6$，点$E$为$BC$的中点，$\therefore BE=EC=3$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB=4$，$BE=3$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
$△ ABE$的面积可表示为$\frac{1}{2}AB· BE=\frac{1}{2}AE· BH$，代入数值计算：
$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× BH$，解得$BH=\frac{12}{5}$，因此$BB'=2BH=\frac{24}{5}$。
$\because B'E=BE=EC$，$\therefore ∠ EB'B=∠ EBB'$，$∠ EB'C=∠ ECB'$。
$\because ∠ EB'B+∠ EBB'+∠ EB'C+∠ ECB'=180°$，
$\therefore 2(∠ EB'B+∠ EB'C)=180°$，即$∠ BB'C=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BB'C$中，由勾股定理得：
$CB'=\sqrt{BC^2-BB'^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\sqrt{36-\frac{576}{25}}=\sqrt{\frac{324}{25}}=\frac{18}{5}$。
【答案】
$\frac{18}{5}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，直角三角形的判定
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，解题的关键是通过连接对应点构造直角三角形，结合折叠的对称性和直角三角形的性质转化已知条件，考查了辅助线构造能力和几何综合运算能力。
【难度系数】
0.6
5. ★★ 新题型存在性探究题 如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处。
(1)求CE的长。
(2)BC边上是否存在一点P，使得PA+PE的值最小？若存在，请求出最小值的平方；若不存在，请说明理由。
(1)求CE的长。
(2)BC边上是否存在一点P，使得PA+PE的值最小？若存在，请求出最小值的平方；若不存在，请说明理由。
答案
5. 【解】(1)在长方形$ABCD$中,$∠B=∠BCD=90°$,$CD=AB=8$,$AD=BC=10$.
由折叠知,$EF=DE$,$AF=AD=10$.
在$\mathrm{Rt}△ABF$中,根据勾股定理得,$BF=6$,
所以$CF=BC-BF=4$.
设$CE=x$,则$EF=DE=CD-CE=8-x$.
在$\mathrm{Rt}△ECF$中,根据勾股定理,得$CF^2+CE^2=EF^2$,
即$16+x^2=(8-x)^2$,解得$x=3$,所以$CE=3$.
(2)存在. 延长$EC$至$E'$使$CE'=CE=3$,连接$AE'$交$BC$于点$P$,易知此时$PA+PE$的值最小,为$AE'$的长. 在$\mathrm{Rt}△ADE'$中,根据勾股定理,得$AE'^2=AD^2+DE'^2=10^2+(8+3)^2=221$,即$PA+PE$的最小值的平方为221.
由折叠知,$EF=DE$,$AF=AD=10$.
在$\mathrm{Rt}△ABF$中,根据勾股定理得,$BF=6$,
所以$CF=BC-BF=4$.
设$CE=x$,则$EF=DE=CD-CE=8-x$.
在$\mathrm{Rt}△ECF$中,根据勾股定理,得$CF^2+CE^2=EF^2$,
即$16+x^2=(8-x)^2$,解得$x=3$,所以$CE=3$.
(2)存在. 延长$EC$至$E'$使$CE'=CE=3$,连接$AE'$交$BC$于点$P$,易知此时$PA+PE$的值最小,为$AE'$的长. 在$\mathrm{Rt}△ADE'$中,根据勾股定理,得$AE'^2=AD^2+DE'^2=10^2+(8+3)^2=221$,即$PA+PE$的最小值的平方为221.
