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(3)把非0自然数按因数的个数分，可分为(
A.偶数、奇数
B.质数、合数
C.质数、合数和1
×
)。A.偶数、奇数
B.质数、合数
C.质数、合数和1
答案
(3)×
解析
【分析】
解题时首先明确题目分类标准是“因数的个数”，回忆非0自然数的因数相关特征：1只有1个它本身的因数；质数只有1和它本身2个因数；合数除了1和它本身还有其他因数，因数个数≥3。接下来逐一判断选项：A选项奇偶是按能否被2整除分类，和因数个数无关，排除；B选项漏掉了既不是质数也不是合数的1，分类不完整，排除；C选项正好覆盖了按因数个数划分的三类非0自然数，符合要求。
【解析】
1. 首先明确分类依据：按因数的个数划分非0自然数。
2. 分析各数的因数个数特征：
1的因数只有1个（即它本身），既不属于质数也不属于合数；
质数的因数只有1和它本身2个；
合数的因数至少有3个（除了1和它本身还有其他因数）。
3. 逐一判断选项：
A选项：偶数、奇数是按是否为2的倍数分类，与因数个数无关，错误；
B选项：仅包含质数、合数，漏掉了特殊的1，分类不全，错误；
C选项：包含质数、合数和1，是按因数个数分类的正确结果，正确。
【答案】
C
【知识点】
质数与合数；自然数的分类
【点评】
本题易混淆不同分类标准下的自然数分类结果，需要注意区分按因数个数分类和按2的倍数分类的差异，牢记1既不是质数也不是合数这个特殊点，避免遗漏。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目分类标准是“因数的个数”，回忆非0自然数的因数相关特征：1只有1个它本身的因数；质数只有1和它本身2个因数；合数除了1和它本身还有其他因数，因数个数≥3。接下来逐一判断选项：A选项奇偶是按能否被2整除分类，和因数个数无关，排除；B选项漏掉了既不是质数也不是合数的1，分类不完整，排除；C选项正好覆盖了按因数个数划分的三类非0自然数，符合要求。
【解析】
1. 首先明确分类依据：按因数的个数划分非0自然数。
2. 分析各数的因数个数特征：
1的因数只有1个（即它本身），既不属于质数也不属于合数；
质数的因数只有1和它本身2个；
合数的因数至少有3个（除了1和它本身还有其他因数）。
3. 逐一判断选项：
A选项：偶数、奇数是按是否为2的倍数分类，与因数个数无关，错误；
B选项：仅包含质数、合数，漏掉了特殊的1，分类不全，错误；
C选项：包含质数、合数和1，是按因数个数分类的正确结果，正确。
【答案】
C
【知识点】
质数与合数；自然数的分类
【点评】
本题易混淆不同分类标准下的自然数分类结果，需要注意区分按因数个数分类和按2的倍数分类的差异，牢记1既不是质数也不是合数这个特殊点，避免遗漏。
【难度系数】
0.7
(4)一个长6 cm、宽4 cm、高8 cm的长方体木块，能切成(
A.9
B.24
C.48
√
)个棱长是2 cm的小正方体木块。A.9
B.24
C.48
答案
(4)√
解析
【分析】
要计算长方体能切成多少个棱长2cm的小正方体，通用解题思路是：先分别看长方体的长、宽、高各包含多少个小正方体的棱长，再将三个方向的数量相乘，得到的就是小正方体的总个数，这个方法能避免边长有余数时出现计算错误，比直接用体积相除适用性更广。
【解析】
第一步：计算长方向可切的小正方体数量：$6÷2=3$（个）
第二步：计算宽方向可切的小正方体数量：$4÷2=2$（个）
第三步：计算高方向可切的小正方体数量：$8÷2=4$（个）
第四步：计算总个数：$3×2×4=24$（个）
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.立体图形切拼 2.长方体特征
【点评】
本题是立体图形切割的常见题型，解题时优先按边长判断可切割的小正方体数量，养成严谨的解题习惯，避免遇到边长不是小正方体棱长整数倍的题目时，直接用体积相除得到错误结果。
【难度系数】
0.7
