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8.若一次函数$y=2x$和$y=ax+4$($a$为常数且$a≠0$)的图象相交于点$A(m,2)$，则关于$x,y$的方程组$\begin{cases}y=2x, \\ y=ax+4\end{cases}$的解为 ______ 。
答案
$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$
解析
【分析】
解题首先要明确两个核心思路：一是一次函数图像上的点的坐标一定满足该函数的解析式，二是两个一次函数图像的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解。我们可以先利用点A在y=2x上的已知条件，求出点A的横坐标m，得到交点A的完整坐标，该坐标就是方程组的解。
【解析】
∵ 点$A(m,2)$在一次函数$y=2x$的图象上，
∴ 将$x=m$，$y=2$代入$y=2x$，可得：
$2=2m$，解得$m=1$，
∴ 点A的坐标为$(1,2)$。
又
∵ 两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，
∴ 方程组$\begin{cases}y=2x \\ y=ax+4\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=1 \\ y=2\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$
【知识点】
1. 一次函数图象上点的坐标特征
2. 一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数和二元一次方程组的对应关系，解题的关键是理解“两个一次函数的交点坐标同时满足两个函数解析式，即为对应方程组的解”，熟练掌握该结论即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题首先要明确两个核心思路：一是一次函数图像上的点的坐标一定满足该函数的解析式，二是两个一次函数图像的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解。我们可以先利用点A在y=2x上的已知条件，求出点A的横坐标m，得到交点A的完整坐标，该坐标就是方程组的解。
【解析】
∵ 点$A(m,2)$在一次函数$y=2x$的图象上，
∴ 将$x=m$，$y=2$代入$y=2x$，可得：
$2=2m$，解得$m=1$，
∴ 点A的坐标为$(1,2)$。
又
∵ 两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，
∴ 方程组$\begin{cases}y=2x \\ y=ax+4\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=1 \\ y=2\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$
【知识点】
1. 一次函数图象上点的坐标特征
2. 一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数和二元一次方程组的对应关系，解题的关键是理解“两个一次函数的交点坐标同时满足两个函数解析式，即为对应方程组的解”，熟练掌握该结论即可快速解题。
【难度系数】
0.85
9.如图,在正方形ABCD中,延长BC到点E,使BE=BD.连接AE,DE.(1)求∠CDE的度数;(2)若AB=1,求AE的长. 
答案
(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠BDC=45°.
由题意可得BE=BD，
∴∠BDE=$\frac{1}{2}(180°−∠DBC)=\frac{1}{2}×135°=67.5°$，
∴∠CDE=∠BDE−∠BDC=67.5°−45°=22.5°.
(2)
∵四边形ABCD是正方形，AB=1，
∴BD=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∴BE=BD=$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}$.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠BDC=45°.
由题意可得BE=BD，
∴∠BDE=$\frac{1}{2}(180°−∠DBC)=\frac{1}{2}×135°=67.5°$，
∴∠CDE=∠BDE−∠BDC=67.5°−45°=22.5°.