解析
【分析】
(1) 本题为长方形中的折叠计算问题，首先利用长方形的性质得到各边长度和直角条件，结合折叠前后对应边相等的性质，先在Rt△ABF中用勾股定理求出BF，进而得到CF的长度；再设CE为未知数，用含未知数的式子表示EF的长度，最后在Rt△CEF中根据勾股定理列方程求解即可。
(2) 求两条线段和的最小值可利用“将军饮马”模型，作点E关于BC的对称点E'，根据两点之间线段最短，可知PA+PE的最小值为线段AE'的长度，再结合勾股定理计算AE'的平方即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=CD=8，AD=BC=10。
由折叠的性质可得：$AF=AD=10$，$EF=DE$。
在$\mathrm{Rt}△ABF$中，根据勾股定理得：
$BF^2=AF^2-AB^2=10^2-8^2=36$，解得$BF=6$，
∴$CF=BC-BF=10-6=4$。
设$CE=x$，则$DE=CD-CE=8-x$，即$EF=8-x$。
在$\mathrm{Rt}△CEF$中，根据勾股定理得：
$CE^2+CF^2=EF^2$，代入得$x^2+4^2=(8-x)^2$，
化简得$16x=48$，解得$x=3$，即$CE=3$。
(2) 存在，求解如下：
作点E关于BC的对称点$E'$，则$CE'=CE=3$，且$PE=PE'$，
∴$PA+PE=PA+PE'$，当A、P、$E'$三点共线时，$PA+PE'$取得最小值，最小值为$AE'$的长度。
此时$DE'=CD+CE'=8+3=11$，$AD=10$，$∠ D=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ADE'$中，根据勾股定理得：
$AE'^2=AD^2+DE'^2=10^2+11^2=100+121=221$，
即$PA+PE$的最小值的平方为221。
【答案】
(1) $\boldsymbol{CE=3}$
(2) 存在，最小值的平方为$\boldsymbol{221}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题综合考察了几何性质与计算，第一问体现了方程思想在几何问题中的应用，第二问需要掌握轴对称构造最短路径的方法，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 本题为长方形中的折叠计算问题，首先利用长方形的性质得到各边长度和直角条件，结合折叠前后对应边相等的性质，先在Rt△ABF中用勾股定理求出BF，进而得到CF的长度；再设CE为未知数，用含未知数的式子表示EF的长度，最后在Rt△CEF中根据勾股定理列方程求解即可。
(2) 求两条线段和的最小值可利用“将军饮马”模型，作点E关于BC的对称点E'，根据两点之间线段最短，可知PA+PE的最小值为线段AE'的长度，再结合勾股定理计算AE'的平方即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=CD=8，AD=BC=10。
由折叠的性质可得：$AF=AD=10$，$EF=DE$。
在$\mathrm{Rt}△ABF$中，根据勾股定理得：
$BF^2=AF^2-AB^2=10^2-8^2=36$，解得$BF=6$，
∴$CF=BC-BF=10-6=4$。
设$CE=x$，则$DE=CD-CE=8-x$，即$EF=8-x$。
在$\mathrm{Rt}△CEF$中，根据勾股定理得：
$CE^2+CF^2=EF^2$，代入得$x^2+4^2=(8-x)^2$，
化简得$16x=48$，解得$x=3$，即$CE=3$。
(2) 存在，求解如下：
作点E关于BC的对称点$E'$，则$CE'=CE=3$，且$PE=PE'$，
∴$PA+PE=PA+PE'$，当A、P、$E'$三点共线时，$PA+PE'$取得最小值，最小值为$AE'$的长度。
此时$DE'=CD+CE'=8+3=11$，$AD=10$，$∠ D=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ADE'$中，根据勾股定理得：
$AE'^2=AD^2+DE'^2=10^2+11^2=100+121=221$，
即$PA+PE$的最小值的平方为221。
【答案】
(1) $\boldsymbol{CE=3}$
(2) 存在，最小值的平方为$\boldsymbol{221}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题综合考察了几何性质与计算，第一问体现了方程思想在几何问题中的应用，第二问需要掌握轴对称构造最短路径的方法，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
6. 新考法分类讨论法 如图，动点E，P分别是正方形ABCD的边BC，CD上的动点，沿AE，AP折叠正方形，点B，D的对应点恰好都落在点O处，若AB=3，当点P是CD边的三等分点时，BE的长为
$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{5}$
。答案
6. $\frac{3}{2}$或$\frac{3}{5}$ 【点拨】四边形$ABCD$是正方形,$AB=3$,点$P$是$CD$边的三等分点,则分两种情况. 易知$P,O,E$三点共线. 若$DP=1$,则$PC=CD-DP=3-1=2$. 设$BE=x$,则$CE=3-x$,由折叠可知,$OE=BE=x$,$DP=OP=1$,所以$PE=OE+OP=x+1$. 在$\mathrm{Rt}△PCE$中,$PE^2=PC^2+CE^2$,即$(x+1)^2=2^2+(3-x)^2$,解得$x=\frac{3}{2}$,所以$BE=\frac{3}{2}$;若$DP=2$,同理可得$BE=\frac{3}{5}$. 综上,$BE$的长为$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{5}$.