要计算长方体能切成多少个棱长2cm的小正方体，通用解题思路是：先分别看长方体的长、宽、高各包含多少个小正方体的棱长，再将三个方向的数量相乘，得到的就是小正方体的总个数，这个方法能避免边长有余数时出现计算错误，比直接用体积相除适用性更广。
【解析】
第一步：计算长方向可切的小正方体数量：$6÷2=3$（个）
第二步：计算宽方向可切的小正方体数量：$4÷2=2$（个）
第三步：计算高方向可切的小正方体数量：$8÷2=4$（个）
第四步：计算总个数：$3×2×4=24$（个）
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.立体图形切拼 2.长方体特征
【点评】
本题是立体图形切割的常见题型，解题时优先按边长判断可切割的小正方体数量，养成严谨的解题习惯，避免遇到边长不是小正方体棱长整数倍的题目时，直接用体积相除得到错误结果。
【难度系数】
0.7
(5)右图是一个长3 cm、宽与高都是2 cm的长方体。将它挖掉一个棱长为1 cm的小正方体，它的表面积(
A.比原来大
B.比原来小
C.和原来一样
√
)。A.比原来大
B.比原来小
C.和原来一样
答案
(5)√
解析
【分析】
解题时不需要计算长方体完整的表面积，只需要对比挖掉小正方体前后，表面的面的增减情况即可。首先思考挖去小正方体时，原来的长方体表面会减少几个面，再看挖去后凹进去的部分会新露出几个面，对比两者的数量就能判断表面积的变化。
【解析】
我们先分析表面积的变化部分：
1. 挖掉棱长1cm的小正方体时，原长方体的上表面会减少1个边长为1cm的正方形面，减少的面积为$1×1=1\mathrm{cm}^2$。
2. 挖去小正方体后，凹进去的位置会新露出小正方体的4个侧面和1个底面，共5个边长为1cm的正方形面，新增的面积为$5×1×1=5\mathrm{cm}^2$。
3. 总的表面积变化为$5-1=4\mathrm{cm}^2$，即表面积比原来增加了4$\mathrm{cm}^2$，所以它的表面积比原来大。
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
长方体表面积，正方体表面积，立体图形切挖的表面积变化
【点评】
这道题考查立体图形挖切后的表面积变化规律，解题关键是不要直接认为挖去部分表面积就会减少，要仔细分析增减的面的数量，通过对比变化量判断结果，能锻炼空间想象能力。
【难度系数】
0.7
解题时不需要计算长方体完整的表面积，只需要对比挖掉小正方体前后，表面的面的增减情况即可。首先思考挖去小正方体时，原来的长方体表面会减少几个面，再看挖去后凹进去的部分会新露出几个面，对比两者的数量就能判断表面积的变化。
【解析】
我们先分析表面积的变化部分：
1. 挖掉棱长1cm的小正方体时，原长方体的上表面会减少1个边长为1cm的正方形面，减少的面积为$1×1=1\mathrm{cm}^2$。
2. 挖去小正方体后，凹进去的位置会新露出小正方体的4个侧面和1个底面，共5个边长为1cm的正方形面，新增的面积为$5×1×1=5\mathrm{cm}^2$。
3. 总的表面积变化为$5-1=4\mathrm{cm}^2$，即表面积比原来增加了4$\mathrm{cm}^2$，所以它的表面积比原来大。
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
长方体表面积，正方体表面积，立体图形切挖的表面积变化
【点评】
这道题考查立体图形挖切后的表面积变化规律，解题关键是不要直接认为挖去部分表面积就会减少，要仔细分析增减的面的数量，通过对比变化量判断结果，能锻炼空间想象能力。
【难度系数】
0.7
3. 按要求完成下列各题。
(1)按要求画出图形。
①向右平移5格后得到的图形。 ②绕点O沿顺时针方向旋转$90°$后的图形。
(2)计算右图物体的表面积和体积。(单位:cm)
(1)按要求画出图形。
①向右平移5格后得到的图形。 ②绕点O沿顺时针方向旋转$90°$后的图形。
(2)计算右图物体的表面积和体积。(单位:cm)