(2)
∵四边形ABCD是正方形，AB=1，
∴BD=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∴BE=BD=$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1)求∠CDE的度数时，首先利用正方形对角线平分内角的性质得到∠DBC、∠BDC的度数，再结合BE=BD可知△BDE是等腰三角形，根据等腰三角形底角相等和三角形内角和求出∠BDE的度数，最后用∠BDE减去∠BDC即可得到∠CDE的度数。
(2)求AE的长时，先根据正方形边长利用勾股定理求出对角线BD的长度，即可得到BE的长度，再观察到△ABE是直角三角形，直接用勾股定理计算AE的长度即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠BDC=45°，
∵BE=BD，
∴△BDE为等腰三角形，
∴$∠ BDE=\frac{1}{2}(180°-∠ DBC)=\frac{1}{2}×135°=67.5°$，
∴$∠ CDE=∠ BDE-∠ BDC=67.5°-45°=22.5°$。
(2)
∵四边形ABCD是正方形，AB=1，
∴$∠ ABE=90°$，$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
又
∵BE=BD，
∴$BE=\sqrt{2}$，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{22.5°}$；(2) $\boxed{\sqrt{3}}$
【知识点】
正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，将正方形、等腰三角形的性质与勾股定理结合考察，解题的核心是准确找到各角度、边长之间的数量关系，计算难度较低，能很好的检验学生对基础几何性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
(1)求∠CDE的度数时，首先利用正方形对角线平分内角的性质得到∠DBC、∠BDC的度数，再结合BE=BD可知△BDE是等腰三角形，根据等腰三角形底角相等和三角形内角和求出∠BDE的度数，最后用∠BDE减去∠BDC即可得到∠CDE的度数。
(2)求AE的长时，先根据正方形边长利用勾股定理求出对角线BD的长度，即可得到BE的长度，再观察到△ABE是直角三角形，直接用勾股定理计算AE的长度即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠BDC=45°，
∵BE=BD，
∴△BDE为等腰三角形，
∴$∠ BDE=\frac{1}{2}(180°-∠ DBC)=\frac{1}{2}×135°=67.5°$，
∴$∠ CDE=∠ BDE-∠ BDC=67.5°-45°=22.5°$。
(2)
∵四边形ABCD是正方形，AB=1，
∴$∠ ABE=90°$，$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
又
∵BE=BD，
∴$BE=\sqrt{2}$，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{22.5°}$；(2) $\boxed{\sqrt{3}}$
【知识点】
正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，将正方形、等腰三角形的性质与勾股定理结合考察，解题的核心是准确找到各角度、边长之间的数量关系，计算难度较低，能很好的检验学生对基础几何性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
10. 某科技公司研发了一款基于人工智能的智能农业系统，用于优化温室大棚中作物的生长环境.研究人员发现,在一定范围内,番茄植株的日均生长高度与每日光照时间之间存在明显的相关性.为建立数学模型以指导自动化灌溉和补光系统,团队采集了不同光照条件下番茄幼苗的生长数据.以下是实验记录的部分数据：
解答下列问题：
(1)在平面直角坐标系中,描出上述数据所对应的点；
(2)观察这些点的分布情况,并推测该函数的类型为
(3)若某天由于天气原因,温室仅能提供9 h光照,预测该番茄植株当天的生长高度.
解答下列问题：
(1)在平面直角坐标系中,描出上述数据所对应的点；
(2)观察这些点的分布情况,并推测该函数的类型为
一次函数
（填“一次函数”或“正比例函数”）,其解析式为$y=0.4x+0.8$
；(3)若某天由于天气原因,温室仅能提供9 h光照,预测该番茄植株当天的生长高度.
答案
(1)在平面直角坐标系中，描出上述数据所对应的点如答图
.(2)观察这些点的分布情况，可推测出该函数的类型为一次函数；
设y与x的函数解析式为y=kx+b.
把(6,3.2),(8,4.0)代入解析式得$\begin{cases} 6k+b=3.2 \\ 8k+b=4.0 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} k=0.4 \\ b=0.8 \end{cases}$，
∴y=0.4x+0.8.
当x=10时，y=0.4×10+0.8=4.8；
当x=12时，y=0.4×12+0.8=5.6；
当x=14时，y=0.4×14+0.8=6.4.
∴y与x的函数解析式为y=0.4x+0.8；
(3)当x=9时，y=0.4×9+0.8=4.4，
∴温室仅能提供9 h光照，预测该番茄植株当天的生长高度为4.4 mm.