解析
【分析】
本题是正方形背景下的折叠问题，解题思路如下：1. 首先结合折叠的性质，可得折叠前后对应边相等、对应角相等，因此BE=OE，DP=OP，且∠AOE、∠AOP均为直角，可推导出P、O、E三点共线；2. 题干仅说明P是CD的三等分点，未明确DP的长度，因此需要分$DP=\frac{1}{3}CD$和$DP=\frac{2}{3}CD$两种情况分类讨论；3. 设BE的长为x，用含x的式子表示出CE和PE的长度，再在$\mathrm{Rt}△PCE$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
已知正方形ABCD中$AB=3$，因此$BC=CD=3$，$∠ C=90°$。
由折叠的性质可得：$BE=OE$，$DP=OP$，$∠ AOE=∠ B=90°$，$∠ AOP=∠ D=90°$，因此$∠ AOE+∠ AOP=180°$，即P、O、E三点共线。
点P是CD的三等分点，分两种情况讨论：
1. 当$DP=\frac{1}{3}CD=1$时，$PC=CD-DP=3-1=2$。
设$BE=x$，则$OE=x$，$CE=BC-BE=3-x$，$PE=OE+OP=x+DP=x+1$。
在$\mathrm{Rt}△PCE$中，由勾股定理得$PE^2=PC^2+CE^2$，代入得：
$(x+1)^2=2^2+(3-x)^2$
展开整理得$8x=12$，解得$x=\frac{3}{2}$，即$BE=\frac{3}{2}$。
2. 当$DP=\frac{2}{3}CD=2$时，$PC=CD-DP=3-2=1$。
设$BE=x$，则$OE=x$，$CE=3-x$，$PE=OE+OP=x+2$。
在$\mathrm{Rt}△PCE$中，由勾股定理得：
$(x+2)^2=1^2+(3-x)^2$
展开整理得$10x=6$，解得$x=\frac{3}{5}$，即$BE=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{5}$
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题结合了折叠变换、正方形性质与勾股定理，核心考查分类讨论思想，解题时容易因忽略三等分点的两种位置情况漏解，利用折叠性质得到边的等量关系后，通过设未知数列方程是几何计算的常用思路。
【难度系数】
0.6
本题是正方形背景下的折叠问题，解题思路如下：1. 首先结合折叠的性质，可得折叠前后对应边相等、对应角相等，因此BE=OE，DP=OP，且∠AOE、∠AOP均为直角，可推导出P、O、E三点共线；2. 题干仅说明P是CD的三等分点，未明确DP的长度，因此需要分$DP=\frac{1}{3}CD$和$DP=\frac{2}{3}CD$两种情况分类讨论；3. 设BE的长为x，用含x的式子表示出CE和PE的长度，再在$\mathrm{Rt}△PCE$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
已知正方形ABCD中$AB=3$，因此$BC=CD=3$，$∠ C=90°$。
由折叠的性质可得：$BE=OE$，$DP=OP$，$∠ AOE=∠ B=90°$，$∠ AOP=∠ D=90°$，因此$∠ AOE+∠ AOP=180°$，即P、O、E三点共线。
点P是CD的三等分点，分两种情况讨论：
1. 当$DP=\frac{1}{3}CD=1$时，$PC=CD-DP=3-1=2$。
设$BE=x$，则$OE=x$，$CE=BC-BE=3-x$，$PE=OE+OP=x+DP=x+1$。
在$\mathrm{Rt}△PCE$中，由勾股定理得$PE^2=PC^2+CE^2$，代入得：
$(x+1)^2=2^2+(3-x)^2$
展开整理得$8x=12$，解得$x=\frac{3}{2}$，即$BE=\frac{3}{2}$。
2. 当$DP=\frac{2}{3}CD=2$时，$PC=CD-DP=3-2=1$。
设$BE=x$，则$OE=x$，$CE=3-x$，$PE=OE+OP=x+2$。
在$\mathrm{Rt}△PCE$中，由勾股定理得：
$(x+2)^2=1^2+(3-x)^2$
展开整理得$10x=6$，解得$x=\frac{3}{5}$，即$BE=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{5}$
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题结合了折叠变换、正方形性质与勾股定理，核心考查分类讨论思想，解题时容易因忽略三等分点的两种位置情况漏解，利用折叠性质得到边的等量关系后，通过设未知数列方程是几何计算的常用思路。
【难度系数】
0.6
7. 如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E，若AE=5，求GE的长。
答案
7. 【解】设$CF$与$DE$交于点$O$.
由折叠可知$GO=DO$,$CF⊥DG$,所以$∠FOD=90°$.
因为四边形$ABCD$是正方形，
所以$AD=CD$,$∠A=∠ADC=90°=∠FOD$.
所以$∠CFD+∠FCD=∠CFD+∠ADE$.
所以$∠ADE=∠FCD$.
所以$△ADE≌△DCF$.
所以$DF=AE=5$,$DE=CF$.
在$\mathrm{Rt}△CDF$中,由勾股定理易得$CF=13$,
所以$DE=13$.