答案
(1)略
(2)表面积: $5×5×6+(6×5+6×2)×2=234(\mathrm{cm}^2)$
体积:$5×5×5+6×2×5=185(\mathrm{cm}^3)$
(2)表面积: $5×5×6+(6×5+6×2)×2=234(\mathrm{cm}^2)$
体积:$5×5×5+6×2×5=185(\mathrm{cm}^3)$
解析
【分析】
(1)①平移图形解题思路：首先确定原图形的所有顶点（关键点），按照平移要求将每个顶点向右移动5格，标记出平移后的对应顶点，最后按原图形的形状依次连接各对应顶点即可得到平移后的图形。
②旋转图形解题思路：首先找到旋转中心点O，再确定原图形中与O相连的各条边，将这些边按照顺时针方向旋转90°，得到旋转后各边的位置，再依据原图形的结构补全剩余部分，就能得到旋转后的图形。
(2)组合体计算解题思路：首先观察可知这个物体是由棱长为5cm的正方体和长6cm、宽2cm、高5cm的长方体拼接而成。计算体积时，组合体体积等于两个立体图形的体积之和，直接分别计算再相加即可。计算表面积时，两个图形拼接的位置有重合的面会被遮挡，不需要计入总表面积，因此总表面积=正方体的表面积+长方体除拼接面外的外露面的面积。
【解析】
(1)①平移操作：找出原图形所有关键点，将每个点向右数5格确定新位置，按原图连接顺序连线，即可得到平移后图形。
②旋转操作：将与点O相连的边顺时针旋转90°，确定各边新位置，对照原图补全剩余部分，即可得到旋转后图形。
(2)表面积计算：
正方体表面积为$5×5×6=150(\mathrm{cm}^2)$，长方体外露的4个面面积和为$(6×5+6×2)×2=84(\mathrm{cm}^2)$，总表面积为两者之和，即$150+84=234(\mathrm{cm}^2)$。
体积计算：
正方体体积为$5×5×5=125(\mathrm{cm}^3)$，长方体体积为$6×2×5=60(\mathrm{cm}^3)$，总体积为两者之和，即$125+60=185(\mathrm{cm}^3)$。
【答案】
(1)略
(2)表面积: $5×5×6+(6×5+6×2)×2=234(\mathrm{cm}^2)$
体积:$5×5×5+6×2×5=185(\mathrm{cm}^3)$
【知识点】
图形的平移与旋转；组合体表面积计算；组合体体积计算
【点评】
本题综合考察了图形操作能力和立体图形计算能力，操作类题目需要注意平移的格数、旋转的方向和角度，计算类题目需要注意拼接组合的立体图形计算表面积时要去掉遮挡重合的部分，避免重复计算。
【难度系数】
0.7
(1)①平移图形解题思路：首先确定原图形的所有顶点（关键点），按照平移要求将每个顶点向右移动5格，标记出平移后的对应顶点，最后按原图形的形状依次连接各对应顶点即可得到平移后的图形。
②旋转图形解题思路：首先找到旋转中心点O，再确定原图形中与O相连的各条边，将这些边按照顺时针方向旋转90°，得到旋转后各边的位置，再依据原图形的结构补全剩余部分，就能得到旋转后的图形。
(2)组合体计算解题思路：首先观察可知这个物体是由棱长为5cm的正方体和长6cm、宽2cm、高5cm的长方体拼接而成。计算体积时，组合体体积等于两个立体图形的体积之和，直接分别计算再相加即可。计算表面积时，两个图形拼接的位置有重合的面会被遮挡，不需要计入总表面积，因此总表面积=正方体的表面积+长方体除拼接面外的外露面的面积。
【解析】
(1)①平移操作：找出原图形所有关键点，将每个点向右数5格确定新位置，按原图连接顺序连线，即可得到平移后图形。
②旋转操作：将与点O相连的边顺时针旋转90°，确定各边新位置，对照原图补全剩余部分，即可得到旋转后图形。
(2)表面积计算：
正方体表面积为$5×5×6=150(\mathrm{cm}^2)$，长方体外露的4个面面积和为$(6×5+6×2)×2=84(\mathrm{cm}^2)$，总表面积为两者之和，即$150+84=234(\mathrm{cm}^2)$。
体积计算：