解析
【分析】
解决本题首先按照数据对应的坐标完成描点（题目已给出描点后的标准图像）；其次观察点的分布特征，所有点大致在同一条直线上且直线不经过原点，因此属于一次函数，采用待定系数法，选取两组对应数据代入一次函数一般式$y=kx+b$，解二元一次方程组求出参数$k$、$b$，再代入其余点验证符合后即可确定解析式；最后将光照时长$x=9$代入解析式，计算得到对应的生长高度即可。
【解析】
(1) 根据实验数据的对应坐标描点，结果如答图所示：。
(2) 观察描出的点的分布，所有点近似在一条直线上，且直线不经过原点，因此函数类型为一次函数。
设该一次函数的解析式为$ y = kx + b $（$k≠0$），选取图中两组点$(6,3.2)$、$(8,4.0)$代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases}6k + b = 3.2 \\8k + b = 4.0\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2k=0.8$，解得$k=0.4$；将$k=0.4$代入$6k + b = 3.2$，得$2.4 + b = 3.2$，解得$b=0.8$。
验证其余点：当$x=10$时，$y=0.4×10 + 0.8 = 4.8$，与图中数据一致；当$x=12$时，$y=0.4×12 + 0.8 = 5.6$，与图中数据一致；当$x=14$时，$y=0.4×14 + 0.8 = 6.4$，与图中数据一致，因此函数解析式为$ y = 0.4x + 0.8 $。
(3) 当光照时长$x=9\ \mathrm{h}$时，代入解析式计算：
$ y = 0.4×9 + 0.8 = 4.4\ (\mathrm{mm}) $
【答案】
(1)
(2) 一次函数；$y=0.4x+0.8$
(3) $4.4\ \mathrm{mm}$
【知识点】
一次函数判定，待定系数法，一次函数应用
【点评】
本题结合农业生产实际场景考查一次函数的相关知识，侧重基础应用，需要学生掌握从图像中提取有效数据的能力，熟练运用待定系数法求解一次函数解析式，并能利用解析式完成实际问题的预测。
【难度系数】
0.7
解决本题首先按照数据对应的坐标完成描点（题目已给出描点后的标准图像）；其次观察点的分布特征，所有点大致在同一条直线上且直线不经过原点，因此属于一次函数，采用待定系数法，选取两组对应数据代入一次函数一般式$y=kx+b$，解二元一次方程组求出参数$k$、$b$，再代入其余点验证符合后即可确定解析式；最后将光照时长$x=9$代入解析式，计算得到对应的生长高度即可。
【解析】
(1) 根据实验数据的对应坐标描点，结果如答图所示：
。(2) 观察描出的点的分布，所有点近似在一条直线上，且直线不经过原点，因此函数类型为一次函数。
设该一次函数的解析式为$ y = kx + b $（$k≠0$），选取图中两组点$(6,3.2)$、$(8,4.0)$代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases}6k + b = 3.2 \\8k + b = 4.0\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2k=0.8$，解得$k=0.4$；将$k=0.4$代入$6k + b = 3.2$，得$2.4 + b = 3.2$，解得$b=0.8$。
验证其余点：当$x=10$时，$y=0.4×10 + 0.8 = 4.8$，与图中数据一致；当$x=12$时，$y=0.4×12 + 0.8 = 5.6$，与图中数据一致；当$x=14$时，$y=0.4×14 + 0.8 = 6.4$，与图中数据一致，因此函数解析式为$ y = 0.4x + 0.8 $。
(3) 当光照时长$x=9\ \mathrm{h}$时，代入解析式计算：
$ y = 0.4×9 + 0.8 = 4.4\ (\mathrm{mm}) $
【答案】
(1)
(2) 一次函数；$y=0.4x+0.8$
(3) $4.4\ \mathrm{mm}$
【知识点】
一次函数判定，待定系数法，一次函数应用
【点评】
本题结合农业生产实际场景考查一次函数的相关知识，侧重基础应用，需要学生掌握从图像中提取有效数据的能力，熟练运用待定系数法求解一次函数解析式，并能利用解析式完成实际问题的预测。
【难度系数】
0.7