因为$S_{△CDF}=\frac{1}{2}DF·CD=\frac{1}{2}CF·OD$,
所以$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13×OD$.
所以$GO=DO=\frac{60}{13}$.
所以$GE=13-2×\frac{60}{13}=\frac{49}{13}$.
由折叠可知$GO=DO$,$CF⊥DG$,所以$∠FOD=90°$.
因为四边形$ABCD$是正方形，
所以$AD=CD$,$∠A=∠ADC=90°=∠FOD$.
所以$∠CFD+∠FCD=∠CFD+∠ADE$.
所以$∠ADE=∠FCD$.
所以$△ADE≌△DCF$.
所以$DF=AE=5$,$DE=CF$.
在$\mathrm{Rt}△CDF$中,由勾股定理易得$CF=13$,
所以$DE=13$.
因为$S_{△CDF}=\frac{1}{2}DF·CD=\frac{1}{2}CF·OD$,
所以$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13×OD$.
所以$GO=DO=\frac{60}{13}$.
所以$GE=13-2×\frac{60}{13}=\frac{49}{13}$.
解析
【分析】
解题时先从折叠的性质入手：折痕CF垂直平分对应点连线DG，可得CF⊥DG且DO=GO；再结合正方形的性质，利用同角的余角相等推出∠ADE=∠DCF，证明△ADE和△DCF全等，即可得到DE的长度；接下来要算GE，已知DE总长，只需求出DG的长度即可，DG=2OD，可利用△CDF的两种面积计算方法求出OD的长度，最后用DE减去DG就能得到GE的长。
【解析】
设$CF$与$DE$交于点$O$.
由折叠的性质可知$GO=DO$，$CF⊥DG$，因此$∠FOD=90°$.
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AD=CD$，$∠A=∠ADC=90°=∠FOD$，
∴$∠CFD+∠FCD=90°$，$∠CFD+∠ADE=90°$，
∴$∠ADE=∠FCD$.
在$△ ADE$和$△ DCF$中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠CDF\\AD=DC\\∠ADE=∠DCF\end{array} $
∴$△ ADE≌△ DCF$（ASA），
∴$DF=AE=5$，$DE=CF$.
在$\mathrm{Rt}△CDF$中，$CD=12$，$DF=5$，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{CD^2+DF^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$，
∴$DE=13$.
∵$S_{△CDF}=\frac{1}{2}DF·CD=\frac{1}{2}CF·OD$，
代入数值：$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13×OD$，
解得$OD=\frac{60}{13}$，
∴$DG=2OD=\frac{120}{13}$，
∴$GE=DE-DG=13-\frac{120}{13}=\frac{49}{13}$.
【答案】
$\frac{49}{13}$
【知识点】
折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是典型的折叠类几何题，核心是通过折叠性质得到线段和角的等量关系，借助全等三角形转化线段，结合面积法求未知线段长度，能较好考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从折叠的性质入手：折痕CF垂直平分对应点连线DG，可得CF⊥DG且DO=GO；再结合正方形的性质，利用同角的余角相等推出∠ADE=∠DCF，证明△ADE和△DCF全等，即可得到DE的长度；接下来要算GE，已知DE总长，只需求出DG的长度即可，DG=2OD，可利用△CDF的两种面积计算方法求出OD的长度，最后用DE减去DG就能得到GE的长。
【解析】
设$CF$与$DE$交于点$O$.
由折叠的性质可知$GO=DO$，$CF⊥DG$，因此$∠FOD=90°$.
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AD=CD$，$∠A=∠ADC=90°=∠FOD$，
∴$∠CFD+∠FCD=90°$，$∠CFD+∠ADE=90°$，
∴$∠ADE=∠FCD$.
在$△ ADE$和$△ DCF$中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠CDF\\AD=DC\\∠ADE=∠DCF\end{array} $
∴$△ ADE≌△ DCF$（ASA），
∴$DF=AE=5$，$DE=CF$.
在$\mathrm{Rt}△CDF$中，$CD=12$，$DF=5$，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{CD^2+DF^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$，
∴$DE=13$.
∵$S_{△CDF}=\frac{1}{2}DF·CD=\frac{1}{2}CF·OD$，
代入数值：$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13×OD$，
解得$OD=\frac{60}{13}$，
∴$DG=2OD=\frac{120}{13}$，
∴$GE=DE-DG=13-\frac{120}{13}=\frac{49}{13}$.
【答案】
$\frac{49}{13}$
【知识点】
折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是典型的折叠类几何题，核心是通过折叠性质得到线段和角的等量关系，借助全等三角形转化线段，结合面积法求未知线段长度，能较好考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