正方体体积为$5×5×5=125(\mathrm{cm}^3)$，长方体体积为$6×2×5=60(\mathrm{cm}^3)$，总体积为两者之和，即$125+60=185(\mathrm{cm}^3)$。
【答案】
(1)略
(2)表面积: $5×5×6+(6×5+6×2)×2=234(\mathrm{cm}^2)$
体积:$5×5×5+6×2×5=185(\mathrm{cm}^3)$
【知识点】
图形的平移与旋转；组合体表面积计算；组合体体积计算
【点评】
本题综合考察了图形操作能力和立体图形计算能力，操作类题目需要注意平移的格数、旋转的方向和角度，计算类题目需要注意拼接组合的立体图形计算表面积时要去掉遮挡重合的部分，避免重复计算。
【难度系数】
0.7
4. 下面是小华去图书馆及回家的统计图。
(1)小华骑车从家去相距5 km的图书馆借书，从所给的折线统计图可以看出，小华去图书馆的路上停车(
(2)从图书馆返回家中，小华每分钟行驶多少千米？
(1)小华骑车从家去相距5 km的图书馆借书，从所给的折线统计图可以看出，小华去图书馆的路上停车(
20
)分钟，在图书馆借书用(40
)分钟。(2)从图书馆返回家中，小华每分钟行驶多少千米？
答案
(1)20 40
(2)$5÷(120-100)=\frac{1}{4}$(千米)
(2)$5÷(120-100)=\frac{1}{4}$(千米)
解析
【分析】
首先明确折线统计图的横轴代表时间，纵轴代表离家的路程：折线呈水平状态时，说明路程没有变化，对应停留状态。
（1）求去图书馆路上的停车时间，找到去程中折线水平的时间段，用时间段的结束时间减去开始时间即可；求借书用时，找到路程为5千米时折线水平的时间段，同样用结束时间减去开始时间计算。
（2）求返回的速度，根据“速度=路程÷时间”的关系，先算出返回所用的总时间，再用总路程除以返回时间就能得到结果。
【解析】
(1) 观察折线图，去图书馆路上20分钟到40分钟路程没有变化，属于停车状态，停车时长为：$40-20=20$（分钟）；
60分钟时到达图书馆（路程达到5千米），100分钟时开始返程，借书时长为：$100-60=40$（分钟）。
(2) 先计算返程所用时间：$120-100=20$（分钟），返程总路程为5千米，根据速度公式可得：
$5÷20=\frac{1}{4}$（千米）
【答案】
(1)20；40
(2)$\frac{1}{4}$千米
【知识点】
折线统计图解读，行程问题计算，速度公式应用
【点评】
本题侧重考查从折线统计图中提取有效信息的能力，需要准确理解折线不同走势对应的实际场景，再结合行程问题的基础计算公式求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
首先明确折线统计图的横轴代表时间，纵轴代表离家的路程：折线呈水平状态时，说明路程没有变化，对应停留状态。
（1）求去图书馆路上的停车时间，找到去程中折线水平的时间段，用时间段的结束时间减去开始时间即可；求借书用时，找到路程为5千米时折线水平的时间段，同样用结束时间减去开始时间计算。
（2）求返回的速度，根据“速度=路程÷时间”的关系，先算出返回所用的总时间，再用总路程除以返回时间就能得到结果。
【解析】
(1) 观察折线图，去图书馆路上20分钟到40分钟路程没有变化，属于停车状态，停车时长为：$40-20=20$（分钟）；
60分钟时到达图书馆（路程达到5千米），100分钟时开始返程，借书时长为：$100-60=40$（分钟）。
(2) 先计算返程所用时间：$120-100=20$（分钟），返程总路程为5千米，根据速度公式可得：
$5÷20=\frac{1}{4}$（千米）
【答案】
(1)20；40
(2)$\frac{1}{4}$千米
【知识点】
折线统计图解读，行程问题计算，速度公式应用
【点评】
本题侧重考查从折线统计图中提取有效信息的能力，需要准确理解折线不同走势对应的实际场景，再结合行程问题的基础计算公式求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
